Probeklausur

Grundgesamtheit: alle 900 Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums. Stichprobe: die 20 befragten Anwesenden des Mathematikkurses, \(n = 20\). Merkmal: Dauer des Schulwegs \(t\) in Minuten.

Merkmalstyp: quantitatives (metrisches) Merkmal – die Ausprägungen sind Zahlen mit Einheit, mit denen gerechnet werden kann.

Zunächst die Rangliste: \(10;\,10;\,15;\,15;\,20;\,20;\,20;\,20;\,25;\,25;\,25;\,25;\,25;\,30;\,30;\,35;\,35;\,40;\,45;\,50\). Relative Häufigkeit \(h = \dfrac{H}{n}\) mit \(n = 20\):

Kontrolle: Die absoluten Häufigkeiten addieren sich zu 20, die relativen zu 1.

Arithmetisches Mittel: \(\bar t = \dfrac{1}{20}\sum t_i = \dfrac{520}{20} = 26\,\mathrm{min}\).

Median: \(n = 20\) ist gerade, also Mittel aus 10. und 11. Wert der Rangliste: \(t_{\mathrm{Med}} = \dfrac{25+25}{2} = 25\,\mathrm{min}\).

Modalwert: Der Wert 25 min kommt mit \(H = 5\) am häufigsten vor, also \(t_{\mathrm{Mod}} = 25\,\mathrm{min}\).

Länger als 30 min: \(35;\,35;\,40;\,45;\,50\), also 5 Befragte. Anteil \(h = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

(Der Wert 30 min selbst zählt nicht, weil „länger als 30 Minuten“ gefordert ist.)

Die Stichprobe ist nicht repräsentativ. Mögliche Gründe: (1) Es wurde nur ein einziger Kurs einer Jahrgangsstufe befragt – jüngere Jahrgänge, die z. B. häufiger in Schulnähe wohnen oder gebracht werden, fehlen ganz. (2) Die Auswahl erfolgte nach Bequemlichkeit (eigener Kurs, nur Anwesende) und nicht zufällig; wer wegen eines langen Schulwegs zu spät kommt, fehlt in der ersten Stunde systematisch. (3) \(n = 20\) von 900 ist zudem sehr klein.

Besseres Verfahren: eine Zufallsstichprobe aus der Schülerliste aller 900 (z. B. jede zehnte Person einer zufällig geordneten Liste) oder eine geschichtete Stichprobe, die aus jeder Jahrgangsstufe anteilig zufällig auswählt.

Ablesen an den Gitterlinien:

Kontrolle: \(6+15+11+5+3 = 40\) und \(0{,}15+0{,}375+0{,}275+0{,}125+0{,}075 = 1\).

Jeder Haushalt einer Klasse wird durch die Klassenmitte ersetzt:

\(\bar E \approx \dfrac{1}{40}\sum_j m_j \cdot H_j = \dfrac{1500\cdot 6 + 2500\cdot 15 + 3500\cdot 11 + 4500\cdot 5 + 5500\cdot 3}{40}\)

\(= \dfrac{9000 + 37500 + 38500 + 22500 + 16500}{40} = \dfrac{124000}{40} = 3100\,\mathrm{kWh}\).

Der mittlere Jahresverbrauch beträgt näherungsweise 3100 kWh.

Bei \(n = 40\) ist der Median das Mittel aus dem 20. und 21. Wert der Rangliste. Kumulierte Häufigkeiten: Nach der ersten Klasse sind 6 Haushalte erfasst, nach der zweiten \(6 + 15 = 21\).

Der 20. und der 21. Wert liegen also beide in der Klasse \([2000;\,3000)\) – dort liegt der Median. Anders als beim arithmetischen Mittel kann sein genauer Wert aus dem Histogramm nicht bestimmt werden.

Die Einzelwerte sind unbekannt; die Klassenmitte ist nur eine Annahme über die Lage der Werte innerhalb der Klasse. Liegen die Werte innerhalb einer Klasse überwiegend am linken oder rechten Rand, weicht das echte Mittel ab.

Kleinstmöglicher Wert (alle Werte an der linken Klassengrenze): \(\bar E_{\min} = \dfrac{1000\cdot 6 + 2000\cdot 15 + 3000\cdot 11 + 4000\cdot 5 + 5000\cdot 3}{40} = \dfrac{104000}{40} = 2600\,\mathrm{kWh}\).

Größtmöglicher Wert (alle Werte knapp unter der rechten Grenze): \(\bar E_{\max} < \dfrac{144000}{40} = 3600\,\mathrm{kWh}\).

Das tatsächliche Mittel liegt also im Bereich \(2600\,\mathrm{kWh} \le \bar E < 3600\,\mathrm{kWh}\), d. h. höchstens 500 kWh vom Näherungswert 3100 kWh entfernt.

Läufer A: \(\bar t_A = \dfrac{92{,}0}{8} = 11{,}5\,\mathrm{s}\); Spannweite \(Sw_A = 11{,}8 - 11{,}2 = 0{,}6\,\mathrm{s}\).

Läufer B: \(\bar t_B = \dfrac{92{,}0}{8} = 11{,}5\,\mathrm{s}\); Spannweite \(Sw_B = 12{,}2 - 10{,}9 = 1{,}3\,\mathrm{s}\).

Beide haben also denselben Mittelwert, B streut deutlich weiter.

Abweichungen vom Mittelwert \(\bar t_A = 11{,}5\,\mathrm{s}\):

Summe der Abweichungsquadrate: \(0{,}01+0{,}01+0{,}09+0{,}09+0+0{,}04+0{,}04+0 = 0{,}28\,\mathrm{s^2}\).

Varianz: \(s_A^2 = \dfrac{1}{8}\sum (t_i-\bar t)^2 = \dfrac{0{,}28}{8} = 0{,}035\,\mathrm{s^2}\).

Standardabweichung: \(s_A = \sqrt{0{,}035\,\mathrm{s^2}} \approx 0{,}19\,\mathrm{s}\).

Lage: Beide Läufer sind im Mittel gleich schnell (\(11{,}5\,\mathrm{s}\)). Streuung: Läufer A streut mit \(Sw_A = 0{,}6\,\mathrm{s}\) und \(s_A \approx 0{,}19\,\mathrm{s}\) deutlich weniger als Läufer B mit \(Sw_B = 1{,}3\,\mathrm{s}\) und \(s_B \approx 0{,}41\,\mathrm{s}\); B liefert zwar die Bestzeit (10,9 s), aber auch den langsamsten Lauf (12,2 s).

Entscheidung: Für eine verlässliche Zeit sollte der Trainer Läufer A aufstellen – seine Zeiten liegen alle im engen Bereich von 11,2 s bis 11,8 s, bei gleichem Mittelwert ist die geringere Standardabweichung das ausschlaggebende Kriterium.

Aus \(\bar t = \dfrac{1}{n}\sum t_i\) folgt \(\sum t_i = n\cdot\bar t\). Mit neun Läufen: \(\sum t_i = 9 \cdot 11{,}52\,\mathrm{s} = 103{,}68\,\mathrm{s}\).

Die Summe der ersten acht Läufe beträgt \(92{,}0\,\mathrm{s}\), also \(t_9 = 103{,}68\,\mathrm{s} - 92{,}0\,\mathrm{s} = 11{,}68\,\mathrm{s}\).

Der neunte Lauf war mit 11,68 s langsamer als der bisherige Durchschnitt – deshalb ist das Mittel gestiegen.

Alle acht Werte werden um 0,2 s kleiner. Das arithmetische Mittel sinkt ebenfalls um 0,2 s auf \(\bar t_B = 11{,}3\,\mathrm{s}\), denn die Summe verringert sich um \(8\cdot 0{,}2\,\mathrm{s}\) und wird durch 8 geteilt.

Spannweite und Standardabweichung bleiben unverändert: Die Spannweite ist die Differenz zweier Werte, die sich beide gleich verschieben; die Standardabweichung misst die Abweichungen \(t_i - \bar t\), und Werte wie Mittelwert verschieben sich um denselben Betrag, sodass alle Abweichungen gleich bleiben.

Rangliste: \(22;\,27;\,29;\,31;\,33;\,35;\,36;\,38;\,39;\,41;\,44;\,46\).

\(n = 12\) ist gerade: \(P_{\mathrm{Med}} = \dfrac{35+36}{2} = 35{,}5\). Untere Hälfte \(22;\,27;\,29;\,31;\,33;\,35\): \(Q_1 = \dfrac{29+31}{2} = 30\). Obere Hälfte \(36;\,38;\,39;\,41;\,44;\,46\): \(Q_3 = \dfrac{39+41}{2} = 40\).

Fünf-Punkte-Zusammenfassung von Kurs A: Minimum 22 · \(Q_1 = 30\) · Median 35,5 · \(Q_3 = 40\) · Maximum 46.

Box von 30 bis 40, Medianstrich bei 35,5, Antennen bis 22 und 46:

Erwartet werden: korrekt beschriftete Achse, Box von \(Q_1\) bis \(Q_3\), Medianstrich, Antennen bis Minimum und Maximum.

Lage: Der Median von Kurs A (35,5) liegt über dem von Kurs B (33); auch \(Q_1\) (30 gegenüber 24) und \(Q_3\) (40 gegenüber 42, hier B knapp höher) zeigen: Die mittlere Hälfte von Kurs A liegt insgesamt etwas höher, typische Ergebnisse sind in Kurs A besser.

Streuung: Quartilsabstand \(Q_3 - Q_1\): Kurs A \(40 - 30 = 10\), Kurs B \(42 - 24 = 18\). Spannweite: Kurs A \(46 - 22 = 24\), Kurs B \(50 - 15 = 35\). Kurs B streut nach beiden Maßen deutlich stärker – er enthält sowohl das schwächste (15) als auch das beste Ergebnis (50).

Fazit: Kurs A ist leistungshomogener und im Mittel leicht besser; Kurs B ist heterogener mit größeren Ausreißern nach oben und unten.

(i) Richtig. Der Median von Kurs B ist 33; nach Definition liegt mindestens die Hälfte der 14 Werte bei 33 oder darüber, also mindestens 7 Teilnehmende. (Es können auch mehr sein, falls mehrere Personen genau 33 Punkte haben.)

(ii) Falsch. Der Wert 35,5 ist der Median, nicht das arithmetische Mittel. Aus einem Boxplot lässt sich das arithmetische Mittel grundsätzlich nicht ablesen, weil er nur Minimum, Quartile, Median und Maximum enthält. Tatsächlich gilt für Kurs A \(\bar P = \dfrac{421}{12} \approx 35{,}1\) – der Mittelwert liegt wegen der eher tiefen Werte 22 und 27 etwas unter dem Median.