Modalwert, Mittelwert, Median: Übungen – Mathe Klasse 11

1Vom Würfelprotokoll zum ModalwertAFB I

Ein Würfel wurde 40-mal geworfen; die Augenzahlen wurden mit einer Strichliste erfasst.

Strichliste eines Würfelversuchs mit 40 Würfen
Augenzahl \(x\)	1	2	3	4	5	6
Strichliste	\|\|\|\|	\|\|\|\| \|\|\|\|	\|\|\|\| \|	\|\|\|\| \|\|\|\| \|	\|\|\|\|	\|\|\|\|

Übertragen Sie die Strichliste in ein Säulendiagramm der absoluten Häufigkeiten. Der Modalwert ist danach die höchste Säule.

Stelle jede Säule auf die passende Höhe.

Ein Klick in eine Säule setzt ihre Höhe auf den angeklickten Skalenwert. Mit der Tastatur: Tab auf eine Säule, ↑/↓ verändert ihre Höhe um 1.

Die Säulenhöhen lauten 5, 9, 6, 11, 4 und 5 — zusammen 40, also stimmt der Stichprobenumfang. Die höchste Säule steht über der 4, also ist \(M = 4\) mit \(H(4) = 11\). Der Modalwert ist die Augenzahl 4 und nicht die Häufigkeit 11 — das wird oft verwechselt.

2Den häufigsten Wert auszählenAFB I

Gegeben ist die Messreihe \(7;\; 3;\; 9;\; 7;\; 5;\; 3;\; 7;\; 2;\; 9;\; 7\).

Bestimmen Sie den Modalwert \(M\).

Trage den Modalwert ein. Enter prüft.

Ausgezählt: \(H(2)=1\), \(H(3)=2\), \(H(5)=1\), \(H(7)=4\), \(H(9)=2\). Die größte Häufigkeit gehört zum Wert 7, also \(M = 7\). Der Modalwert ist der Messwert, nicht seine Häufigkeit — die Antwort 4 wäre \(H(M)\).

3Richtig oder falsch?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen zum Modalwert.

Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch. Der Modalwert ist weder immer eindeutig noch steht er in einer festen Beziehung zu den anderen Lagemaßen.

4Alle drei Lagemaße für dieselbe ReiheAFB II

Berechnen Sie für beide Messreihen den Modalwert, den Median und das arithmetische Mittel.

Sechs Felder, ein Prüfen-Klick.

Messreihe	\(M\)	\(x_{\mathrm{Med}}\)	\(\bar x\)
A: 3; 8; 3; 5; 3; 9; 4
B: 12; 15; 12; 20; 18; 15; 12; 16

A geordnet: \(3;3;3;4;5;8;9\) — \(M = 3\), Median (4. von 7) \(= 4\), Summe 35, also \(\bar x = 5\). Alle drei Kennzahlen sind verschieden. B geordnet: \(12;12;12;15;15;16;18;20\) — \(M = 12\), Median \(= \dfrac{15+15}{2} = 15\), Summe 120, also \(\bar x = 15\). Hier stimmen Median und Mittelwert überein, der Modalwert liegt deutlich darunter.

5Welches Merkmal erlaubt welche Lagemaße?AFB II

Ordnen Sie jedes Merkmal dem Bereich zu, der beschreibt, welche Lagemaße sich dafür bestimmen lassen.

Erst eine Karte anklicken, dann den Bereich.

1 nur der Modalwert

2 Modalwert und Median

3 alle drei Lagemaße

Entscheidend ist, was mit den Ausprägungen möglich ist. Farben und Nationalitäten lassen sich nur zählen — es gibt keine sinnvolle Reihenfolge, also auch keine Mitte. Bewertungen und Kleidergrößen lassen sich ordnen, aber nicht addieren: Median ja, arithmetisches Mittel nein. Erst bei Zahlen sind alle drei Lagemaße möglich. Ein Taschenrechner würde auch aus Nationalitäts-Codes brav einen Mittelwert berechnen — sinnvoll wäre er trotzdem nicht.

6Der typische Gast einer JugendherbergeAFB II

Die Gäste einer Jugendherberge wurden nach ihrer Nationalität erfasst.

Anzahl der Gäste einer Jugendherberge nach Nationalität
Nationalität	deutsch	französisch	englisch	spanisch	griechisch
Anzahl	5703	1474	451	124	59

Berechnen Sie Schritt für Schritt, wie groß der Anteil des Modalwerts ist.

Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Prozentangaben auf eine Nachkommastelle runden.

Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?
Wie groß ist die absolute Häufigkeit \(H(M)\) des Modalwerts?
Wie groß ist die relative Häufigkeit des Modalwerts in Prozent?%
Wie viele Gäste haben eine andere als die häufigste Nationalität?

\(n = 5703+1474+451+124+59 = 7811\). Der Modalwert ist „deutsch“ mit \(H(M) = 5703\), also \(h(M) = \dfrac{5703}{7811} \approx 0{,}730 = 73{,}0\,\%\). Übrig bleiben \(7811 - 5703 = 2108\) Gäste. Ein arithmetisches Mittel oder ein Median lässt sich hier nicht bilden: Die Zahlen 1 bis 5 wären nur Namen für Nationalitäten, keine Messwerte.

7Welche Lagemaße sind bestimmbar?AFB II

Kreuzen Sie für jedes Merkmal an, welche Lagemaße sich sinnvoll bestimmen lassen.

In jeder Zeile genau ein Kreuz.

	nur der Modalwert	Modalwert und Median	alle drei Lagemaße
Nationalität der Gäste einer Jugendherberge
Augenzahlen bei 40 Würfelwürfen
Kleidergrößen S, M, L, XL
Lieblingsfarbe in einer Umfrage
Wartezeiten an der Kasse in Minuten
Bewertungen: ausgezeichnet, gut, mittelprächtig, schlecht

Zwei Fragen entscheiden alles: Lassen sich die Ausprägungen ordnen? Und lassen sie sich addieren? Nur wenn beides zutrifft, sind alle drei Lagemaße möglich. Der Modalwert geht dagegen immer — er braucht nur das Auszählen.

8Karten nach ihrem Modalwert einsortierenAFB II

Bestimmen Sie den Modalwert jeder Messreihe und ordnen Sie die Karte dem passenden Korb zu.

Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.

1\(M = 3\)

2\(M = 5\)

3\(M = 8\)

Immer der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit — unabhängig davon, ob er groß oder klein ist. In „1; 3; 3; 8“ ist der Modalwert 3 der zweitkleinste Wert, in „8; 8; 3; 6“ ist er der größte. Über die Lage der übrigen Werte sagt der Modalwert nichts.

9Wie oft kommt der Modalwert vor?AFB II

In einem Geschäft wurde notiert, welche von vier Größen an einem Tag verkauft wurde.

Verkaufte Schuhgrößen an einem Tag
15	12	18	15	20	15	12	15	18	12	15	20	15	12	18	15	12	20	15	12

Bestimmen Sie die absolute Häufigkeit \(H(M)\) des Modalwerts.

Trage die absolute Häufigkeit des Modalwerts ein.

Ausgezählt: \(H(12) = 6\), \(H(15) = 8\), \(H(18) = 3\), \(H(20) = 3\). Kontrolle: \(6+8+3+3 = 20 = n\). Der Modalwert ist also \(M = 15\) mit \(H(M) = 8\); das entspricht einer relativen Häufigkeit von \(\dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%\). Gefragt war hier die Häufigkeit, nicht der Modalwert selbst.

10Fünf Messreihen nach ihrem Modalwert ordnenAFB II

Bestimmen Sie jeweils den Modalwert und ordnen Sie die Reihen vom kleinsten zum größten Modalwert. Der größte Wert einer Reihe ist dabei fast nie der Modalwert.

Verschiebe die Zeilen, bis die Reihenfolge stimmt.

12; 5; 2; 7; 2

29; 4; 4; 9; 4

36; 6; 1; 8; 6

43; 7; 7; 1; 7

510; 3; 10; 5; 10

Die Modalwerte lauten 2, 4, 6, 7 und 10. In der zweiten Reihe kommt die 9 zweimal vor, die 4 aber dreimal — der Modalwert ist deshalb 4 und nicht 9. Wer die größten Zahlen der Reihen vergleicht, kommt auf eine ganz andere Reihenfolge.

11Eine Messreihe mit vorgegebenem ModalwertAFB III

Stellen Sie auf dem Zahlenstrahl eine Messreihe zusammen, für die gleichzeitig gilt: \(n = 7\), \(M = 5\) und \(S_w = 8\). Der Modalwert muss dabei eindeutig sein.

Der Modalwert wird nur angezeigt, wenn er eindeutig ist.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Die 5 muss häufiger vorkommen als jeder andere Wert, und der kleinste und der größte Wert müssen genau 8 auseinanderliegen. Eine mögliche Lösung ist \(2;\;3;\;5;\;5;\;5;\;8;\;10\): die 5 kommt dreimal vor, alle übrigen je einmal, und \(S_w = 10 - 2 = 8\). Achtung: Kommt ein zweiter Wert ebenfalls dreimal vor, gibt es keinen eindeutigen Modalwert mehr.

12Fehlersuche in einer MusterlösungAFB II

Gesucht sind Modalwert, Median und arithmetisches Mittel der Messreihe \(6;\; 2;\; 6;\; 9;\; 2;\; 6;\; 4\).

Klicken Sie alle Zeilen an, die einen Fehler enthalten.

Klicke die fehlerhaften Zeilen an.

Die richtigen Werte lauten \(M = 6\), \(x_{\mathrm{Med}} = 6\) und \(\bar x = 5\). Zeile 4 ist übrigens korrekt gerechnet — nicht jede Zeile einer fehlerhaften Lösung ist falsch.

13Welches Lagemaß passt zu diesen Daten?AFB II

Betrachtet werden die fünf Monatsgehälter \(1900\,\text{€};\; 2000\,\text{€};\; 2100\,\text{€};\; 2400\,\text{€};\; 8000\,\text{€}\).

Beantworten Sie die Fragen so, dass Sie am Ende bei der Beschreibung landen, die zu diesen Daten passt.

Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“.

Gehälter lassen sich ordnen und addieren, also sind alle drei Lagemaße möglich. Das Gehalt von 8000 € ist aber ein klarer Ausreißer: \(\bar x = 3280\,\text{€}\) liegt über vier der fünf Gehälter, während der Median \(2100\,\text{€}\) beträgt. Für die Frage „Was verdient man hier typischerweise?“ ist der Median die bessere Antwort.

14Was folgt aus den drei Kennzahlen?AFB III

Für eine Messreihe mit \(n = 25\) gilt \(M = 4\), \(x_{\mathrm{Med}} = 6\) und \(\bar x = 11\).

Wählen Sie alle Aussagen aus, die daraus mit Sicherheit folgen.

Mehrere Antworten sind richtig.

Der Modalwert wird ausgezählt und ist deshalb immer ein Messwert; bei ungeradem \(n = 25\) wird auch der Median an der 13. Stelle abgelesen und ist ebenfalls ein Messwert. Aus der Medianeigenschaft folgt, dass mindestens 13 Werte höchstens 6 sind. Die Summe ergibt sich aus \(\bar x \cdot n = 11 \cdot 25 = 275\). Nur das arithmetische Mittel muss kein Messwert sein — dass \(\bar x = 11\) so weit über dem Median liegt, spricht sogar für einen Ausreißer nach oben.

15Welche Kennzahl beantwortet welche Frage?AFB II

Verbinden Sie jede Fragestellung mit der Kennzahl, die sie beantwortet.

Links eine Frage anklicken, dann rechts die passende Kennzahl.

Die Frage entscheidet über die Kennzahl. „Am häufigsten“ führt auf den Modalwert, „teilt in zwei Hälften“ auf den Median, „im Schnitt bezogen auf die Gesamtsumme“ auf das arithmetische Mittel. Und wenn sich die Ausprägungen nicht ordnen lassen, bleibt ohnehin nur der Modalwert übrig.

16Alle drei Lagemaße aus der HäufigkeitstabelleAFB II

Die Fehltage einer Jahrgangsstufe liegen als Häufigkeitstabelle vor.

Häufigkeitstabelle: Anzahl der Fehltage in einem Monat
Wert \(x\)	1	2	3	4	5
\(H(x)\)	2	5	9	3	1

Bestimmen Sie Stichprobenumfang, Modalwert, Median und arithmetisches Mittel.

Vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Dezimalzahlen mit Komma.

Kennzahl	Wert
Stichprobenumfang \(n\)
Modalwert \(M\)
Median \(x_{\mathrm{Med}}\)
arithmetisches Mittel \(\bar x\)

\(n = 2+5+9+3+1 = 20\). Die größte Häufigkeit steht beim Wert 3, also \(M = 3\). Für den Median zählt man auf: Bis einschließlich 2 sind es 7 Werte, bis einschließlich 3 sind es 16 — die Positionen 10 und 11 fallen also beide auf den Wert 3, und damit ist \(x_{\mathrm{Med}} = 3\). Schließlich \(\bar x = \dfrac{1\cdot2 + 2\cdot5 + 3\cdot9 + 4\cdot3 + 5\cdot1}{20} = \dfrac{56}{20} = 2{,}8\). Hier stimmen Modalwert und Median überein, das arithmetische Mittel liegt etwas darunter.

17Modalwert einstellenAFB II

Neun Messwerte lauten \(9;\; 14;\; 17;\; 14;\; 11;\; 14;\; 20;\; 17;\; 14\).

Stellen Sie den Regler auf den Modalwert dieser Reihe.

Pfeiltasten bewegen den Regler in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.

025

\(H(9)=1\), \(H(11)=1\), \(H(14)=4\), \(H(17)=2\), \(H(20)=1\) — zusammen 9. Der häufigste Wert ist 14, also \(M = 14\). Zum Vergleich: Der Median ist der 5. Wert der geordneten Reihe \(9;11;14;14;\mathbf{14};14;17;17;20\), also ebenfalls 14, und \(\bar x = \dfrac{130}{9} \approx 14{,}4\). Ohne Ausreißer liegen alle drei Kennzahlen dicht beieinander.

18Die Begriffe an der richtigen StelleAFB I

Vervollständigen Sie den Text mit den Bausteinen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Der Modalwert ist der am vorkommenden Wert einer Messreihe. Er wird und ist deshalb immer ein tatsächlich Wert. Anders als beim Median wird nicht einmal eine gebraucht — deshalb ist der Modalwert das einzige Lagemaß, das auch bei Merkmalen wie der Nationalität noch etwas aussagt. Wie der Median bleibt er von einem unberührt, während das darauf empfindlich reagiert. Kommen zwei Werte gleich oft vor, so ist der Modalwert allerdings nicht .

Drei Stufen: Der Modalwert braucht nur das Zählen, der Median zusätzlich eine Reihenfolge, das arithmetische Mittel zusätzlich das Rechnen.

19Modalwert bei FilmbewertungenAFB II

Fünf Filme wurden auf einer Skala von 1 (sehr schlecht) bis 5 (sehr gut) bewertet. Angegeben sind die Anzahlen der Bewertungen in der Reihenfolge 1, 2, 3, 4, 5.

Bestimmen Sie für jeden Film den Modalwert.

Wähle in jeder Zeile die Stufe, die dem Modalwert entspricht.

1 (sehr schlecht)5 (sehr gut)

Film A: 3; 5; 9; 6; 2

Film B: 1; 4; 6; 12; 7

Film C: 8; 6; 5; 3; 1

Film D: 2; 3; 4; 4; 9

Film E: 0; 7; 3; 2; 1

Gesucht ist jeweils die größte der fünf Anzahlen und die Stufe, zu der sie gehört: 9 bei Stufe 3, 12 bei Stufe 4, 8 bei Stufe 1, 9 bei Stufe 5 und 7 bei Stufe 2. Bei Film D stehen zwei Vieren nebeneinander — die 9 bei Stufe 5 ist trotzdem größer, der Modalwert ist also eindeutig. Und bei Film E hat die Stufe 1 die Häufigkeit 0: Ein Wert, der nicht vorkommt, kann nie Modalwert sein.

20Drei Lagemaße, drei AntwortenAFB III

An acht Tagen wurde die Anzahl der Anfragen einer Beratungsstelle notiert.

Anzahl der Anfragen an acht Beratungstagen
4	4	4	6	7	9	10	40

Berechnen Sie alle drei Lagemaße und beurteilen Sie das Ergebnis.

Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Dezimalzahlen mit Komma.

Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?
Wie groß ist der Modalwert \(M\)?
Wie groß ist der Median \(x_{\mathrm{Med}}\)?
Wie groß ist das arithmetische Mittel \(\bar x\)?
Wie viele der acht Werte liegen oberhalb des arithmetischen Mittels?

Die Reihe ist bereits geordnet. \(M = 4\) (dreimal), der Median ist \(\dfrac{6+7}{2} = 6{,}5\), und \(\bar x = \dfrac{84}{8} = 10{,}5\). Nur ein einziger Wert — die 40 — liegt über dem arithmetischen Mittel. Damit ist \(\bar x\) zwar richtig gerechnet, beschreibt den Alltag der Beratungsstelle aber schlecht: An sieben von acht Tagen lag die Zahl der Anfragen deutlich darunter. Modalwert und Median sind hier die aussagekräftigeren Kennzahlen.

Übungen: Modalwert — Mittelwert oder Median?

Übungsaufgaben