Übungsaufgaben — AFB I
Zehn gemischte Aufgaben aus dem ganzen Kapitel 6 auf dem Anforderungsbereich I: bekannte Verfahren wiedergeben und anwenden. Die Aufgaben wechseln zwischen fünf interaktiven Applets und fünf Textaufgaben mit gestuften Hilfen und Musterlösung. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.
In einer 11. Klasse wurde gezählt, wie viele Fehltage im Halbjahr angefallen sind. Sieben Personen gaben an, \([t] = \mathrm{Tage}\): 12 · 5 · 9 · 21 · 3 · 16 · 7
Ordnen Sie die Werte zur Rangliste \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_7\).
An einer Schule wurden \(n = 250\) Schülerinnen und Schüler gefragt, wie sie morgens zur Schule kommen. 90 von ihnen nannten den Bus.
Berechnen Sie die relative Häufigkeit des Merkmalswertes „Bus“ — einmal als Dezimalzahl und einmal in Prozent.
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\(h(\text{Bus}) = \dfrac{90}{250} = \dfrac{9}{25} = 0{,}36\), also 36 %.
Kontrolle: Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Ein Wert über 1 wäre ein sicheres Zeichen dafür, dass Teil und Ganzes vertauscht wurden.
An sechs Tagen wurde die Niederschlagsmenge gemessen, \([N] = \mathrm{mm}\): 4; 9; 2; 11; 6; 10
Bestimmen Sie Schritt für Schritt das arithmetische Mittel und die Spannweite.
- Stichprobenumfang \(n = \;?\)
- Summe aller Messwerte in mm
- Arithmetisches Mittel \(\bar x\) in mm
- Größter Messwert \(x_{\max}\) in mm
- Kleinster Messwert \(x_{\min}\) in mm
- Spannweite \(S_w\) in mm
Acht Personen wurden nach ihrer Wartezeit beim Arzt gefragt, \([t] = \mathrm{min}\). Die Rangliste lautet 3; 5; 6; 8; 9; 9; 12; 20.
Bestimmen Sie den Median und den Modalwert dieser Datenreihe.
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\(n = 8\) ist gerade, also \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{x_4 + x_5}{2} = \dfrac{8 + 9}{2} = 8{,}5\,\mathrm{min}\).
Der Modalwert ist der häufigste Wert, hier 9 min. Beachten Sie: Der Median muss selbst kein Messwert der Reihe sein, der Modalwert dagegen immer.
Zwei Untersuchungen: (1) An einer Schule mit 1240 Personen werden 60 zufällig ausgewählte Personen nach ihrer täglichen Bildschirmzeit gefragt. (2) Für eine bundesweite Erhebung werden 1000 zufällig ausgewählte Haushalte danach gefragt, wie viele Personen dort leben.
Ordnen Sie jede Karte dem passenden Grundbegriff zu.
Bei einem Sporttest wurden 40 Weitsprungweiten gemessen. Die kürzeste Weite beträgt 212 cm, die längste 387 cm. Die Werte sollen in fünf gleich breite Klassen eingeteilt werden.
Berechnen Sie die Spannweite und die kleinstmögliche Klassenbreite in vollen 10 cm.
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\(S_w = 387\,\mathrm{cm} - 212\,\mathrm{cm} = 175\,\mathrm{cm}\). Fünf Klassen brauchen jeweils mindestens \(175 : 5 = 35\,\mathrm{cm}\); in vollen 10 cm sind das \(b = 40\,\mathrm{cm}\).
Eine mögliche Einteilung beginnt bei 200 cm: [200; 240), [240; 280), [280; 320), [320; 360), [360; 400). Wichtig ist, dass die Klassen lückenlos aneinandergrenzen und sich nicht überlappen — jeder Messwert gehört zu genau einer Klasse.
In einer Klassenarbeit wurden bei \(n = 25\) Arbeiten die Noten vergeben. Die Strichliste ergab: Note 1 dreimal, Note 2 siebenmal, Note 3 achtmal, Note 4 fünfmal, Note 5 zweimal.
Vervollständigen Sie die Häufigkeitstabelle: absolute Häufigkeit \(H(x)\) und relative Häufigkeit \(h(x)\) in Prozent.
| Note x | H(x) | h(x) in % |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 |
Fünf Messungen der Reaktionszeit ergaben \([t] = \mathrm{s}\): 4; 7; 5; 9; 5
Berechnen Sie das arithmetische Mittel, die empirische Varianz und die empirische Standardabweichung. Runden Sie die Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen.
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\(\bar x = \dfrac{4+7+5+9+5}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\,\mathrm{s}\).
Abweichungsquadrate: \(4 + 1 + 1 + 9 + 1 = 16\), also \(s^2 = \dfrac{16}{5} = 3{,}2\).
\(s = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}79\,\mathrm{s}\).
Zur Einheitenkontrolle: Die Varianz trägt die quadrierte Einheit (s²), die Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Messwerte (s). Deshalb wird für die Interpretation fast immer s angegeben.
Neun Bücher eines Regals wurden nach ihrer Seitenzahl geordnet, \([N] = \text{Seiten}\) — hier in Zehnerschritten angegeben: 11; 13; 15; 16; 18; 21; 23; 25; 29
Bestimmen Sie die Fünf-Punkte-Zusammenfassung und setzen Sie die Marken auf die Achse.
Zu setzen sind Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum der neun Werte.
Der Boxplot zeigt die Wartezeiten von 60 Personen an einem Serviceschalter.
Lesen Sie ab beziehungsweise berechnen Sie: Median, Boxbreite \(Q_3-Q_1\) und Spannweite.
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Median 20 min, Boxbreite \(26-14 = 12\) min, Spannweite \(38-8 = 30\) min.
Die Box enthält immer die mittleren 50 % der Werte: Mindestens 30 der 60 Personen warteten zwischen 14 min und 26 min. Die lange rechte Antenne zeigt, dass es nach oben einzelne deutlich längere Wartezeiten gab — die Verteilung ist rechtsschief.