Der häufigste Wert
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Du zählst ihn aus, statt ihn zu berechnen.
- Schreibweise:\(M\), gleiche Einheit wie die Messwerte.
- Bestimmen:den Wert mit der größten absoluten Häufigkeit \(H(x)\) suchen.
- Immer gemessen:\(M\) kommt in der Messreihe wirklich vor.
- Beispiel:bei den 31 Temperaturen kommt \(24\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) fünfmal vor, also \(M = 24\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
| Temperatur in °C | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(H(x)\) | 1 | 3 | 2 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 5 | 2 | 2 | 1 |
Die Höhe jeder Säule ist die absolute Häufigkeit \(H(x)\) des jeweiligen Messwertes. Der Modalwert gehört zur höchsten Säule, der Median teilt die Fläche in zwei gleich große Hälften, das arithmetische Mittel ergibt sich aus der Summe aller Werte.
Modalwert: \(M\) = Wert mit der größten absoluten Häufigkeit \(H(x)\)
Ein Lagemaß ohne Zahlen
Für den Modalwert musst du weder rechnen noch ordnen. Deshalb klappt er auch bei Merkmalen wie der Nationalität.
- Keine Rangordnung:deutsch, französisch, englisch … lassen sich nicht sortieren.
- Nummern:die Codes 1 bis 5 im Fragebogen sind nur Namen.
- Beispiel:5703 von 7811 Gästen sind deutsch, also \(M = \text{deutsch}\).
- Grenze:\(\bar x\) und Median lassen sich hier nicht bilden.
| Nationalität | 1 deutsch | 2 französisch | 3 englisch | 4 spanisch | 5 griechisch |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl | 5703 | 1474 | 451 | 124 | 59 |
Welches Lagemaß wann?
Alle drei Lagemaße beschreiben das Typische einer Datenreihe. Welches passt, hängt vom Merkmal und von den Daten ab.
- \(\bar x\):nutzt jeden Wert und ist empfindlich für Ausreißer: Gehälter mit 8000 € ergeben \(\bar x = 3280\) €.
- \(x_{\mathrm{Med}}\):braucht nur eine Reihenfolge und bleibt stabil: \(x_{\mathrm{Med}} = 2100\) €.
- \(M\):braucht nur Häufigkeiten, auch ohne Rangordnung.
- Beispiel:19 Bewertungen von „unlösbar“ bis „leicht lösbar“: der 10. Wert ist „lösbar“, also Median „lösbar“; ein \(\bar x\) gibt es nicht.
| Lagemaß | Was es angibt | Wann es geeignet ist | Beleg aus den Beispielen |
|---|---|---|---|
| Arithmetisches Mittel \(\bar x\) | die Summe aller Messwerte, geteilt durch ihre Anzahl | bei Zahlen ohne einzelne Ausreißer, weil jeder Wert eingeht | Gehälter: \(\bar x = 3280\,\text{Euro}\), obwohl vier von fünf Gehältern darunter liegen |
| Median \(x_{\mathrm{Med}}\) | den mittleren Wert der geordneten Reihe | bei Ausreißern und bei Angaben, die sich nur ordnen lassen | Gehälter: \(x_{\mathrm{Med}} = 2100\,\text{Euro}\); Filmbewertungen: \(x_{\mathrm{Med}} = \text{mittelprächtig}\) |
| Modalwert \(M\) | den am häufigsten vorkommenden Wert | bei Merkmalen ohne Rangordnung und immer dann, wenn nach dem Häufigsten gefragt ist | Nationalitäten: \(M = \text{deutsch}\); Temperaturen: \(M = 24\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) |
Lagemaße: \(\bar x\) braucht Zahlen, \(x_{\mathrm{Med}}\) eine Reihenfolge, \(M\) nur Häufigkeiten
In den drei Abschnitten wurden das arithmetische Mittel, der Median und der Modalwert jeweils an fertigen Datenreihen bestimmt. Im folgenden Applet lässt sich ein einzelner Wert einer kleinen Datenreihe auf dem Zahlenstrahl nach rechts ziehen, bis er weit außerhalb der übrigen Werte liegt. Die drei Lagemaße werden dabei nach jedem Schritt neu berechnet und unter dem Zahlenstrahl markiert.
Ausreißer-Vergleich
Die Datenreihe besteht aus sieben Werten. Sechs davon stehen fest, der orange Punkt lässt sich mit der Maus oder mit den Pfeiltasten verschieben. Es handelt sich um reine Anzahlen, also gilt \([x] = 1\). Beobachte, welches der drei Lagemaße mitwandert und welche stehen bleiben.
feste Werteverschiebbarer WertMedianarithmetisches Mittel
Die Datenreihe lautet 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8. Ziehe den orangen Punkt nach rechts.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → den orangen Wert um eins verschieben, mit ↓ und ↑ um jeweils fünf, mit Enter den Ausreißer ein- und ausschalten. Alle Schaltflächen sind ebenfalls mit Tab und Enter erreichbar; jede Änderung wird vorgelesen.
Beim Verschieben zeigt sich genau das, was schon das Gehaltsbeispiel deutlich gemacht hat. Der orange Zeiger des Modalwertes bleibt bei 5 stehen, denn die 5 kommt weiterhin dreimal vor und bleibt damit der häufigste Wert. Auch der grüne Zeiger des Medians bleibt bei 5, denn der vierte von sieben geordneten Werten ändert sich nicht, solange nur der größte Wert bewegt wird. Allein der blaue Zeiger des arithmetischen Mittels wandert nach rechts und liegt am Ende weit oberhalb fast aller Datenwerte.
Allgemeine Hinweise
Wert, nicht Anzahl
Gesucht ist \(M = 24\,{}^{\circ}\mathrm{C}\), nicht die Häufigkeit 5. \(H(M)\) sagt nur, wie oft \(M\) vorkommt.
Ausreißer prüfen
Ein einzelner extremer Wert zieht \(\bar x\) weg. Median und Modalwert bleiben stehen.
Mehrere Modalwerte
Kommen zwei Werte gleich oft am häufigsten vor, gibt es zwei Modalwerte. Bei den 19 Bewertungen sind das „schwer lösbar“ und „lösbar“.
Videos
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