Textaufgaben: Modalwert — Mittelwert oder Median?

Stichprobenumfang: \(n = 148+96+72+63+41 = 420\) Fahrräder.

Die größte absolute Häufigkeit gehört zum Cityrad, also \(M = \text{Cityrad}\) mit \(H(M) = 148\).

Der Modalwert ist die Bauart Cityrad und nicht die Zahl 148 — 148 ist seine Häufigkeit.

\(h(M) = \dfrac{148}{420} \approx 0{,}3524 = 35{,}2\,\%\).

Gut ein Drittel aller abgestellten Räder sind Cityräder. Der Modalwert ist damit zwar die häufigste, aber keineswegs die vorherrschende Bauart: Fast zwei Drittel der Räder gehören zu einer der vier anderen Bauarten.

Das arithmetische Mittel setzt voraus, dass die Ausprägungen addiert und durch die Anzahl geteilt werden können. Bauarten lassen sich nicht addieren: „Cityrad + Rennrad“ ergibt kein Fahrrad und schon gar keine Zahl. Ein Durchschnitt existiert hier also nicht.

Der Median setzt weniger voraus, aber er braucht eine geordnete Reihe. Die fünf Bauarten lassen sich jedoch nicht der Größe nach sortieren: Es gibt keinen sachlichen Grund, warum ein Trekkingrad zwischen einem Cityrad und einem Mountainbike stehen sollte. Ohne Reihenfolge gibt es keine Mitte und damit keinen Median.

Es handelt sich um ein Merkmal ohne Rangordnung. Von den drei Lagemaßen bleibt nur der Modalwert — er verlangt lediglich das Auszählen und ist deshalb hier das einzige, das eine Aussage liefert.

Die größte absolute Häufigkeit ist \(H(38) = 14\), also \(M = 38\).

Produkte und Summe: \(36\cdot 3 + 37\cdot 7 + 38\cdot 14 + 39\cdot 11 + 40\cdot 6 + 41\cdot 5 + 42\cdot 9 + 43\cdot 13 + 44\cdot 8 + 45\cdot 3 + 46\cdot 1 = 3243\).

Probe für den Nenner: \(3+7+14+11+6+5+9+13+8+3+1 = 80 = n\).

\(\bar x = \dfrac{3243}{80} = 40{,}5375 \approx 40{,}5\).

Der Kassenwart würde also vor allem Größe 40 oder 41 bestellen.

Die Häufigkeiten steigen von 36 bis 38 an (3, 7, 14), fallen bis 41 ab (11, 6, 5) und steigen danach wieder bis 43 an (9, 13), bevor sie erneut fallen (8, 3, 1). Die Verteilung hat also zwei Gipfel: bei 38 mit \(H = 14\) und bei 43 mit \(H = 13\). Sie ist zweigipfelig (bimodal).

Genau zwischen den Gipfeln liegt ein Tal: \(H(40) = 6\) und \(H(41) = 5\), zusammen also nur \(11\) von 80 Mitgliedern, das sind \(\dfrac{11}{80} \approx 13{,}8\,\%\). Das arithmetische Mittel 40,5 fällt mitten in dieses Tal — auch der Median liegt mit 40 dort (die Positionen 40 und 41 der geordneten Reihe fallen beide auf den Wert 40, weil bis 39 erst 35 und bis 40 bereits 41 Mitglieder gezählt sind).

Zum Vergleich: Auf die Größen 37 bis 39 entfallen \(7+14+11 = 32\) Mitglieder (40,0 %), auf 42 bis 44 entfallen \(9+13+8 = 30\) Mitglieder (37,5 %). Die beiden Gipfelbereiche umfassen zusammen über drei Viertel des Vereins, während die „durchschnittliche“ Größe fast niemanden trifft.

Der Vorschlag des Kassenwarts ist abzulehnen: Er würde die meisten Schuhe in einer Größe bestellen, die nur 6 von 80 Mitgliedern passt. Bei zweigipfeligen Verteilungen liegt das arithmetische Mittel typischerweise im Tal zwischen den Gipfeln und beschreibt dann keinen einzigen realen Fall.

Auch der Modalwert allein reicht nicht: Er nennt nur die Größe 38 und verschweigt den zweiten, fast gleich hohen Gipfel bei 43.

Sinnvolles Vorgehen: Die Bestellmengen sollten proportional zu den absoluten Häufigkeiten festgelegt werden, also 3 Paar in Größe 36, 7 Paar in 37, 14 Paar in 38 und so weiter. Zusätzlich sollte der Verein nach der Ursache der beiden Gipfel suchen — zwei Gipfel deuten fast immer auf zwei Teilgruppen hin, hier vermutlich auf eine Frauen- und eine Männermannschaft oder auf Jugend- und Erwachsenenabteilung. Werden diese Teilgruppen getrennt ausgewertet, so entsteht jeweils eine eingipfelige Verteilung, deren Lagemaße wieder aussagekräftig sind. Ein einziges Lagemaß für eine gemischte Gruppe ist dagegen irreführend.

Produkte: \(1\cdot 78 = 78\), \(2\cdot 120 = 240\), \(3\cdot 54 = 162\), \(4\cdot 36 = 144\), \(5\cdot 12 = 60\).

Summe: \(78+240+162+144+60 = 684\); Nenner: \(78+120+54+36+12 = 300 = n\).

\(\bar x = \dfrac{684}{300} = 2{,}28\).

Die Software hat also korrekt gerechnet — sie sieht nur Zahlen und tut mit ihnen genau das, was die Formel vorschreibt.

Bei alphabetischer Codierung (1 Auto, 2 Bahn, 3 Bus, 4 Fahrrad, 5 zu Fuß) bleiben alle Anzahlen gleich, nur die Ziffern wechseln:

\(1\cdot 36 = 36\), \(2\cdot 12 = 24\), \(3\cdot 78 = 234\), \(4\cdot 120 = 480\), \(5\cdot 54 = 270\); Summe \(= 1044\).

\(\bar x = \dfrac{1044}{300} = 3{,}48\).

Dieselben 300 Antworten liefern einmal 2,28 und einmal 3,48. Beide Zahlen sind richtig gerechnet, und keine von beiden sagt etwas über die Schülerinnen und Schüler aus — sie sagen nur etwas darüber aus, in welcher Reihenfolge jemand die Antworten nummeriert hat. Damit ist der Wert als Kennzahl widerlegt: Ein Lagemaß darf sich nicht ändern, wenn sich nur die Beschriftung ändert.

Der Grund: Die Ziffern 1 bis 5 sind hier bloße Namen. „Verkehrsmittel 2,28“ bezeichnet nichts; zwischen Fahrrad und zu Fuß liegt kein Abstand von 1, und Bahn ist nicht fünfmal so viel wie Bus.

Dasselbe gilt für den ausgegebenen „Median 2“: Auch er hängt allein an der Nummerierung. Mit der Reihenfolge 1 Fahrrad, 2 Bus, 3 zu Fuß, 4 Auto, 5 Bahn fällt die Mitte der 300 Antworten auf den Code 2, und die Software würde „Bus“ als mittleren Wert ausweisen statt „Fahrrad“.

Das Merkmal „Verkehrsmittel“ hat keine Rangordnung. Von den drei Lagemaßen ist deshalb nur der Modalwert zulässig, und er ist gegenüber jeder Umnummerierung unempfindlich: \(M = \text{Fahrrad}\) mit \(H(M) = 120\).

Der Bericht sollte enthalten:

1. Den Stichprobenumfang \(n = 300\) und die Angabe, wer befragt wurde — ohne Bezugsgröße ist keine Häufigkeit interpretierbar.

2. Die vollständige Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten: Fahrrad 120 (40,0 %), Bus 78 (26,0 %), zu Fuß 54 (18,0 %), Auto 36 (12,0 %), Bahn 12 (4,0 %).

3. Den Modalwert als zusammenfassende Aussage: „Das häufigste Verkehrsmittel ist das Fahrrad; 40 % der Befragten nutzen es.“

4. Statt einer Kennzahl eine Grafik, etwa ein Säulendiagramm der fünf Häufigkeiten.

Die von der Software ausgegebenen Werte 2,28 und 2 gehören dagegen nicht in den Bericht. Ob ein Lagemaß gebildet werden darf, entscheidet das Merkmal — nicht die Frage, ob der Rechner ein Ergebnis liefert.

März: \(n = 412+305+398+164+121 = 1400\) Ausleihen. Die größte Häufigkeit gehört zum Roman, also \(M = \text{Roman}\).

Roman: \(\dfrac{412}{1400} \approx 29{,}4\,\%\); Hörbuch: \(\dfrac{398}{1400} \approx 28{,}4\,\%\).

September: \(n = 372+298+389+159+96 = 1314\) Ausleihen. Die größte Häufigkeit gehört nun zum Hörbuch, also \(M = \text{Hörbuch}\).

Hörbuch: \(\dfrac{389}{1314} \approx 29{,}6\,\%\); Roman: \(\dfrac{372}{1314} \approx 28{,}3\,\%\).

Der Modalwert hat tatsächlich gewechselt, die Aussage der Leitung ist dadurch aber nicht gedeckt.

Erstens ist der Abstand winzig. Im März trennen Roman und Hörbuch 14 Ausleihen, im September 17 — jeweils rund ein Prozentpunkt. Der Modalwert ist ein Rangplatz: Er sagt nur, welche Ausprägung vorne liegt, nicht mit welchem Vorsprung. Bei nahezu gleich großen Häufigkeiten kippt er schon durch zufällige Schwankungen. Hätten 18 Personen im September statt eines Hörbuchs einen Roman entliehen, wäre der Modalwert unverändert geblieben.

Zweitens verdeckt der Modalwert die eigentliche Entwicklung. Die Ausleihen sind insgesamt um \(1400-1314 = 86\) (rund 6,1 %) zurückgegangen. Der Roman verlor 40 Ausleihen (\(-9{,}7\,\%\)), das Hörbuch nur 9 (\(-2{,}3\,\%\)). Es gibt also eine leichte Verschiebung zugunsten des Hörbuchs — aber beide Medienarten wurden weniger ausgeliehen. Von „hören jetzt lieber“ kann keine Rede sein.

Drittens sind zwei Monatswerte keine Zeitreihe. März und September unterscheiden sich in Ferienlage, Wetter und Neuerscheinungen; ein Trend lässt sich daraus nicht ableiten.

Die Bibliothek sollte nicht nur den Modalwert melden, sondern die vollständige Verteilung: für jeden Monat alle fünf absoluten Häufigkeiten, die zugehörigen relativen Häufigkeiten und die Gesamtzahl \(n\). Erst die Bezugsgröße macht die Anteile vergleichbar, denn \(n\) ist in beiden Monaten verschieden.

Zweitens gehört der Abstand zwischen den Führenden dazu — etwa als Satz: „Roman und Hörbuch liegen mit rund einem Prozentpunkt praktisch gleichauf.“ Ein Modalwert mit knappem Vorsprung sollte ausdrücklich als nicht belastbar gekennzeichnet werden.

Drittens sollte über mehrere Monate oder Jahre hinweg berichtet werden, am besten als Liniendiagramm der relativen Häufigkeiten. Erst eine längere Reihe zeigt, ob es sich um Zufall, um saisonale Schwankung oder um einen echten Trend handelt.

Viertens sollte der Rückgang der Gesamtausleihen offen genannt werden. Er ist die wichtigere Nachricht, geht aber in einer Aussage über Rangplätze vollständig unter.

Modalwert: Die größte absolute Häufigkeit ist \(H(4) = 55\), also \(M = 4\) Arbeitstage. Das sind \(\dfrac{55}{200} = 27{,}5\,\%\) aller Vorgänge.

Median: Kumulierte Häufigkeiten: bis 3 Tage 40; bis 4 Tage 95; bis 5 Tage 133; bis 6 Tage 155; bis 8 Tage 169; bis 12 Tage 178; bis 20 Tage 184; bis 45 Tage 194; bis 90 Tage 200.

Bei geradem \(n = 200\) sind die mittleren Positionen 100 und 101. Beide liegen zwischen 96 und 133, also beim Wert 5. Damit ist \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{5+5}{2} = 5\) Arbeitstage.

Arithmetisches Mittel: Produkte \(3\cdot40 = 120\), \(4\cdot55 = 220\), \(5\cdot38 = 190\), \(6\cdot22 = 132\), \(8\cdot14 = 112\), \(12\cdot9 = 108\), \(20\cdot6 = 120\), \(45\cdot10 = 450\), \(90\cdot6 = 540\); Summe \(= 1992\).

\(\bar x = \dfrac{1992}{200} = 9{,}96 \approx 10{,}0\) Arbeitstage. Die Zahl der Amtsleitung ist also richtig gerechnet.

Höchstens 10 Arbeitstage benötigten die Vorgänge mit 3, 4, 5, 6 und 8 Tagen: \(40+55+38+22+14 = 169\) Anträge.

Anteil: \(\dfrac{169}{200} = 0{,}845 = 84{,}5\,\%\). Länger als 10 Arbeitstage dauerten \(200-169 = 31\) Vorgänge, also 15,5 %.

Die 16 langwierigsten Vorgänge (10 mit 45 Tagen und 6 mit 90 Tagen) machen \(\dfrac{16}{200} = 8{,}0\,\%\) der Anträge aus. Sie verursachen aber \(450+540 = 990\) der insgesamt 1992 Bearbeitungstage, also \(\dfrac{990}{1992} \approx 49{,}7\,\%\).

Knapp die Hälfte aller Bearbeitungstage entfällt somit auf 8 % der Vorgänge.

Urteil zur Begründung: Die Amtsleitung zieht aus dem arithmetischen Mittel einen Schluss, den es nicht trägt. Der Durchschnitt von 9,96 Tagen beschreibt keinen typischen Vorgang: Er liegt doppelt so hoch wie der Median von 5 Tagen und zweieinhalbmal so hoch wie der Modalwert von 4 Tagen. Der Grund ist die stark unsymmetrische Verteilung — die 16 Extremfälle tragen fast die Hälfte aller Bearbeitungstage bei und ziehen \(\bar x\) allein nach oben. Dass der Durchschnitt zufällig bei 10 landet, ist deshalb kein Beleg für die Einhaltung der Frist, sondern das Ergebnis einer Verrechnung sehr schneller mit sehr langsamen Vorgängen.

Urteil zur Sache: Die Zusage wird tatsächlich eingehalten — 84,5 % der Anträge sind innerhalb von 10 Arbeitstagen fertig, und mehr verlangt die Formulierung „in der Regel“ nicht. Die Amtsleitung hat also recht, aber aus dem falschen Grund. Genau der Ausreißerbereich, der ihre Kennzahl nach oben zieht, ist zugleich das eigentliche Problem: 31 Vorgänge (15,5 %) überschreiten die Frist, 16 davon dauern 45 oder sogar 90 Arbeitstage. Der Mittelwert lässt offen, ob es sich um viele leicht verspätete oder wenige extrem verspätete Fälle handelt — und genau darauf käme es für die Personalentscheidung an. Die Entscheidung gegen die zusätzliche Stelle ist mit dieser Begründung nicht gestützt.

Bessere Angabe: Statt einer einzigen Zahl gehören in den Bericht (1) der Median von 5 Arbeitstagen als typische Dauer, (2) der Modalwert von 4 Arbeitstagen als häufigster Fall, (3) der Anteil innerhalb der Frist, also 84,5 %, (4) die Zahl und Dauer der Ausreißer — 16 Fälle mit 45 bis 90 Arbeitstagen — und (5) die Höchstdauer von 90 Arbeitstagen. Erst diese Angaben zusammen zeigen, dass der Regelbetrieb schnell läuft und das Problem in einer kleinen Gruppe sehr langwieriger Vorgänge liegt.