Warum Spannweite?: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Spannweite einer MessreiheAFB I

An sieben Tagen wurde die Höchsttemperatur \(\vartheta\) mit \([\vartheta]=\mathrm{^\circ C}\) gemessen: 17 · 23 · 12 · 26 · 19 · 14 · 21.

Berechnen Sie die Spannweite \(\mathrm{Sw}\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\mathrm{Sw}=\vartheta_{\max}-\vartheta_{\min}=26\,\mathrm{^\circ C}-12\,\mathrm{^\circ C}=14\,\mathrm{^\circ C}\). Die Spannweite trägt immer die Einheit des Merkmals — hier also Grad Celsius, nicht Grad Celsius zum Quadrat.

A2Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Vervollständigen Sie den Text mit den passenden Fachbegriffen. Zwei Bausteine bleiben übrig.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Die Differenz aus dem größten und dem kleinsten Wert heißt . Sie wird nur aus den beiden gebildet; was dazwischen geschieht, bleibt unberücksichtigt. Ein einzelner Wert, der weit von allen übrigen entfernt liegt, heißt . Wie weit die Werte insgesamt auseinanderliegen, nennt man . Ausgangspunkt jedes brauchbaren Streuungsmaßes ist die eines einzelnen Wertes vom .

Zwei Bausteine gehören zu Abschnitt 6.1: Der Stichprobenumfang zählt die Elemente der Stichprobe, die Merkmalsausprägung ist ein einzelner möglicher Wert des Merkmals. Beide sagen nichts über die Streuung aus.

A3Kleinster Wert, größter Wert, SpannweiteAFB I

Bestimmen Sie für jede der vier Messreihen den kleinsten und den größten Wert sowie die Spannweite.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Messreihe	\(x_{\min}\)	\(x_{\max}\)	\(\mathrm{Sw}\)
8 · 15 · 11 · 19 · 13
34 · 29 · 41 · 30 · 37 · 28
5 · 5 · 12 · 5 · 9 · 5 · 7
−3 · 6 · 0 · −7 · 4 · 2

In Reihe 3 kommt der kleinste Wert viermal vor — das ändert nichts: Gezählt wird der Wert, nicht seine Häufigkeit. In Reihe 4 ist \(6-(-7)=13\); ein negativer kleinster Wert vergrößert die Spannweite.

A4Stimmt das über die Spannweite?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie richtig ist.

Richtig oder falsch? Entscheide bei jeder Aussage. Eine Runde umfasst alle Aussagen.

Aussage 1 von 5

Die beiden falschen Aussagen beschreiben genau die zwei Fallen dieses Abschnitts: Gleiche Spannweite heißt nicht gleiche Streuung, und Weglassen von Werten kann eine Spannweite nie vergrößern.

A5Fünf Messreihen nach ihrer Streubreite ordnenAFB II

Berechnen Sie zu jeder Messreihe die Spannweite und ordnen Sie die Reihen aufsteigend nach ihrer Spannweite.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Spannweiten aufsteigend geordnet sind.

10,5 · 2,9 · 1,4

221 · 24 · 22 · 26

34 · 11 · 7 · 9

4−5 · 3 · 1 · −2

5100 · 112 · 105

Die Spannweiten lauten der Reihe nach 2,4 — 5 — 7 — 8 — 12. Achtung bei der vierten Reihe: \(3-(-5)=8\), nicht 2. Die Größe der Zahlen selbst sagt nichts über die Spannweite — die Reihe um 100 herum liegt zwar am höchsten, streut aber nicht am stärksten.

A6Die Abweichungen vom MittelwertAFB II

Gegeben ist die Messreihe 12 · 18 · 15 · 21 · 14 mit \(n=5\).

Bestimmen Sie zuerst das arithmetische Mittel und dann zu jedem Wert die Abweichung \(x_i-\bar{x}\). Tragen Sie zuletzt die Summe aller Abweichungen ein.

Das erste Feld ist das arithmetische Mittel, danach folgen die fünf Abweichungen und die Summe. Minuszeichen nicht vergessen. Enter prüft alles auf einmal.

\(\bar{x}\)	\(x_1=12\)	\(x_2=18\)	\(x_3=15\)	\(x_4=21\)	\(x_5=14\)	Summe
Wert bzw. \(x_i-\bar{x}\)

\(\bar{x}=\dfrac{12+18+15+21+14}{5}=\dfrac{80}{5}=16\). Die Abweichungen sind \(-4;\;2;\;-1;\;5;\;-2\) und addieren sich zu null — das ist kein Zufall, sondern gilt in jedem Datensatz. Genau deshalb taugt der Durchschnitt der Abweichungen nicht als Streuungsmaß.

A7Ausreißer raus — was passiert mit den Kennzahlen?AFB II

An acht Tagen wurde die Wartezeit \(x\) an einer Bushaltestelle notiert, mit \([x]=\mathrm{min}\): 8 · 12 · 9 · 34 · 11 · 14 · 6 · 10.

Berechnen Sie Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Wie groß ist die Summe aller acht Werte?min
Wie groß ist das arithmetische Mittel \(\bar{x}\)?min
Wie groß ist die Spannweite \(\mathrm{Sw}\)?min
Der Ausreißer 34 wird gestrichen. Wie groß ist \(\bar{x}\) jetzt?min
Wie groß ist die Spannweite ohne den Ausreißer?min

Mit Ausreißer: \(\bar{x}=\dfrac{104}{8}=13\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw}=34-6=28\,\mathrm{min}\). Ohne ihn: \(\bar{x}=\dfrac{70}{7}=10\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw}=14-6=8\,\mathrm{min}\). Der Mittelwert sinkt um 3 min, die Spannweite dagegen auf weniger als ein Drittel — ein einziger Wert bestimmt sie fast allein.

A8Neun Messreihen, drei SpannweitenAFB II

Bestimmen Sie zu jeder Messreihe die Spannweite und sortieren Sie die Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Spannweite 6

2Spannweite 9

3Spannweite 12

Bei den Reihen mit negativen Zahlen hilft die Zahlengerade: \(3-(-3)=6\), \(5-(-4)=9\), \(7-(-5)=12\). Wer die Beträge abzieht statt der Werte, landet regelmäßig im falschen Korb.

A9Welcher Bruchteil bleibt übrig?AFB II

In der Bushaltestellen-Reihe aus Aufgabe 7 fällt die Spannweite durch das Streichen des Ausreißers von \(28\,\mathrm{min}\) auf \(8\,\mathrm{min}\).

Geben Sie als vollständig gekürzten Bruch an, welcher Bruchteil der ursprünglichen Spannweite übrig bleibt.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(\dfrac{8}{28}=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}286\), also rund 29 % der ursprünglichen Spannweite. Zum Vergleich: Das arithmetische Mittel fällt nur von 13 min auf 10 min, bleibt also bei rund 77 %.

A10Zwei Datensätze, dieselbe SpannweiteAFB II

Datensatz A: 10 · 14 · 15 · 16 · 20 — Datensatz B: 10 · 10 · 15 · 20 · 20.

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus. Rechnen Sie dazu Mittelwert und Spannweite beider Datensätze aus.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Beide haben \(\bar{x}=15\) und \(\mathrm{Sw}=10\). In A betragen die Abstände vom Mittel 5, 1, 0, 1, 5 (im Mittel 2,4), in B dagegen 5, 5, 0, 5, 5 (im Mittel 4). Ohne die Randwerte bleibt von A nur 14 · 15 · 16 mit \(\mathrm{Sw}=2\).

A11Was passiert beim Streichen des Ausreißers?AFB II

Aus den Fahrzeiten 28 · 33 · 37 · 30 · 35 · 53 · 38 · 32 · 29 · 36 (in min) wird der Wert 53 gestrichen.

Ordnen Sie jede Kennzahl dem passenden Bereich zu.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 wird deutlich kleiner

2 ändert sich nur wenig

3 ändert sich gar nicht

Spannweite \(25\to 10\), Standardabweichung \(6{,}789\to 3{,}414\), Varianz \(46{,}09\to 11{,}65\) — alle drei etwa halbiert oder stärker. Mittelwert \(35{,}1\to 33{,}11\) und Median \(34\to 33\) bewegen sich kaum. Der kleinste Wert bleibt 28, die neun Werte unter 40 bleiben neun, und die Summe der Abweichungen ist vorher wie nachher null.

A12Fünf Kennzahlen zu einer MessreiheAFB II

Gemessen wurde die Masse \(x\) von fünf Paketen mit \([x]=\mathrm{kg}\): 8 · 12 · 15 · 18 · 22.

Berechnen Sie die fünf angegebenen Kennzahlen. Die mittlere absolute Abweichung ist der Durchschnitt der Abstände \(|x_i-\bar{x}|\).

Trage alle Werte ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

arithmetisches Mittel \(\bar{x}\) in kgSpannweite \(\mathrm{Sw}\) in kggrößte Abweichung \(|x_i-\bar{x}|\) in kgmittlere absolute Abweichung in kgSumme aller Abweichungen \(x_i-\bar{x}\) in kg

\(\bar{x}=\dfrac{75}{5}=15\,\mathrm{kg}\); Abweichungen \(-7;\,-3;\,0;\,3;\,7\). Die Beträge 7, 3, 0, 3, 7 ergeben in der Summe 20, also \(\dfrac{20}{5}=4\,\mathrm{kg}\). Die vorzeichenbehaftete Summe ist dagegen null — erst der Betrag (oder später das Quadrat) macht aus den Abweichungen ein Streuungsmaß.

A13Messreihe und Spannweite verbindenAFB II

Berechnen Sie zu jeder Messreihe die Spannweite und verbinden Sie sie mit dem passenden Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Der Reihe nach: \(11-3=8\); \(30-19=11\); \(4-(-6)=10\); \(4{,}2-1{,}5=2{,}7\); \(110-97=13\). Wer bei der dritten Reihe 4 statt 10 erhält, hat die \(-6\) als 6 gelesen.

A14Fehler in der AuswertungAFB II

In einer Klassenarbeit wurden folgende Punktzahlen erreicht: 12 · 18 · 9 · 38 · 15 · 21 · 12 · 15.

Markieren Sie genau die Zeilen, die falsch sind.

In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zwei Zeilen sind falsch. Beide Fehler betreffen die Bauart der Spannweite: Sie ist eine Differenz (nicht eine Summe) und trägt die Einheit des Merkmals (nicht deren Quadrat).

A15Welche Kennzahl ist gemeint?AFB II

Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz in die Spalte der Kennzahl, auf die die Beschreibung zutrifft.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Diese Beschreibung passt zu …	Spannweite	arithmetisches Mittel	Abweichung \(x_i-\bar{x}\)
benutzt nur den kleinsten und den größten Wert
kann für einen einzelnen Wert negativ sein
sagt, wo die Werte ungefähr liegen, aber nicht wie weit sie auseinanderliegen
ergibt aufsummiert über alle Werte stets null
ändert sich nicht, wenn ein mittlerer Wert verschoben wird
ändert sich, sobald irgendein Wert verändert wird

Die Spannweite ist gegenüber allem unempfindlich, was zwischen den beiden Extremwerten passiert; das arithmetische Mittel reagiert auf jede Änderung, aber nur schwach; die Abweichung ist die einzige der drei Größen, die zu einem einzelnen Wert gehört und ein Vorzeichen trägt.

A16Rückwärts gerechnetAFB III

Ein Datensatz besteht aus den fünf Werten 14, 9, 21, \(x\) und 17. Seine Spannweite beträgt \(\mathrm{Sw}=19\).

Bestimmen Sie den größtmöglichen Wert von \(x\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Ohne \(x\) ist \(x_{\min}=9\) und \(x_{\max}=21\), die Spannweite also nur 12. Damit 19 herauskommt, muss \(x\) selbst ein Extremwert sein. Zwei Fälle: \(x-9=19\Rightarrow x=28\) oder \(21-x=19\Rightarrow x=2\). Beide erfüllen die Bedingung; gefragt ist der größere, also \(x=28\).

A17Spannweiten prüfen und berichtigenAFB III

Sechs Rechnungen, einige davon falsch. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils die richtige Spannweite ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Drei Zeilen sind falsch. Zeile 2: \(7-(-4)=11\). Zeile 4: Alle Werte gleich ⇒ \(\mathrm{Sw}=0\), nicht 20. Zeile 6: \(-2-(-9)=7\) — auch bei lauter negativen Zahlen ist die Spannweite positiv.

A18Gleiche Spannweite, verschiedene StreuungAFB III

Datensatz A: 10 · 14 · 15 · 16 · 20 — Datensatz B: 10 · 10 · 15 · 20 · 20.

Berechnen Sie für beide Datensätze das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung \(\frac1n\sum |x_i-\bar{x}|\).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Datensatz	\(\bar{x}\)	\(\mathrm{Sw}\)	mittlere absolute Abweichung
A
B

Beide Datensätze haben \(\bar{x}=15\) und \(\mathrm{Sw}=10\). Die Abstände vom Mittel sind in A 5, 1, 0, 1, 5 ⇒ \(\dfrac{12}{5}=2{,}4\), in B dagegen 5, 5, 0, 5, 5 ⇒ \(\dfrac{20}{5}=4\). Ein Maß, das alle Werte benutzt, trennt die beiden Datensätze sofort — die Spannweite kann das nicht.

A19Wie verändert sich die Spannweite?AFB III

Ein Datensatz hat die Spannweite \(s\). Jeder einzelne Wert wird nun verdreifacht und anschließend um 4 vermindert.

Geben Sie die Spannweite des neuen Datensatzes als Term in \(s\) an.

Gib den Term in s ein. Malzeichen darfst du weglassen, ^ steht für Potenzen. Enter prüft.

Aus \(x_{\max}\) wird \(3x_{\max}-4\), aus \(x_{\min}\) wird \(3x_{\min}-4\). Die Differenz beträgt \((3x_{\max}-4)-(3x_{\min}-4)=3(x_{\max}-x_{\min})=3s\). Das Vermindern um 4 verschiebt alle Werte gleich weit und hat auf die Spannweite gar keinen Einfluss; nur der Faktor 3 wirkt.

A20Die Begründung zusammensetzenAFB III

Zu den Datensätzen A und B aus Aufgabe 18 soll begründet werden, warum die Spannweite hier nicht ausreicht.

Setzen Sie die fünf passenden Bausteine in der richtigen Reihenfolge zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

Setze die Bausteine von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt einen Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Die drei übrigen Bausteine sind typische Fehlschlüsse: Die Spannweite ist hier gerade nicht das bessere Maß, die Mittelwerte sind gleich (beide 15), und B enthält keinen Ausreißer — die Werte liegen nur alle weit außen.

Übungen: Warum die Spannweite nicht reicht

Übungsaufgaben