MINT lernen

Übungen: Der Median

Zwanzig Aufgaben zum Zentralwert: ordnen, Position bestimmen, bei gerader Anzahl mitteln — und immer wieder der Vergleich mit dem arithmetischen Mittel.

Zum NachschlagenZurück zur Erklärung6.2.4 Der Median — Erklärung nachlesen.
0 / 0 Aufgaben
Ü

Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Median \(x_{\mathrm{Med}}\). Vor jeder Bestimmung steht dasselbe: die Messwerte der Größe nach ordnen. Danach entscheidet allein die Anzahl — bei ungeradem \(n\) steht der Median an der Position \(\frac{n+1}{2}\), bei geradem \(n\) ist er das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Immer wieder geht es hier auch um den Vergleich mit \(\bar x\): Welche der beiden Kennzahlen reagiert auf einen Ausreißer, welche nicht?

1Erst ordnen, dann alles andereAFB I

Eine Messreihe liegt in der Reihenfolge der Messung vor: \(-3;\; 7;\; 0;\; -8;\; 12;\; 5;\; 2\).

Ordnen Sie die sieben Werte vom kleinsten zum größten.

Verschiebe die Zeilen mit der Maus oder mit den Pfeil-Buttons.
1−8
2−3
30
42
55
67
712
Bei negativen Zahlen ist der Wert mit dem größten Betrag der kleinste: \(-8 < -3 < 0\). In der geordneten Reihe steht der Median an vierter Stelle, hier also die 0.
2Median bei ungerader AnzahlAFB I

Gegeben ist die Messreihe \(14;\; 9;\; 21;\; 5;\; 17;\; 12;\; 8\).

Bestimmen Sie den Median \(x_{\mathrm{Med}}\).

Trage den Median ein. Enter prüft.
Geordnet: \(5;\;8;\;9;\;\mathbf{12};\;14;\;17;\;21\). Es sind \(n = 7\) Werte, also steht der Median an der Position \(\dfrac{7+1}{2} = 4\). Der vierte Wert ist 12. Wer ohne Sortieren den mittleren Eintrag der Ausgangsreihe nimmt, erhält 5 — reiner Zufall.
3Median Schritt für SchrittAFB II

An elf Tagen wurden Besucherzahlen erfasst.

Besucherzahlen an elf Tagen (in Hundert)
2215311827152419332026

Bestimmen Sie den Median dieser Messreihe.

Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei.
  1. Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?
  2. An welcher Position der geordneten Reihe steht der Median?
  3. Welcher Wert steht dort?
Geordnet lautet die Reihe \(15;\;15;\;18;\;19;\;20;\;\mathbf{22};\;24;\;26;\;27;\;31;\;33\). Position \(\dfrac{11+1}{2} = 6\), dort steht 22. Die Position ist nicht \(\dfrac{n}{2} = 5{,}5\) — die Formel \(\frac{n+1}{2}\) gilt nur bei ungeradem \(n\), liefert dann aber immer eine ganze Zahl.
4Median bei gerader AnzahlAFB II

Gegeben ist die Messreihe \(12;\; 7;\; 19;\; 15;\; 9;\; 22;\; 11;\; 16\).

Bestimmen Sie den Median. Dezimalzahlen mit Komma.

Trage den Median ein.
Geordnet: \(7;\;9;\;11;\;\mathbf{12};\;\mathbf{15};\;16;\;19;\;22\). Bei \(n = 8\) gibt es zwei mittlere Werte, nämlich an den Positionen \(\dfrac{8}{2} = 4\) und \(\dfrac{8}{2}+1 = 5\). Also \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{12+15}{2} = 13{,}5\) — ein Wert, der in der Reihe gar nicht vorkommt.
5Richtig oder falsch?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen zum Median.
Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch. Beide unterschätzen, wie viel Arbeit im Wort „geordnet“ steckt.
6An welcher Stelle steht der Median?AFB II

Bestimmen Sie für jeden Stichprobenumfang die Position beziehungsweise die beiden Positionen des Medians in der geordneten Reihe.

Sieben Felder, ein Prüfen-Klick.
\(n\)912152031
Position(en) des Medians und und
Ungerades \(n\): eine Position \(\dfrac{n+1}{2}\), also 5, 8 und 16. Gerades \(n\): zwei Positionen \(\dfrac{n}{2}\) und \(\dfrac{n}{2}+1\), also 6 und 7 bzw. 10 und 11. Bei \(n = 31\) ist die 16. Stelle gemeint — nicht die 15,5-te.
7Median und Mittelwert nebeneinanderAFB II

Berechnen Sie für jede der drei Messreihen sowohl den Median als auch das arithmetische Mittel.

Reihe A: \(3;\;9;\;4;\;8;\;6\)    Reihe B: \(2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;42\)    Reihe C: \(5;\;5;\;5;\;5;\;100\)

Sechs Felder ausfüllen, dann prüfen. Dezimalzahlen mit Komma.
MessreiheMedian \(x_{\mathrm{Med}}\)Mittelwert \(\bar x\)
A
B
C
A: geordnet \(3;4;6;8;9\), Median 6, Summe 30, also auch \(\bar x = 6\) — beide stimmen überein. B: Median \(\dfrac{6+8}{2} = 7\), aber \(\bar x = \dfrac{72}{6} = 12\). C: Median 5, aber \(\bar x = \dfrac{120}{5} = 24\). Je stärker ein einzelner Wert nach oben ausreißt, desto weiter laufen die beiden Kennzahlen auseinander — und desto weniger sagt \(\bar x\) über die Mehrzahl der Werte aus.
8Karten nach ihrem Median einsortierenAFB II

Bestimmen Sie den Median jeder Messreihe und ordnen Sie die Karte dem passenden Korb zu. Achtung: drei der Reihen haben eine gerade Anzahl.

Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.
1\(x_{\mathrm{Med}} = 5\)
2\(x_{\mathrm{Med}} = 7\)
3\(x_{\mathrm{Med}} = 9\)
Bei den geraden Reihen wird gemittelt: \(\dfrac{4+6}{2} = 5\), \(\dfrac{6+8}{2} = 7\) und \(\dfrac{8+10}{2} = 9\). Der große Wert 30 in der letzten Reihe spielt für den Median keine Rolle — für das arithmetische Mittel dagegen sehr wohl.
9Median oder Mittelwert — was reagiert?AFB II

Gegeben ist die Messreihe \(4;\; 7;\; 9;\; 12;\; 28\) mit \(x_{\mathrm{Med}} = 9\) und \(\bar x = 12\).

Kreuzen Sie für jede Veränderung an, welche der beiden Kennzahlen sich ändert.

In jeder Zeile genau ein Kreuz.
nur der Median ändert sichnur das arithmetische Mittel ändert sichbeide ändern sichkeine von beiden ändert sich
Der Wert 28 wird durch 40 ersetzt.
Der Wert 9 wird durch 10 und gleichzeitig der Wert 28 durch 27 ersetzt.
Jeder Wert wird um 5 vergrößert.
Die fünf Messwerte werden in einer anderen Reihenfolge notiert.
Der Wert 7 wird durch 20 ersetzt.
Die Werte 4 und 28 werden gestrichen.
Nur der Randwert 28 zu verändern lässt die Mitte unberührt, verschiebt aber die Summe. In Zeile 2 heben sich \(+1\) und \(-1\) in der Summe auf, der mittlere Wert wandert aber von 9 auf 10. Beim Streichen von 4 und 28 bleiben \(7;9;12\) übrig: Median weiterhin 9, Mittelwert nun \(\tfrac{28}{3} \approx 9{,}3\). Und eine andere Notierreihenfolge ändert an beiden Kennzahlen nichts — sortiert wird ohnehin.
10Median bei Bewertungen ohne ZahlenAFB II

Aufgaben werden mit ul (unlösbar), sl (schwer lösbar), l (lösbar) und ll (leicht lösbar) bewertet. Diese Angaben lassen sich ordnen, aber nicht addieren — ein arithmetisches Mittel gibt es hier nicht.

Bestimmen Sie für jede Erhebung den Median. Die vier Stufen stehen für ul, sl, l und ll.

Wähle in jeder Zeile die Stufe, die dem Median entspricht.
ul (unlösbar)ll (leicht lösbar)
ul, sl, sl, l, l, ll, sl, l, l, sl, ll, sl, l, l, sl, ll, l, ll, sl  (n = 19)
sl, sl, ul, sl, l, sl, ul  (n = 7)
ll, l, ll, ll, l, ll, ll, l, ll  (n = 9)
ul, ul, sl, l, ll  (n = 5)
l, l, l, ll, ll  (n = 5)
Zeile 1: einmal ul, siebenmal sl, siebenmal l, viermal ll; die 10. Angabe der geordneten Reihe ist l. Zeile 2: zweimal ul, viermal sl, einmal l; die 4. Angabe ist sl. Zeile 3: dreimal l, sechsmal ll; die 5. Angabe ist ll. Zeile 4: die 3. Angabe ist sl. Zeile 5: die 3. Angabe ist l. In Zeile 1 gäbe es übrigens keinen eindeutigen Modalwert, weil sl und l beide siebenmal vorkommen — der Median entscheidet trotzdem eindeutig.
11Eine Messreihe mit vorgegebenem MedianAFB III

Stellen Sie auf dem Zahlenstrahl eine Messreihe zusammen, für die gleichzeitig gilt: \(n = 9\), \(x_{\mathrm{Med}} = 12\) und \(S_w = 10\).

Die Kennzahlen über dem Zahlenstrahl werden laufend neu berechnet.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Bei \(n = 9\) steht der Median an der 5. Stelle der geordneten Reihe — dort muss also eine 12 liegen. Vier Werte müssen höchstens 12 sein, vier mindestens 12, und der kleinste und der größte Wert müssen genau 10 auseinanderliegen. Eine mögliche Lösung: \(5;\;7;\;9;\;11;\;12;\;13;\;13;\;14;\;15\).
12Fehlersuche in einer MusterlösungAFB II

Gesucht ist der Median der Messreihe \(18;\; 4;\; 25;\; 9;\; 12;\; 7\).

Klicken Sie alle Zeilen an, die einen Fehler enthalten.

Klicke die fehlerhaften Zeilen an.
Alle Fehler beginnen mit dem übersprungenen ersten Schritt: Ohne Sortieren gibt es keine Mitte. Und die Probe „Liegt wirklich die Hälfte der Werte darüber?“ kostet nur Sekunden.
13Die Begriffe an der richtigen StelleAFB I

Vervollständigen Sie den Text mit den Bausteinen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Der Median ist der mittlere Messwert einer Reihe; er heißt auch . Bei Anzahl steht er an genau einer Position und ist damit selbst ein Messwert. Bei gerader Anzahl bleiben mittlere Werte stehen; sind es Zahlen, so ist der Median ihr . Weil man die Werte nur und nicht addieren muss, funktioniert der Median auch bei Angaben ohne Zahlenwert — und er bleibt von einem am Rand unberührt.

Zwei Eigenschaften machen den Median stark: Er braucht nur eine Reihenfolge, und er reagiert kaum auf einzelne extreme Werte.
14Median einstellenAFB II

Neun Messwerte lauten \(34;\; 12;\; 27;\; 19;\; 22;\; 30;\; 25;\; 16;\; 21\).

Stellen Sie den Regler auf den Median dieser Reihe.

Pfeiltasten bewegen den Regler in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.
040
Geordnet: \(12;\;16;\;19;\;21;\;\mathbf{22};\;25;\;27;\;30;\;34\). Bei \(n = 9\) ist die Position \(\dfrac{9+1}{2} = 5\), dort steht 22. Zum Vergleich: Das arithmetische Mittel wäre \(\dfrac{206}{9} \approx 22{,}9\) — hier liegen beide Kennzahlen dicht beieinander, weil kein Ausreißer vorhanden ist.
15Was lässt sich aus dem Median schließen?AFB III

Für eine Messreihe mit \(n = 20\) Werten ist \(x_{\mathrm{Med}} = 14\) bekannt, sonst nichts.

Wählen Sie alle Aussagen aus, die daraus mit Sicherheit folgen.

Mehrere Antworten sind richtig.
Der Median teilt die geordnete Reihe in zwei gleich große Hälften — daraus folgen die ersten beiden Aussagen. Bei \(n = 20\) ist \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{a+b}{2}\) mit den Werten an den Positionen 10 und 11, also \(a + b = 28\); das können 14 und 14 sein, aber ebenso 12 und 16. Über das arithmetische Mittel sagt der Median gar nichts: Ein einziger Ausreißer kann \(\bar x\) beliebig weit verschieben, ohne den Median zu berühren.
16Messreihe und Median verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Messreihe mit ihrem Median. Zwei der Reihen haben eine gerade Anzahl.

Links eine Messreihe anklicken, dann rechts den passenden Median.
Die ersten beiden Reihen unterscheiden sich nur durch einen zusätzlichen Wert — und schon ändert sich der Median von 4 auf \(\dfrac{4+6}{2} = 5\). Bei der letzten Reihe ist der Median 8, obwohl das arithmetische Mittel mit \(\dfrac{121}{5} = 24{,}2\) weit darüber liegt.
17Den fehlenden Wert bestimmenAFB III

Zu den fünf Messwerten \(6;\; 11;\; 4;\; 18;\; 9\) kommt ein sechster ganzzahliger Wert \(x\) hinzu. Danach soll der Median der sechs Werte genau \(9{,}5\) betragen.

Bestimmen Sie \(x\).

Trage den gesuchten Wert ein.
Ohne \(x\) lautet die geordnete Reihe \(4;\;6;\;9;\;11;\;18\). Mit \(x\) sind es sechs Werte, der Median ist dann das Mittel der Werte an den Positionen 3 und 4; ihre Summe muss \(2 \cdot 9{,}5 = 19\) betragen. Für \(x = 10\) lautet die geordnete Reihe \(4;\;6;\;\mathbf{9};\;\mathbf{10};\;11;\;18\) mit \(\dfrac{9+10}{2} = 9{,}5\). Für \(x = 9\) käme 9 heraus, für \(x = 11\) schon 10 — die Lösung ist eindeutig.
18Der Weg zum MedianAFB II

Gegeben ist die Messreihe \(30;\; 12;\; 21;\; 45;\; 18;\; 27;\; 15;\; 24\).

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Eine falsche Wahl wird rot markiert; dann probierst du es erneut.

    Vier Schritte, immer dieselben: ordnen, Anzahl prüfen, Position(en) bestimmen, Wert ablesen oder mitteln. Der Ausreißer 45 hat auf das Ergebnis keinen Einfluss.
    19Die Positionsregel zusammensetzenAFB I

    Setzen Sie die Bausteine zu einem richtigen Satz über den Median bei ungerader Anzahl zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

    Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
    Bei ungeradem \(n\) ist \(\dfrac{n+1}{2}\) immer eine ganze Zahl — genau deshalb funktioniert die Regel. Der übrig gebliebene Baustein \(\dfrac{n}{2}\) gehört zum Fall der geraden Anzahl, und das Wort „ursprünglichen“ wäre der klassische Fehler: Gemeint ist immer die geordnete Reihe.
    20Welche Kennzahl beschreibt die Daten besser?AFB III

    In einem Haus mit fünf Wohnungen betragen die Kaltmieten:

    Monatliche Kaltmieten von fünf Wohnungen in einem Haus
    Wohnung12345
    Miete in €4805205605902350

    Berechnen Sie beide Lagemaße und untersuchen Sie, wie sie auf eine Änderung der Dachgeschosswohnung reagieren.

    Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei.
    1. Wie groß ist das arithmetische Mittel der fünf Mieten in Euro?€
    2. Wie groß ist der Median der fünf Mieten in Euro?€
    3. Wie viele der fünf Mieten liegen unterhalb des arithmetischen Mittels?
    4. Die Miete von 2350 € steigt auf 3350 €. Wie groß ist das neue arithmetische Mittel in Euro?€
    5. Wie groß ist der neue Median in Euro?€
    Summe \(= 4500\,\text{€}\), also \(\bar x = 900\,\text{€}\); der Median ist der 3. Wert der geordneten Reihe, also \(560\,\text{€}\). Vier der fünf Mieten liegen unter 900 € — das arithmetische Mittel beschreibt hier keine einzige der vier normalen Wohnungen. Nach der Mieterhöhung springt \(\bar x\) auf \(\dfrac{5500}{5} = 1100\,\text{€}\), während der Median unverändert bei 560 € bleibt. Für „was zahlt man hier typischerweise?“ ist der Median die bessere Auskunft.