Textaufgaben: Tabellen und Strichlisten

Auszählen der Urliste ergibt: Merkmalswert 1: \(H = 18\); Merkmalswert 2: \(H = 11\); Merkmalswert 3: \(H = 6\); Merkmalswert 4: \(H = 3\); Merkmalswert 5: \(H = 2\).

Kontrollsumme: \(18+11+6+3+2 = 40\). Sie stimmt mit der Zahl der Rohdaten überein, die Auszählung ist also vollständig.

\(\dfrac{18}{40}\cdot 100\,\% = 45\,\%\); \(\dfrac{11}{40}\cdot 100\,\% = 27{,}5\,\%\); \(\dfrac{6}{40}\cdot 100\,\% = 15\,\%\); \(\dfrac{3}{40}\cdot 100\,\% = 7{,}5\,\%\); \(\dfrac{2}{40}\cdot 100\,\% = 5\,\%\).

Probe: \(45+27{,}5+15+7{,}5+5 = 100\). Die relativen Häufigkeiten ergeben zusammen genau 100 %; das muss so sein, weil jeder Rohwert in genau einer Zeile gezählt wurde.

\(1\cdot 18 + 2\cdot 11 + 3\cdot 6 + 4\cdot 3 + 5\cdot 2 = 18+22+18+12+10 = 80\) Personen.

Durchschnittliche Besetzung: \(\dfrac{80}{40} = 2{,}0\) Personen pro Fahrzeug.

Bemerkenswert ist der Abstand zwischen diesem Mittelwert und dem häufigsten Wert: Fast die Hälfte der Fahrzeuge (45 %) ist nur mit einer Person besetzt; die wenigen stark besetzten Fahrzeuge heben den Durchschnitt auf 2,0 an. Der Mittelwert allein würde die Lage also zu günstig darstellen — die Häufigkeitstabelle zeigt mehr als eine einzelne Kennzahl.

Auszählen der 20 Werte ergibt: Wert 0: \(H = 5\); Wert 1: \(H = 6\); Wert 2: \(H = 5\); Wert 3: \(H = 3\); Wert 4: \(H = 1\). Kontrollsumme \(5+6+5+3+1 = 20\).

Der Vergleich mit der Tabelle des Praktikanten zeigt den Fehler: Er notiert beim Wert 1 eine 7 statt einer 6 und beim Wert 2 eine 4 statt einer 5. Ein Tag mit zwei Reklamationen ist bei ihm in der Zeile 1 gelandet.

Seine Anzahlen ergeben \(5+7+4+3+1 = 20\) — genau so viele Werte hat die Urliste. Die Kontrollsumme stimmt also tatsächlich.

Das muss sie sogar: Sein Fehler ist keine vergessene und keine doppelt gesetzte Markierung, sondern eine falsche Zuordnung. Der Strich existiert, er steht nur in der falschen Zeile. Dadurch ist eine Zeile um 1 zu groß und eine andere um 1 zu klein; in der Summe heben sich beide Abweichungen exakt auf.

Die Kontrollsumme prüft folglich nur die Vollständigkeit der Auszählung — ob jeder Rohwert genau einen Strich erzeugt hat —, nicht ihre Richtigkeit. Der Schluss des Praktikanten „Kontrollsumme stimmt, also ist die Tabelle richtig“ ist deshalb unzulässig.

Als zweite Kontrolle eignet sich die Gesamtzahl der Reklamationen. Sie lässt sich auf zwei voneinander unabhängigen Wegen bestimmen: direkt durch Addition aller Werte der Urliste und aus der Tabelle als \(\sum \text{Merkmalswert}\cdot H\). Weil der Merkmalswert hier als Faktor eingeht, wirkt sich eine Verschiebung zwischen zwei Zeilen auf diese Summe aus — anders als auf die Kontrollsumme.

Aus der Urliste: \(7+9+7+6 = 29\) Reklamationen (wochenweise addiert).

Aus der richtigen Tabelle: \(0\cdot 5 + 1\cdot 6 + 2\cdot 5 + 3\cdot 3 + 4\cdot 1 = 0+6+10+9+4 = 29\) — beide Wege stimmen überein.

Aus der Tabelle des Praktikanten: \(0\cdot 5 + 1\cdot 7 + 2\cdot 4 + 3\cdot 3 + 4\cdot 1 = 0+7+8+9+4 = 28 \neq 29\). Die Abweichung beträgt genau 1, weil ein Wert von der Zeile 2 in die Zeile 1 gerutscht ist. Der Fehler wäre damit sofort aufgefallen.

Auf den Betrieb bezogen: Der Praktikant erhält \(\dfrac{28}{20} = 1{,}40\) statt \(\dfrac{29}{20} = 1{,}45\) Reklamationen pro Tag. Der Unterschied ist klein, aber er entsteht durch einen Fehler, der bei größeren Datensätzen beliebig oft auftreten kann.

Anteil an allen Befragten: \(\dfrac{154}{320} = 0{,}48125 \approx 48{,}1\,\%\).

Jahrgangsstufe 5 bis 7: \(\dfrac{84}{130} \approx 0{,}646 = 64{,}6\,\%\). Jahrgangsstufe 8 bis 10: \(\dfrac{52}{120} \approx 0{,}433 = 43{,}3\,\%\). Jahrgangsstufe 11 bis 13: \(\dfrac{18}{70} \approx 0{,}257 = 25{,}7\,\%\).

Die Mensanutzung nimmt mit steigender Jahrgangsstufe deutlich ab.

Aussage (1) trifft zu. Insgesamt essen 154 Personen in der Mensa; davon kommen 84 aus den Jahrgangsstufen 5 bis 7: \(\dfrac{84}{154} \approx 0{,}545 = 54{,}5\,\%\). Das ist mehr als die Hälfte.

Aussage (2) trifft nicht zu. In der Oberstufe wurden 70 Personen befragt. Davon essen 28 mittags nichts: \(\dfrac{28}{70} = 0{,}4 = 40\,\%\). Das ist zwar die größte der drei Gruppen (gegenüber 24 mit mitgebrachtem Essen und 18 in der Mensa), aber keine Mehrheit — dafür wären mehr als 35 Personen nötig. Richtig wäre: „In der Oberstufe ist die Gruppe derer, die mittags nichts essen, mit 40 % die größte.“

Die Zahl 84 liegt im Kreuzungspunkt der Zeile „5 bis 7“ und der Spalte „Mensa“. Zu ihr gehören deshalb drei sinnvolle Bezugsgrößen, und jede liefert einen anderen Prozentwert:

\(\dfrac{84}{320} = 26{,}25\,\%\) — Frage: Welcher Anteil aller Befragten sind Mensagäste aus den Stufen 5 bis 7?

\(\dfrac{84}{130} \approx 64{,}6\,\%\) — Frage: Welcher Anteil der Stufen 5 bis 7 isst in der Mensa?

\(\dfrac{84}{154} \approx 54{,}5\,\%\) — Frage: Welcher Anteil der Mensagäste kommt aus den Stufen 5 bis 7?

Alle drei Zahlen sind rechnerisch richtig und beschreiben denselben Sachverhalt aus verschiedenen Richtungen. Wer nur „84 — das sind 64,6 %“ schreibt, lässt offen, wovon. Zu jedem Prozentwert aus einer Kontingenztafel gehört deshalb die Angabe der Bezugsgröße.

Schritt 1: In der Spalte „Fußball“ fehlt genau ein Wert: \(150 - 60 - 10 = 80\) Erwachsene spielen Fußball.

Schritt 2: Damit hat die Zeile „Erwachsene“ nur noch eine Lücke: \(150 - 80 - 30 = 40\) Erwachsene schwimmen.

Schritt 3: Nun fehlt in der Spalte „Schwimmen“ nur noch ein Wert: \(100 - 40 - 35 = 25\) Kinder schwimmen.

Schritt 4: In der Zeile „Kinder“ bleibt \(130 - 60 - 25 = 45\) für das Turnen.

Die Reihenfolge ist nicht beliebig: Man muss stets dort ansetzen, wo genau eine Zelle fehlt, weil nur dann eine einzige Unbekannte in einer Gleichung steht. Jeder gefundene Wert öffnet die nächste Zeile oder Spalte.

Probe: Spalte Turnen \(45+30+25 = 100\) ✓; Zeilensummen \(130+150+70 = 350\) und Spaltensummen \(150+100+100 = 350\) ✓.

Eine fehlende Zelle lässt sich genau dann unmittelbar berechnen, wenn sie in einer Zeile oder in einer Spalte liegt, in der alle übrigen Einträge und die zugehörige Summe bekannt sind — wenn also diese Zeile beziehungsweise Spalte genau eine Lücke aufweist. Der Wert ist dann die Summe vermindert um die Summe der übrigen Einträge.

Daraus folgt das Verfahren: Man wiederholt diesen Schritt, solange es irgendwo eine Zeile oder Spalte mit genau einer Lücke gibt. Weist dagegen jede noch unvollständige Zeile und jede noch unvollständige Spalte mindestens zwei Lücken auf, kommt das Verfahren nicht in Gang, und die Tabelle ist aus den Summen allein nicht mehr zu rekonstruieren.

Nein, eine eindeutige Rekonstruktion ist nicht möglich.

Bekannt sind jetzt Kinder/Fußball \(=60\), Erwachsene/Fußball \(=80\), die vollständige Seniorenzeile und alle Summen. Für die vier Lücken folgt aus den Zeilen \(K_T + K_S = 130-60 = 70\) und \(E_T + E_S = 150-80 = 70\), aus den Spalten \(K_T + E_T = 100-25 = 75\) und \(K_S + E_S = 100-35 = 65\).

Das sind vier Gleichungen für vier Unbekannte, aber nur drei davon sind unabhängig: Die Summe der beiden Zeilengleichungen ergibt \(140\), die Summe der beiden Spaltengleichungen ebenfalls \(140\). Es bleibt ein Freiheitsgrad. Setzt man \(K_T = t\), so folgt \(K_S = 70-t\), \(E_T = 75-t\) und \(E_S = t-5\).

Für \(t = 45\) ergibt sich die ursprüngliche Tabelle (45, 25, 30, 40). Für \(t = 50\) erhält man dagegen 50, 20, 25 und 45 — auch damit stimmen alle Zeilen- und Spaltensummen: Zeile Erwachsene \(80+25+45 = 150\), Spalte Turnen \(50+25+25 = 100\), Spalte Schwimmen \(20+45+35 = 100\).

Da keine Zelle negativ sein kann, muss \(5 \leq t \leq 70\) gelten; es gibt also 66 ganzzahlige Belegungen, die zu denselben Rändern passen. Der Grund ist genau die Bedingung aus b): Die vier Lücken bilden einen zusammenhängenden \(2\times 2\)-Block, in dem jede betroffene Zeile und jede betroffene Spalte zwei Lücken hat. Um die Tabelle zu retten, genügt eine einzige zusätzliche Angabe — etwa der Wert einer der vier Zellen aus einer anderen Quelle.

\(48+63+41+27+21 = 200\). Die Angabe stimmt; die Zahl der Befragten lässt sich aus der Tabelle rekonstruieren.

Es fehlt die Summenzeile (Kontrollsumme). Sie gehört unter jede Häufigkeitstabelle, weil erst sie die Vollständigkeit der Auszählung belegt und der Leserschaft das eigene Addieren erspart. In der veröffentlichten Fassung steht der Umfang \(n\) nur im Fließtext der Pressemitteilung — wird die Tabelle weiterverwendet, geht er verloren.

Satz (1) ist falsch, und zwar doppelt. Erstens rechnerisch: \(\dfrac{48}{200} = 0{,}24 = 24\,\%\); ein Drittel wären \(33{,}3\,\%\) beziehungsweise rund 67 Personen. Auch bezogen auf die 179 Personen mit verwertbarer Angabe sind es nur \(\dfrac{48}{179} \approx 26{,}8\,\%\). Von „fast einem Drittel“ kann in beiden Lesarten keine Rede sein.

Zweitens sprachlich: Die Tabellenzeile heißt „bis 10 Minuten“ und schließt die zehn Minuten ein; der Satz spricht von „weniger als zehn Minuten“. Wie viele Personen tatsächlich unter zehn Minuten brauchen, ist unbekannt — es sind höchstens 48.

Satz (2) ist haltbar. \(48+63 = 111\) Personen, also \(\dfrac{111}{200} = 55{,}5\,\%\) (bezogen auf die 179 verwertbaren Angaben \(\dfrac{111}{179} \approx 62{,}0\,\%\)). Beides ist mehr als die Hälfte.

Zu beachten ist allerdings die unscharfe Klassengrenze: Wer genau 20 Minuten braucht, kann von den Befragten in die Zeile „10 bis 20“ oder in die Zeile „20 bis 30“ eingeordnet worden sein. Die wahre Zahl der Personen mit höchstens 20 Minuten kann deshalb über 111 liegen, aber nicht darunter — der Satz irrt also, wenn überhaupt, in der sicheren Richtung und bleibt richtig.

Urteil: Als Grundlage einer Veröffentlichung ist die Tabelle nicht geeignet. Sie ist nicht falsch ausgezählt, aber sie lässt mehrere Fragen offen, die eine Auswertung erst möglich machen würden — und sie hat, wie Satz (1) zeigt, bereits zu einer Fehlaussage geführt.

Erster Mangel: überlappende Klassen. Die Werte 10, 20 und 30 Minuten gehören jeweils zu zwei Zeilen. Eine Person mit genau 20 Minuten Arbeitsweg kann in zwei Klassen einsortiert werden; je nach Bearbeiterin entstehen unterschiedliche Tabellen, und Doppelzählungen sind möglich.

Zweiter Mangel: fehlende Summenzeile und fehlende Angabe von \(n\) in der Tabelle selbst (siehe a).

Dritter Mangel: uneindeutige Kategorie. „keine Angabe / wechselnd“ fasst zwei völlig verschiedene Fälle zusammen: die Verweigerung einer Antwort und einen tatsächlich wechselnden Arbeitsweg. Nur der zweite Fall ist eine inhaltliche Antwort. Solange beides in einer Zeile steht, ist unklar, worauf sich Prozentangaben sinnvoll beziehen.

Vierter Mangel: offene Randklasse. „über 30 Minuten“ ist nach oben unbegrenzt. Aus einer solchen Klasse lässt sich keine Klassenmitte und damit später kein Mittelwert bestimmen.

Korrigierte Fassung: Spalten „Klasse“, „absolute Häufigkeit“ und „relative Häufigkeit“; Zeilen mit halboffenen Intervallen „unter 10 min“, „10 bis unter 20 min“, „20 bis unter 30 min“, „30 bis unter 60 min“ und „60 min und mehr“; getrennte Zeilen für „wechselnder Arbeitsweg“ und „keine Angabe“; darunter eine Summenzeile mit \(n = 200\). Eine Fußnote hält fest, worauf sich die Prozentwerte beziehen. Mit den vorliegenden Zahlen ergäben sich als relative Häufigkeiten 24 %, 31,5 %, 20,5 %, 13,5 % und 10,5 % — zusammen 100 %.

Wichtig ist schließlich: Die neue Klasseneinteilung lässt sich aus der veröffentlichten Tabelle nicht nachträglich herstellen. Die Gemeinde muss dazu auf die Urliste zurückgreifen — das ist der Grund, weshalb Rohdaten aufbewahrt werden.