Honigernte von neun Völkern
AFB IEin Imker wiegt am Ende der Saison die Honigernte jedes seiner neun Bienenvölker. Betrachtet wird die Erntemenge \(m\) mit \([m] = \mathrm{kg}\), der Stichprobenumfang beträgt \(n = 9\). Für seinen Jahresbericht möchte er die Ernte durch die Fünf-Punkte-Zusammenfassung beschreiben (Material M1).
| Volk | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ernte in kg | 14 | 22 | 9 | 18 | 25 | 16 | 31 | 12 | 20 |
- Geben Sie die Rangliste der neun Erntemengen sowie den Stichprobenumfang \(n\) an.
- Bestimmen Sie die vollständige Fünf-Punkte-Zusammenfassung der Erntemengen.
- Berechnen Sie die Spannweite und deuten Sie den Wert des unteren Quartils im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Rangliste: \(9;\ 12;\ 14;\ 16;\ 18;\ 20;\ 22;\ 25;\ 31\) (Angaben in kg).
Der Stichprobenumfang beträgt \(n = 9\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Weil \(n = 9\) ungerade ist, ist der Median der mittlere, also der 5. Wert der Rangliste: \(x_{\mathrm{Med}} = 18\,\mathrm{kg}\).
Der Median wird weggelassen. Untere Hälfte: \(9;\ 12;\ 14;\ 16\) mit \(Q_1 = \dfrac{12+14}{2} = 13\,\mathrm{kg}\). Obere Hälfte: \(20;\ 22;\ 25;\ 31\) mit \(Q_3 = \dfrac{22+25}{2} = 23{,}5\,\mathrm{kg}\).
Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Minimum \(9\,\mathrm{kg}\) · \(Q_1 = 13\,\mathrm{kg}\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 18\,\mathrm{kg}\) · \(Q_3 = 23{,}5\,\mathrm{kg}\) · Maximum \(31\,\mathrm{kg}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(Sw = 31\,\mathrm{kg} - 9\,\mathrm{kg} = 22\,\mathrm{kg}\). Zwischen dem schwächsten und dem stärksten Volk liegen 22 kg Honig.
Deutung von \(Q_1 = 13\,\mathrm{kg}\): Etwa ein Viertel der Völker hat weniger als 13 kg Honig geliefert. Hier sind das konkret die beiden Völker mit 9 kg und 12 kg; drei Viertel der Völker haben also mindestens 13 kg erbracht. Weil \(Q_1\) ein Median ist, muss es kein tatsächlich gemessener Wert sein — 13 kg kommt in der Datenreihe gar nicht vor.
Ausschuss in der Fertigung
AFB IIEin Zulieferbetrieb protokolliert an zwölf aufeinanderfolgenden Arbeitstagen, wie viele Teile die Endkontrolle als fehlerhaft aussortiert (Material M1). Am zehnten Tag fiel eine Maschine aus; an diesem Tag wurden auffällig viele Teile aussortiert.
Die Differenz \(Q_3 - Q_1\) — im Boxplot die Breite der Box — heißt Quartilsabstand. Sie beschreibt, über welchen Bereich sich die mittleren 50 % der Werte erstrecken.
| Tag | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fehlerhafte Teile | 14 | 9 | 22 | 17 | 11 | 15 | 12 | 19 | 16 | 30 | 13 | 24 |
- Bestimmen Sie die Fünf-Punkte-Zusammenfassung der zwölf Tageswerte.
- Berechnen Sie den Quartilsabstand \(Q_3 - Q_1\) und die Spannweite und deuten Sie beide Werte im Sachzusammenhang.
- Erklären Sie am Beispiel des Maschinenausfalls, warum der Quartilsabstand ein widerstandsfähigeres Streuungsmaß ist als die Spannweite. Nehmen Sie dazu an, am zehnten Tag wären 45 statt 30 Teile aussortiert worden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Rangliste: \(9;\ 11;\ 12;\ 13;\ 14;\ 15;\ 16;\ 17;\ 19;\ 22;\ 24;\ 30\).
\(n = 12\) ist gerade, also \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{15+16}{2} = 15{,}5\). Untere Hälfte \(9;\ 11;\ 12;\ 13;\ 14;\ 15\) mit \(Q_1 = \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5\); obere Hälfte \(16;\ 17;\ 19;\ 22;\ 24;\ 30\) mit \(Q_3 = \dfrac{19+22}{2} = 20{,}5\).
Fünf Punkte: Minimum 9 · \(Q_1 = 12{,}5\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 15{,}5\) · \(Q_3 = 20{,}5\) · Maximum 30 fehlerhafte Teile.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Quartilsabstand: \(Q_3 - Q_1 = 20{,}5 - 12{,}5 = 8\) Teile. Spannweite: \(Sw = 30 - 9 = 21\) Teile.
Deutung: An der mittleren Hälfte der Tage — das sind hier sechs der zwölf Tage — lagen die Ausschusszahlen zwischen 12,5 und 20,5 Teilen, also innerhalb eines Bereichs von nur 8 Teilen. Der Betrieb arbeitet an den meisten Tagen recht gleichmäßig. Die Spannweite von 21 Teilen zeigt dagegen den Abstand zwischen dem besten Tag (9 Teile) und dem schlechtesten Tag (30 Teile) und wird damit vollständig von den beiden Randtagen bestimmt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit 45 statt 30 lautet die Rangliste \(9;\ 11;\ 12;\ 13;\ 14;\ 15;\ 16;\ 17;\ 19;\ 22;\ 24;\ 45\). Median und Quartile ändern sich nicht: \(x_{\mathrm{Med}} = 15{,}5\), \(Q_1 = 12{,}5\), \(Q_3 = 20{,}5\), also weiterhin \(Q_3 - Q_1 = 8\) Teile. Die Spannweite wächst dagegen von 21 auf \(45 - 9 = 36\) Teile, also um mehr als zwei Drittel.
Der Grund liegt in der Rechenvorschrift: Die Spannweite wird ausschließlich aus den beiden Randwerten gebildet, ein einziger Ausnahmetag geht deshalb vollständig in sie ein. \(Q_1\) und \(Q_3\) sind dagegen Mediane der beiden Hälften und werden an festen Positionen der Rangliste abgelesen. Solange der Ausnahmewert der größte Wert bleibt, verschiebt er keine dieser Positionen — er wird lediglich weiter nach rechts geschoben. Der Quartilsabstand beschreibt deshalb die typische Schwankung des Betriebsalltags, die Spannweite den Extremfall.
Fehltage aus einer Häufigkeitstabelle
AFB IIEin Ausbildungsbetrieb wertet aus, an wie vielen Tagen seine 50 Auszubildenden im vergangenen Halbjahr krankheitsbedingt gefehlt haben. Die Einzelwerte werden nicht als Rangliste ausgeschrieben, sondern als Häufigkeitstabelle geführt (Material M1). Die Personalabteilung schreibt in ihren Bericht: „Ein Viertel unserer Auszubildenden hatte höchstens einen Fehltag.“
| Fehltage \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Häufigkeit \(H_i\) | 6 | 9 | 12 | 10 | 7 | 4 | 2 |
- Berechnen Sie die kumulierten Häufigkeiten und bestätigen Sie damit den Stichprobenumfang \(n = 50\).
- Bestimmen Sie die Fünf-Punkte-Zusammenfassung, ohne die Rangliste auszuschreiben.
- Prüfen Sie die Aussage der Personalabteilung an den Daten und erklären Sie, warum die Viertel-Regel hier nur näherungsweise gilt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kumulierte Häufigkeiten: \(6;\ 15;\ 27;\ 37;\ 44;\ 48;\ 50\).
Die letzte kumulierte Häufigkeit ist die Summe aller Häufigkeiten: \(6+9+12+10+7+4+2 = 50\). Damit ist \(n = 50\) bestätigt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Median: \(n = 50\) ist gerade, also ist \(x_{\mathrm{Med}}\) das Mittel des 25. und des 26. Wertes. Wegen \(15 < 25 \le 27\) und \(15 < 26 \le 27\) tragen beide Positionen den Wert 2, also \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{2+2}{2} = 2\) Fehltage.
\(Q_1\): Die untere Hälfte sind die Positionen 1 bis 25; ihr Median ist das Mittel des 13. und des 14. Wertes. Wegen \(6 < 13 \le 15\) und \(6 < 14 \le 15\) tragen beide den Wert 1, also \(Q_1 = 1\) Fehltag.
\(Q_3\): Die obere Hälfte sind die Positionen 26 bis 50, also 25 Werte; ihr Median ist der 13. Wert dieser Hälfte, das ist Position \(26 + 12 = 38\). Wegen \(37 < 38 \le 44\) ist \(Q_3 = 4\) Fehltage.
Fünf Punkte: Minimum 0 · \(Q_1 = 1\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 2\) · \(Q_3 = 4\) · Maximum 6 Fehltage; Spannweite 6, Quartilsabstand \(4-1 = 3\) Tage.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage trifft in dieser Form nicht zu. Höchstens einen Fehltag hatten \(6 + 9 = 15\) Auszubildende, also \(\dfrac{15}{50} = 30\,\%\) und nicht 25 %. Weniger als \(Q_1 = 1\) Fehltag, also gar keinen, hatten dagegen nur 6 Auszubildende, also \(\dfrac{6}{50} = 12\,\%\). Der wahre Anteil liegt damit je nach Lesart bei 12 % oder bei 30 %, keinesfalls exakt bei 25 %.
Ursache: Die Viertel-Regel besagt, dass unterhalb von \(Q_1\) etwa 25 % der Werte liegen. Exakt aufgehen kann sie nur, wenn alle Werte verschieden sind. Hier tritt der Wert 1 aber neunmal auf, und ein einzelner Wert lässt sich nicht aufteilen: Die Grenze \(Q_1 = 1\) liegt mitten in einer Gruppe gleicher Werte, deshalb springt der Anteil von 12 % (unterhalb) auf 30 % (bis einschließlich). Bei Merkmalen mit wenigen verschiedenen Ausprägungen ist dieser Sprung die Regel, nicht die Ausnahme.
Korrekt wäre: „Etwa ein Viertel unserer Auszubildenden hatte höchstens einen Fehltag“ — oder präzise: „30 % hatten höchstens einen Fehltag, 12 % fehlten gar nicht.“
Mietspiegel einer Stadt
AFB IIIEine Stadt veröffentlicht ihren Mietspiegel. Erfasst wurden 480 Wohnungen; angegeben wird die Nettokaltmiete je Quadratmeter \(p\) mit \([p] = \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\). Statt einer vollständigen Liste veröffentlicht die Stadt nur die Fünf-Punkte-Zusammenfassung (Material M1). Ein Wohnungssuchender kann höchstens \(9{,}00\ \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\) zahlen und fragt, wie viele Wohnungen für ihn infrage kommen.
| Kennwert | Wert in Euro je \(\mathrm{m}^2\) |
|---|---|
| Minimum | 5,20 |
| unteres Quartil \(Q_1\) | 8,40 |
| Median \(x_{\mathrm{Med}}\) | 9,90 |
| oberes Quartil \(Q_3\) | 12,60 |
| Maximum | 21,00 |
- Berechnen Sie, wie viele Wohnungen etwa unterhalb von \(Q_1\), wie viele etwa zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) und wie viele etwa oberhalb von \(Q_3\) liegen.
- Untersuchen Sie mithilfe des Quartilsabstands und der beiden Boxhälften, wie sich die Mieten um den Median herum verteilen.
- Entscheiden Sie begründet, ob sich die Frage des Wohnungssuchenden aus dem veröffentlichten Mietspiegel beantworten lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Unterhalb von \(Q_1 = 8{,}40\): etwa \(0{,}25 \cdot 480 = 120\) Wohnungen. Zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\): etwa \(0{,}50 \cdot 480 = 240\) Wohnungen. Oberhalb von \(Q_3 = 12{,}60\): wieder etwa \(0{,}25 \cdot 480 = 120\) Wohnungen.
Rund 120 Wohnungen kosten also weniger als \(8{,}40\ \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\), rund 240 liegen im mittleren Bereich und rund 120 sind teurer als \(12{,}60\ \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Quartilsabstand: \(12{,}60 - 8{,}40 = 4{,}20\ \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\); Spannweite: \(21{,}00 - 5{,}20 = 15{,}80\ \dfrac{\text{Euro}}{\mathrm{m}^2}\).
Die beiden Boxhälften sind verschieden breit: \(x_{\mathrm{Med}} - Q_1 = 9{,}90 - 8{,}40 = 1{,}50\), aber \(Q_3 - x_{\mathrm{Med}} = 12{,}60 - 9{,}90 = 2{,}70\). In beiden Abschnitten liegen jeweils etwa 120 Wohnungen.
Das Viertel unmittelbar unter dem Median drängt sich also in einem schmalen Preisband von 1,50 Euro, das Viertel unmittelbar darüber verteilt sich über fast das Doppelte. Nach oben hin wird der Markt dünner und teurer: Auch die obere Antenne ist mit \(21{,}00 - 12{,}60 = 8{,}40\) deutlich länger als die untere mit \(8{,}40 - 5{,}20 = 3{,}20\). Die Verteilung ist damit deutlich rechtsschief — wenige sehr teure Wohnungen ziehen den oberen Rand weit nach außen, während sich die Masse der Wohnungen im Bereich zwischen 8,40 und 12,60 Euro ballt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Frage lässt sich nicht genau beantworten, aber eingrenzen.
Der Wert \(9{,}00\) liegt zwischen \(Q_1 = 8{,}40\) und \(x_{\mathrm{Med}} = 9{,}90\), also im zweiten Viertel. Aus den fünf Punkten folgt: Unterhalb von 8,40 Euro liegen etwa 120 Wohnungen, unterhalb von 9,90 Euro etwa 240. Weil 9,00 dazwischen liegt, kommen mindestens etwa 120 und höchstens etwa 240 Wohnungen infrage.
Genauer geht es nicht, denn die fünf Punkte sagen nichts darüber, wie sich die 120 Wohnungen des zweiten Viertels zwischen 8,40 und 9,90 Euro verteilen. Sie könnten sich alle dicht bei 8,50 Euro drängen — dann wären es fast 240 — oder alle knapp unter 9,90 Euro liegen — dann wären es kaum mehr als 120.
Entscheidung: Der Wohnungssuchende sollte sich auf die Aussage „zwischen etwa 120 und etwa 240 der 480 Wohnungen“ stützen und bei der Stadt die vollständige Häufigkeitsverteilung oder wenigstens die Anteile in feineren Stufen anfordern. Ein Mietspiegel, der nur fünf Zahlen nennt, ist für diese Frage zu grob.
Eine Meldung über Bildschirmzeiten prüfen
AFB IIIEine Zeitung befragt 200 Jugendliche nach ihrer täglichen Bildschirmzeit \(t\) mit \([t] = \mathrm{h}\) und veröffentlicht dazu die Fünf-Punkte-Zusammenfassung (Material M1). Im Artikel heißt es:
(1) „Zwischen 2,5 und 5,0 Stunden liegen weit mehr Jugendliche als zwischen 1,5 und 2,5 Stunden — dieser Bereich ist schließlich zweieinhalbmal so breit.“
(2) „Die Hälfte der Jugendlichen sitzt täglich mehr als fünf Stunden vor dem Bildschirm.“
| Kennwert | Minimum | \(Q_1\) | \(x_{\mathrm{Med}}\) | \(Q_3\) | Maximum |
|---|---|---|---|---|---|
| Wert in h | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 5,0 | 9,0 |
- Berechnen Sie die Breite der vier Viertel und die Anzahl der Jugendlichen, die jeweils in ihnen liegen.
- Widerlegen Sie Aussage (1) und erklären Sie den zugrunde liegenden Denkfehler.
- Beurteilen Sie Aussage (2) und formulieren Sie zwei zutreffende Sätze, die die Zeitung stattdessen hätte schreiben können.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Breiten der vier Viertel: \(1{,}5 - 0{,}5 = 1{,}0\ \mathrm{h}\); \(2{,}5 - 1{,}5 = 1{,}0\ \mathrm{h}\); \(5{,}0 - 2{,}5 = 2{,}5\ \mathrm{h}\); \(9{,}0 - 5{,}0 = 4{,}0\ \mathrm{h}\). Die Summe ist \(8{,}5\ \mathrm{h}\) und stimmt mit der Spannweite \(9{,}0 - 0{,}5 = 8{,}5\ \mathrm{h}\) überein.
Anzahl je Viertel: In jedem Viertel liegen etwa \(0{,}25 \cdot 200 = 50\) Jugendliche — unabhängig davon, wie breit das Viertel ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aussage (1) ist falsch. Der Bereich von 1,5 bis 2,5 Stunden ist das Viertel von \(Q_1\) bis zum Median, der Bereich von 2,5 bis 5,0 Stunden das Viertel vom Median bis \(Q_3\). In beiden liegen nach der Viertel-Regel jeweils etwa 50 Jugendliche — also gleich viele und nicht „weit mehr“.
Der Denkfehler besteht darin, die Breite eines Abschnitts als Anzahl zu lesen. Tatsächlich ist es umgekehrt: Weil in beiden Abschnitten gleich viele Jugendliche liegen, bedeutet der breitere Abschnitt, dass sich diese 50 Jugendlichen über einen größeren Zeitbereich verteilen, ihre Werte also stärker streuen. Die 50 Jugendlichen zwischen 1,5 und 2,5 Stunden liegen dicht beieinander, die 50 zwischen 2,5 und 5,0 Stunden weit auseinander. Breite bedeutet Streuung, nicht Anzahl.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aussage (2) ist ebenfalls falsch. Der Wert \(5{,}0\ \mathrm{h}\) ist das obere Quartil \(Q_3\), und oberhalb von \(Q_3\) liegt nach der Viertel-Regel nur etwa ein Viertel der Befragten, also rund 50 der 200 Jugendlichen. Die Zeitung verwechselt das obere Quartil mit dem Median: Nur oberhalb des Medians liegt die Hälfte, und der Median beträgt hier lediglich \(2{,}5\ \mathrm{h}\). Die Meldung überzeichnet die Bildschirmzeit damit um das Doppelte.
Zutreffend wären zum Beispiel: „Die Hälfte der befragten Jugendlichen ist täglich mehr als zweieinhalb Stunden vor dem Bildschirm.“ Und: „Etwa ein Viertel der Befragten, also rund 50 Jugendliche, kommt auf mehr als fünf Stunden täglich.“
Beide Sätze nennen die Bezugsgröße und den richtigen Kennwert. Insgesamt zeigt der Fall, dass eine Fünf-Punkte-Zusammenfassung nur dann verständlich ist, wenn zu jeder Zahl gesagt wird, welcher der fünf Punkte sie ist — sonst wird aus einem Viertel schnell eine Hälfte.