Der mittlere Wert
Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Messreihe. Er heißt auch Zentralwert.
- Schreibweise:\(x_{\mathrm{Med}}\), gleiche Einheit wie die Messwerte.
- Zuerst ordnen:die Werte vom kleinsten zum größten sortieren.
- Ungerades \(n\):genau ein mittlerer Wert an der Position \(\frac{n+1}{2}\).
- Beispiel:31 Temperaturen: Position \(\frac{31+1}{2} = 16\), also \(x_{\mathrm{Med}} = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).
- Bedeutung:15 Werte liegen darunter, 15 darüber.
| Messreihe | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeile 1 | 18 | 20 | 13 | 15 | 19 | 24 | 24 | 24 | 25 | 24 | 26 |
| Zeile 2 | 24 | 25 | 22 | 13 | 12 | 13 | 15 | 18 | 21 | 17 | |
| Zeile 3 | 23 | 27 | 21 | 14 | 14 | 20 | 22 | 23 | 21 | 26 |
Median bei ungeradem \(n\): \(x_{\mathrm{Med}}\) = Wert an der Position \(\dfrac{n+1}{2}\) der geordneten Reihe
Gerade Anzahl
Bei geradem \(n\) bleiben in der Mitte zwei Werte stehen. Der Median ist ihr Mittelwert.
- Positionen:\(\frac{n}{2}\) und \(\frac{n}{2} + 1\).
- Beispiel:2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 19: mittlere Werte 5 und 7, also \(x_{\mathrm{Med}} = \frac{5+7}{2} = 6\).
- Kein Messwert:die 6 kommt in der Reihe gar nicht vor.
Median bei geradem \(n\): \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{a + b}{2}\) mit den beiden mittleren Werten \(a\) und \(b\)
Stärken des Medians
Für den Median musst du nur ordnen, nicht rechnen. Außerdem reagiert er kaum auf Ausreißer.
- Nur ordnen:traurig < neutral < lachend; bei 7 Bewertungen ist die 4. Angabe der Median: „lachend“.
- Zwei mittlere Angaben:aus neutral und lachend lässt sich kein Mittel bilden; der Median besteht aus beiden.
- Ausreißer:Gehälter 1900, 2000, 2100, 2400, 8000 €: \(\bar x = 3280\) €, aber \(x_{\mathrm{Med}} = 2100\) €.
| Person | Gehalt |
|---|---|
| Herr Adam | 1900 € |
| Frau Beier | 2000 € |
| Frau Cordes | 2100 € |
| Herr Dreier | 2400 € |
| Frau Eirich | 8000 € |
In den drei Abschnitten war die geordnete Reihe jeweils schon fertig hingeschrieben. Im folgenden Applet entsteht sie Schritt für Schritt: Oben liegen die Messwerte in der Reihenfolge, in der sie erhoben wurden, unten wird die geordnete Reihe aufgebaut. Ist alles einsortiert, so streichen sich der kleinste und der größte Wert paarweise weg, bis in der Mitte der Median stehen bleibt. Die Anzahl der Werte lässt sich zwischen neun und zehn umschalten, also zwischen ungerader und gerader Anzahl.
Sortier- und Median-Finder
Klicke einen Wert in der oberen Reihe an, um ihn an seinen Platz in der geordneten Reihe zu setzen. Sind alle Werte einsortiert, so kannst du den jeweils kleinsten und den größten Wert der geordneten Reihe anklicken und damit von außen streichen. Was am Ende in der Mitte übrig bleibt, ist der Median \(x_{\mathrm{Med}}\).
Rechnung wird geladen.
Die Messreihe enthält neun Werte. Sortiere sie zuerst der Größe nach.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit → oder Enter den nächsten Schritt ausführen, mit ← einen Schritt zurücknehmen und mit ↑/↓ zwischen neun und zehn Werten umschalten. Alle Schaltflächen sind ebenfalls mit Tab und Enter erreichbar; jede Änderung wird vorgelesen.
Beim Ausprobieren zeigt sich der Unterschied zwischen den beiden Fällen sehr deutlich. Bei neun Werten geht das Streichen so lange weiter, bis genau ein Kästchen übrig ist; dieser Wert ist der Median und er stammt aus der Messreihe. Bei zehn Werten bleiben zwei Kästchen stehen, und erst das arithmetische Mittel dieser beiden Werte ergibt den Median. Wer während des Streichens auf die Ränder achtet, sieht außerdem: Ob am rechten Rand ein sehr großer Wert steht oder nicht, spielt für das Ergebnis keine Rolle, denn er wird im ersten Schritt gestrichen.
Allgemeine Hinweise
Erst sortieren
In der Messreihenfolge steht an Platz 16 der Wert \(13\,{}^{\circ}\mathrm{C}\). Er sagt nichts über die Mitte aus.
Platz ist nicht Wert
\(\frac{n+1}{2}\) nennt nur den Platz. Den Median liest du an diesem Platz ab.
Von außen streichen
Streiche paarweise den kleinsten und den größten Wert. Was übrig bleibt, ist die Mitte.
Videos
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