Textaufgaben: Repräsentativität einer Stichprobe

Die drei Ergebnisse in Anteilen: \(\dfrac{21}{96}\approx 0{,}219\), \(\dfrac{113}{180}\approx 0{,}628\) und \(\dfrac{32}{56}\approx 0{,}571\), also rund 22 %, 63 % und 57 % Zustimmung. Lenas Ergebnis fällt damit um rund 40 Prozentpunkte niedriger aus als das von Michael; die Ergebnisse von Michael und Irina liegen dagegen nur wenige Prozentpunkte auseinander.

Lenas Stichprobe besteht ausschließlich aus Jugendlichen ihres Jahrgangs. Genau diese Gruppe ist von dem Verbot betroffen und lehnt es deshalb überwiegend ab. Der Jahrgang bildet die Bevölkerung in keinem der relevanten Merkmale ab.

Michael befragt Passanten an einem Nachmittag in der Fußgängerzone. Ort und Zeitpunkt entscheiden mit: Wer nachmittags dort unterwegs ist, ist im Mittel deutlich älter und fährt seltener selbst Rad.

Irina fragt in ihrer Nachbarschaft. Menschen, die nah beieinander wohnen, ähneln sich häufig in Alter, Einkommen und Lebensweise; ihre Meinungen sind daher nicht unabhängig voneinander verteilt.

Alle drei Stichproben sind zudem klein. Bei \(n = 56\) verschiebt schon eine Handvoll anderer Antworten den Anteil um mehrere Prozentpunkte.

Für ein aussagekräftigeres Ergebnis müssen die drei zunächst festlegen, über wen sie eine Aussage treffen wollen — etwa über alle Einwohnerinnen und Einwohner ihrer Stadt. Danach bestimmen sie die Merkmale, die abgebildet werden müssen (vor allem Alter, daneben Geschlecht und Wohnlage), beschaffen deren Anteile in der Grundgesamtheit und ziehen die Befragten zufällig, statt sie an einem einzigen Ort anzusprechen. Sinnvoll ist außerdem, die drei Teilstichproben zu einer größeren Stichprobe zusammenzufassen und an verschiedenen Wochentagen und Uhrzeiten zu befragen. Der größere Umfang senkt die Unsicherheit — die systematische Verzerrung beseitigt er allein aber nicht.

Keine der fünf Situationen liefert eine repräsentative Stichprobe. In allen Fällen bestimmt der Ort zusammen mit dem Zeitpunkt, wer überhaupt befragt werden kann; die Auswahl ist damit systematisch verzerrt.

Fußgängerzone am Vormittag: Erreicht werden vor allem Menschen, die vormittags Zeit haben — Ruheständler, Personen ohne Beschäftigung, Schichtarbeitende im Frei. Berufstätige und Schülerinnen und Schüler fehlen fast vollständig.

Vor einer Diskothek: Die Befragten sind überwiegend jung. Sie beurteilen ihre eigene Mediennutzung und fallen deutlich milder aus als der Durchschnitt. Ältere Menschen kommen praktisch nicht vor.

Vor einem Fußballstadion: Die Fans sind keine zufällige Auswahl der Bevölkerung, sondern eine Gruppe mit eigener Alters- und Geschlechterverteilung. Zusätzlich ist die Stimmung vor einem Spiel ein schlechter Rahmen für eine ernsthafte Antwort.

In der Nähe eines Ärztezentrums: Hier sammeln sich Menschen mit gesundheitlichen Beschwerden, im Mittel deutlich älter als die Bevölkerung. Zum Thema Gesundheitsgefahren dürfte die Antwort dadurch besonders kritisch ausfallen.

Am Eingang eines Restaurants: Die Auswahl hängt vom Preisniveau, von der Uhrzeit und von der Lage ab; Einkommen und Alter der Gäste weichen vom Durchschnitt ab. Außerdem ist die Teilnahme freiwillig, sodass zusätzlich eine Selbstauswahl entsteht.

Zweifelhaft sind zum Beispiel eine Online-Abstimmung auf einer Nachrichtenseite (nur Interessierte stimmen ab), eine Befragung im Wartebereich eines Bahnhofs (Reisende sind keine Bevölkerungsstichprobe) oder eine Umfrage im eigenen Freundeskreis. Vertretbar sind dagegen eine Zufallsauswahl aus dem Melderegister der Stadt, eine Telefonumfrage mit zufällig erzeugten Festnetz- und Mobilfunknummern oder eine geschichtete Auswahl, bei der Alter, Geschlecht und Wohnort vorher in denselben Anteilen wie in der Grundgesamtheit festgelegt werden.

Die Zusatzdaten — Alter, Geschlecht, Wohnort, Bildungsabschluss, Beruf — sind die Merkmale, bezüglich derer die Stichprobe die Grundgesamtheit abbilden muss. Erst mit ihnen lässt sich prüfen, ob die 2505 Befragten die wahlberechtigte Bevölkerung widerspiegeln.

Außerdem erlauben sie es, eine schiefe Stichprobe nachträglich zu gewichten: Ist eine Gruppe unterrepräsentiert, zählen ihre Antworten entsprechend stärker. Und sie machen Auswertungen für Teilgruppen möglich.

Berücksichtigt werden sollten mindestens: Alter, Geschlecht, Wohnort nach Bundesland sowie Stadt und Land, Bildungsabschluss, berufliche Stellung und Einkommen. Für Wahlumfragen kommen die Wahlbeteiligung und die Wahlentscheidung bei der letzten Wahl hinzu. Wichtig ist auch die Erreichbarkeit: Wer nur über Festnetz befragt, verliert überwiegend jüngere Haushalte.

Die Institute arbeiten überwiegend mit Telefoninterviews. Die Rufnummern werden dabei nicht aus dem Telefonbuch entnommen, sondern nach einem Zufallsverfahren erzeugt, damit auch nicht eingetragene Anschlüsse eine Chance haben; Festnetz und Mobilfunk werden in einem festen Verhältnis kombiniert. Daneben gibt es Online-Befragungen aus vorab rekrutierten Zufallsstichproben.

Anschließend werden die Antworten gewichtet, bis die Verteilung der erhobenen Merkmale mit der amtlichen Statistik übereinstimmt. Die verbleibende Unsicherheit wird als Fehlertoleranz angegeben — hier +/− 2,5 Prozentpunkte. Unterschiede, die kleiner sind als diese Toleranz, dürfen nicht als Veränderung gedeutet werden.

Damit ist auch klar, warum die Sonntagsfrage keine Wahlprognose ist: Sie beschreibt die Stimmung im Erhebungszeitraum — hier vom 25. bis 29.9.2017 — und nicht das Ergebnis eines künftigen Wahltags.

Die Gesamtzahl der Einschaltungen ist \(N = 4\,434\,615 + 3\,453\,396 = 7\,888\,011\).

Für jede Zelle gilt \(n\cdot\dfrac{H}{N}\), zum Beispiel für die 21- bis 35-jährigen Männer: \(1000\cdot\dfrac{1\,748\,215}{7\,888\,011}\approx 221{,}6\), also 222 Personen. Ebenso für die 14- bis 20-jährigen Frauen: \(1000\cdot\dfrac{104\,344}{7\,888\,011}\approx 13{,}2\), also 13 Personen.

Die gerundeten Werte ergeben zusammen genau 1000. Insgesamt sind 562 Männer und 438 Frauen zu befragen — das entspricht den Anteilen von rund 56,2 % und 43,8 % in der Grundgesamtheit.

Erstens überschneiden sich die Altersgruppen „36–49“ und „49–65“ bei 49 Jahren; wer genau 49 ist, wird doppelt gezählt oder willkürlich einer Gruppe zugeschlagen. Die Klassen müssten sauber getrennt werden, etwa 36–49 und 50–65.

Zweitens misst die Stichprobe nur unter denjenigen, die die Show bereits eingeschaltet haben. Wer sie gar nicht sieht, kommt darin nicht vor — über die Beliebtheit der Show in der Bevölkerung sagt die Befragung deshalb nichts aus.

Insgesamt sprechen sich 101 von 716 Befragten für 16 Jahre aus, das sind rund 14,1 %; 559 Befragte (rund 78,1 %) wollen es bei 18 Jahren belassen, 56 (rund 7,8 %) sind unentschieden.

Der Anteil der 16- bis 17-Jährigen an allen Befragten beträgt \(\dfrac{21}{716}\approx 0{,}029\), also nur knapp 3 %. Ihr Antwortverhalten unterscheidet sich deutlich vom Rest: 11 von 21 Personen (rund 52 %) befürworten 16 Jahre, während es bei den über 60-Jährigen nur 19 von 243 (rund 8 %) sind.

Die Altersgruppen sind sehr ungleich besetzt: 21 Befragten im Alter von 16 bis 17 Jahren stehen 243 Befragte ab 60 Jahren gegenüber. Gerade die jüngste Gruppe ist von der Frage unmittelbar betroffen und in der Stichprobe zugleich am schwächsten vertreten.

Die Gruppen sind zudem unterschiedlich breit: „16–17“ umfasst zwei Jahrgänge, „18–29“ zwölf, „60 und älter“ ist nach oben offen. Ein direkter Vergleich der Spalten ist daher irreführend, und ob die Anteile denen der Bevölkerung entsprechen, lässt sich aus der Tabelle nicht ablesen. Auch der Umfang ist knapp: Bei nur 21 Befragten in der jüngsten Gruppe verschiebt eine einzige andere Antwort den Anteil um fast 5 Prozentpunkte.

Als stichhaltiges Argument taugen die Zahlen deshalb nicht. Sie zeigen bestenfalls, dass eine Absenkung des Wahlalters im Spätsommer 2015 mehrheitlich abgelehnt wurde — und zwar vor allem von denen, die davon gar nicht betroffen wären. Hinzu kommt ein grundsätzlicher Einwand: Selbst eine perfekt repräsentative Umfrage misst nur Meinungen. Ob 16-Jährige wählen dürfen sollen, ist eine Frage von Rechten und Verantwortung, die sich durch Mehrheiten nicht beantworten lässt. Wer die Umfrage verwenden will, muss außerdem den Wortlaut der Frage, den Erhebungszeitraum und das Auswahlverfahren mit angeben.

Eine feste Musterlösung gibt es hier nicht. Erwartet wird: Die Grundgesamtheit ist in einem Satz benannt und abgegrenzt, ebenso die Fragestellung. Die Fragen sind neutral formuliert und legen keine Antwort nahe. Die Merkmale, bezüglich derer die Stichprobe passen muss, sind vor der Erhebung festgelegt; ihre Anteile in der Grundgesamtheit sind mit Quelle dokumentiert (z. B. Schülerzahlen aus dem Sekretariat).

Der Stichprobenumfang \(n\) ist begründet, und die Sollzahlen \(n\cdot\dfrac{H}{N}\) sind für jede Gruppe berechnet. Rundungen sind so gewählt, dass die Summe wieder \(n\) ergibt. Die Auswahl innerhalb der Gruppen erfolgt zufällig und nicht über Freiwilligkeit; Ausfälle sind gezählt und im Bericht genannt, damit sichtbar bleibt, wer nicht geantwortet hat.

Die Auswertung nennt zu jeder Zahl den Umfang, auf den sie sich bezieht — also nicht „62 % sind dafür“, sondern „113 von 180 Befragten, das sind rund 63 %“. Der Bericht schließt mit einer ehrlichen Einordnung: Für welche Grundgesamtheit gilt das Ergebnis, welche Gruppen sind unterrepräsentiert, und wie groß ist die Unsicherheit bei diesem \(n\)?

Für die Veröffentlichung gehören außerdem der Erhebungszeitraum, der genaue Wortlaut der Fragen und das Auswahlverfahren in einen kurzen Methodenkasten. Personenbezogene Angaben werden nur anonym erhoben und ausgewertet; einzelne Antworten dürfen sich nicht auf bestimmte Personen zurückführen lassen.