Empirische Standardabweichung: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Von der Varianz zur StandardabweichungAFB I

Eine Messreihe von Fahrzeiten \(x\) mit \([x]=\mathrm{min}\) hat die empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}=6{,}25\,\mathrm{min}^2\).

Berechnen Sie die empirische Standardabweichung \(\bar{s}\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\bar{s}=\sqrt{6{,}25\,\mathrm{min}^2}=2{,}5\,\mathrm{min}\). Mit der Wurzel verschwindet auch das Quadrat aus der Einheit — genau darum geht es bei dieser Kennzahl.

A2Varianz und Standardabweichung paarenAFB I

Berechnen Sie zu jeder Varianz die zugehörige Standardabweichung und decken Sie die passenden Kartenpaare auf.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

\(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\), \(\sqrt{2{,}25}=1{,}5\), \(\sqrt{1{,}44}=1{,}2\). Achten Sie bei Dezimalzahlen unter 1 auf die Stellen: Die Wurzel aus 0,25 ist größer als 0,25, nicht kleiner.

A3Aussagen zur StandardabweichungAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie richtig ist.

Richtig oder falsch? Entscheide bei jeder Aussage. Eine Runde umfasst alle Aussagen.

Aussage 1 von 5

Die beiden falschen Aussagen betreffen die Deutung: klein heißt schmal, groß heißt breit — und das Band enthält keinen festen Anteil der Werte, sondern je nach Datensatz mehr oder weniger.

A4Hin und zurück: quadrieren und Wurzel ziehenAFB I

Ergänzen Sie die fehlenden Werte. In der ersten Zeile ist \(\bar{s}^{\,2}\) gegeben und \(\bar{s}\) gesucht, in der zweiten Zeile umgekehrt.

Acht Felder: oben die Wurzeln, unten die Quadrate. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft alles auf einmal.

gegeben
\(\bar{s}^{\,2}=16\;\big\|\;0{,}04\;\big\|\;2{,}56\;\big\|\;100\)	\(\bar{s}=\)	\(\bar{s}=\)	\(\bar{s}=\)	\(\bar{s}=\)
\(\bar{s}=7\;\big\|\;0{,}5\;\big\|\;1{,}2\;\big\|\;9\)	\(\bar{s}^{\,2}=\)	\(\bar{s}^{\,2}=\)	\(\bar{s}^{\,2}=\)	\(\bar{s}^{\,2}=\)

\(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\) — nicht 0,02. Faustregel: Beim Wurzelziehen wird die Zahl der Nachkommastellen halbiert, beim Quadrieren verdoppelt.

A5Die vollständige RechnungAFB II

Gemessen wurde die Füllmenge \(x\) von vier Packungen mit \([x]=\mathrm{g}\): 20 · 24 · 26 · 30.

Berechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Standardabweichung.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Wie groß ist die Summe aller vier Werte?g
Wie groß ist das arithmetische Mittel \(\bar{x}\)?g
Wie groß ist die Summe der quadrierten Abweichungen?g²
Wie groß ist die empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\)?g²
Wie groß ist \(\bar{s}\)? (auf zwei Nachkommastellen)g

Abweichungen \(-5;\,-1;\,1;\,5\); Quadrate \(25;\,1;\,1;\,25\) mit der Summe 52; \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{52}{4}=13\,\mathrm{g}^2\) und \(\bar{s}=\sqrt{13}\approx 3{,}61\,\mathrm{g}\). Der Wurzelschritt ist der einzige, der die Einheit verändert.

A6Das Band auf der ZahlengeradenAFB II

Eine Messreihe hat das arithmetische Mittel \(\bar{x}=12\) und die Standardabweichung \(\bar{s}=3\).

Stellen Sie auf der Zahlengeraden das Band von \(\bar{x}-\bar{s}\) bis \(\bar{x}+\bar{s}\) ein. Beide Randwerte gehören dazu.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

\(\bar{x}-\bar{s}=12-3=9\) und \(\bar{x}+\bar{s}=12+3=15\), also \([9;15]\). Weil die Randwerte mitgezählt werden („höchstens eine Standardabweichung entfernt“), zeigen beide eckigen Klammern nach innen. Die Breite des Bandes beträgt immer \(2\bar{s}\) — hier also 6.

A7Standardabweichung aus relativen HäufigkeitenAFB II

An einer Kasse wurde die Wartezeit \(x\) mit \([x]=\mathrm{min}\) erfasst. Es gilt \(\bar{x}=3\,\mathrm{min}\).

Berechnen Sie die gewichteten Quadrate, ihre Summe und daraus \(\bar{s}\) (auf zwei Nachkommastellen).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

\(x_i\)	\(h(x_i)\)	\((x_i-\bar{x})^2\)
1	0,1	4
2	0,2	1
3	0,4	0
4	0,2	1
5	0,1	4
Summe \(=\bar{s}^{\,2}\)	1,0
\(\bar{s}\)

Bei relativen Häufigkeiten steht kein Bruch unter der Wurzel, denn sie addieren sich bereits zu 1: \(\bar{s}^{\,2}=1{,}2\,\mathrm{min}^2\) und \(\bar{s}=\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}10\,\mathrm{min}\). Kontrolle des Mittelwerts: \(1\cdot0{,}1+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}4+4\cdot0{,}2+5\cdot0{,}1=3\).

A8Wie viele Werte liegen im Band?AFB II

Zehn Messwerte: 41 · 47 · 52 · 49 · 68 · 44 · 50 · 46 · 53 · 50.

Berechnen Sie \(\bar{x}\) und \(\bar{s}\) und bestimmen Sie, wie viele der zehn Werte höchstens eine Standardabweichung vom arithmetischen Mittel entfernt liegen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\bar{x}=\dfrac{500}{10}=50\). Die Quadratsumme beträgt \(81+9+4+1+324+36+0+16+9+0=480\), also \(\bar{s}^{\,2}=48\) und \(\bar{s}=\sqrt{48}\approx 6{,}93\). Das Band reicht von \(43{,}07\) bis \(56{,}93\). Nur 41 (zu klein) und 68 (der Ausreißer) liegen draußen — also 8 von 10 Werten im Band. Beachten Sie, wie stark der eine Wert 68 die Quadratsumme bestimmt: 324 der 480 stammen von ihm.

A9Was gilt für diese Messreihe?AFB II

Betrachtet wird derselbe Datensatz wie in Aufgabe 8 mit \(\bar{x}=50\), \(\bar{s}^{\,2}=48\) und \(\bar{s}\approx 6{,}93\).

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Band: \(50\pm 6{,}93\), also \([43{,}07;\,56{,}93]\) — darin liegen 8 der 10 Werte, nicht 5. Zwei Standardabweichungen sind \(2\cdot 6{,}93=13{,}86\), und \(68-50=18\) ist mehr. Spannweite \(68-41=27\). Dass \(\bar{s}\) kleiner ist als die Spannweite, ist normal: Die Spannweite misst den gesamten Bereich, \(\bar{s}\) den typischen Abstand vom Mittel.

A10Mittel, Streuung und BandAFB II

Gegeben ist die Messreihe 14 · 18 · 20 · 22 · 26.

Berechnen Sie die sechs Kennzahlen.

Trage alle Werte ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

arithmetisches Mittel \(\bar{x}\)empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\)empirische Standardabweichung \(\bar{s}\)untere Bandgrenze \(\bar{x}-\bar{s}\)obere Bandgrenze \(\bar{x}+\bar{s}\)Anzahl der Werte im Band

\(\bar{x}=\dfrac{100}{5}=20\); Abweichungen \(-6;\,-2;\,0;\,2;\,6\); Quadrate \(36;\,4;\,0;\,4;\,36\) mit der Summe 80; \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{80}{5}=16\) und \(\bar{s}=4\). Das Band \([16;24]\) enthält 18, 20 und 22 — drei der fünf Werte. Die beiden Randwerte 14 und 26 liegen jeweils 6 vom Mittel entfernt, also weiter als eine Standardabweichung.

A11Die Standardabweichung einstellenAFB II

Gegeben ist die Messreihe 18 · 26 · 30 · 34 · 42.

Berechnen Sie \(\bar{s}\) und stellen Sie den Regler auf diesen Wert. Der Wert ist ganzzahlig.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.

020

\(\bar{x}=\dfrac{150}{5}=30\); Abweichungen \(-12;\,-4;\,0;\,4;\,12\); Quadrate \(144;\,16;\,0;\,16;\,144\) mit der Summe 320; \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{320}{5}=64\) und damit \(\bar{s}=8\). Der typische Abstand vom Mittel beträgt also 8 — deutlich weniger als die Spannweite 24.

A12Neun Messreihen, drei StandardabweichungenAFB II

Jede Messreihe besteht aus vier Werten. Berechnen Sie jeweils \(\bar{s}\) und sortieren Sie die Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1s̄ = 1

2s̄ = 2

3s̄ = 4

Alle neun Reihen haben die Bauart \(a,\,a,\,b,\,b\). Dann ist \(\bar{x}=\dfrac{a+b}{2}\), jede Abweichung beträgt \(\dfrac{b-a}{2}\), und weil alle vier Quadrate gleich groß sind, gilt \(\bar{s}=\dfrac{b-a}{2}\). Aus \(b-a=2;\,4;\,8\) folgen \(\bar{s}=1;\,2;\,4\) — die Lage der Werte spielt keine Rolle.

A13Wie reagiert die Standardabweichung?AFB II

Ein Datensatz wird verändert. Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Veränderung des Datensatzes	\(\bar{s}\) wird größer	\(\bar{s}\) wird kleiner	\(\bar{s}\) bleibt gleich
Zu jedem Wert werden 5 addiert.
Jeder Wert wird verdoppelt.
Ein weit außen liegender Ausreißer wird gestrichen.
Ein zusätzlicher Wert genau in Höhe von \(\bar{x}\) kommt hinzu.
Alle Werte werden durch 2 geteilt.
Die Reihenfolge der Werte wird geändert.

Verschieben (Zeile 1) verändert jede Abweichung nicht — \(\bar{x}\) wandert mit. Strecken (Zeilen 2 und 5) streckt alle Abweichungen mit demselben Faktor. Zeile 4 ist die interessanteste: \(\bar{x}\) bleibt gleich und die Quadratsumme auch, aber \(n\) wächst — also wird \(\bar{s}^{\,2}\) und damit \(\bar{s}\) kleiner. Die Reihenfolge geht in keine der Formeln ein.

A14Fehler in der AuswertungAFB II

Berechnet werden soll \(\bar{s}\) für die Messreihe 4 · 8 · 10 · 14 (Angabe in Gramm).

Markieren Sie genau die Zeilen, die falsch sind.

In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zwei Zeilen sind falsch. Zeile 6 und 7 sind richtig, obwohl sie auf \(\bar{s}\approx 3{,}61\) beruhen — prüfen Sie also nicht nur, ob eine Zeile zur vorherigen passt, sondern ob sie für sich genommen stimmt.

A15Varianz und Standardabweichung mit EinheitAFB II

Ziehen Sie jeweils die Wurzel und verbinden Sie die zusammengehörenden Angaben.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die Wurzel wirkt auf Zahl und Einheit: \(\sqrt{0{,}64\,\mathrm{m}^2}=0{,}8\,\mathrm{m}\). Nur bei 40 geht die Wurzel nicht auf — \(\sqrt{40}\approx 6{,}32\); zur Kontrolle: \(6^2=36\) und \(7^2=49\), das Ergebnis muss also zwischen 6 und 7 liegen.

A16Den Merksatz vervollständigenAFB III

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Die empirische Standardabweichung entsteht aus der Varianz durch und trägt deshalb . Das Band von \(\bar{x}-\bar{s}\) bis \(\bar{x}+\bar{s}\) ist umso , je kleiner \(\bar{s}\) ausfällt, und seine Breite beträgt immer . Ein einzelner weit entfernter Wert lässt \(\bar{s}\) , weil unter der Wurzel wird. Multipliziert man jeden Wert mit 3, so wird \(\bar{s}\) .

Wichtig ist der Unterschied zwischen \(\bar{s}\) und \(\bar{s}^{\,2}\) beim Strecken: Die Varianz wächst mit \(a^2\), die Standardabweichung nur mit \(|a|\). Deshalb wird \(\bar{s}\) verdreifacht, \(\bar{s}^{\,2}\) dagegen verneunfacht.

A17Wurzeln und Quadrate berichtigenAFB III

Sechs Umrechnungen, einige davon falsch. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils den richtigen Wert ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Drei Zeilen sind falsch, und alle drei verwechseln Wurzel mit Halbieren oder Quadrat mit Verdoppeln: \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\), \(6^2=36\), \(\sqrt{144}=12\). Eine schnelle Kontrolle: Das Quadrat des Ergebnisses muss die Varianz zurückgeben.

A18Von der Standardabweichung zur QuadratsummeAFB III

Ein Datensatz aus \(n=5\) Werten hat das arithmetische Mittel \(\bar{x}=20\) und die Standardabweichung \(\bar{s}=4\).

Bestimmen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen \(\sum (x_i-\bar{x})^2\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Aus \(\bar{s}=4\) folgt \(\bar{s}^{\,2}=16\). Die Formel \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}\) nach der Summe aufgelöst ergibt \(\sum(x_i-\bar{x})^2=\bar{s}^{\,2}\cdot n=16\cdot 5=80\). Das arithmetische Mittel wird für diese Rechnung gar nicht gebraucht — es ist eine überflüssige Angabe.

A19Standardabweichung nach dem VerdoppelnAFB III

Ein Datensatz hat die empirische Varianz \(v\). Nun wird jeder einzelne Wert verdoppelt und anschließend um 5 vermindert.

Geben Sie die Standardabweichung des neuen Datensatzes als Term in \(v\) an.

Gib den Term in v ein. Wurzeln als sqrt(v), Malzeichen darfst du weglassen. Enter prüft.

Die ursprüngliche Standardabweichung ist \(\sqrt{v}\). Das Vermindern um 5 verschiebt alle Werte gleich weit und ändert nichts; das Verdoppeln verdoppelt jede Abweichung und damit auch \(\bar{s}\). Also \(2\sqrt{v}\). Über die Varianz gerechnet: neue Varianz \(2^2v=4v\), und \(\sqrt{4v}=2\sqrt{v}\) — dasselbe Ergebnis.

A20Die Deutung zusammensetzenAFB III

Zu den Fahrzeiten mit \(\bar{x}=35{,}1\,\mathrm{min}\) und \(\bar{s}=6{,}789\,\mathrm{min}\) soll das Ergebnis im Sachzusammenhang gedeutet werden.

Setzen Sie die fünf passenden Bausteine in der richtigen Reihenfolge zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

Setze die Bausteine von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt einen Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Die drei übrigen Bausteine enthalten je einen Fehler: 6,789 min ist die Standardabweichung (die Varianz beträgt 46,09 min\(^2\)), das Band trägt die Einheit des Merkmals und nicht deren Quadrat, und im Band liegen acht der zehn Werte — 28 min und 53 min liegen draußen.

Übungen: Die empirische Standardabweichung

Übungsaufgaben