Textaufgaben: Der Median

Geordnete Reihe: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14 (alle Werte in Minuten).

Es sind \(n = 9\) Werte, und 9 ist ungerade. Der Median steht an der Position \(\dfrac{9+1}{2} = 5\).

Der 5. Wert der geordneten Reihe ist 7, also \(x_{\mathrm{Med}} = 7\,\mathrm{min}\). Vier Personen warteten höchstens 7 Minuten, vier mindestens 7 Minuten.

Neue geordnete Reihe: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 26.

Jetzt ist \(n = 10\) gerade. Die mittleren Positionen sind \(\dfrac{10}{2} = 5\) und \(\dfrac{10}{2}+1 = 6\); dort stehen die Werte 7 und 8.

\(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{7+8}{2} = 7{,}5\,\mathrm{min}\). Dieser Wert wurde selbst gar nicht gemessen — bei gerader Anzahl ist der Median eine berechnete Zahl.

Median: von 7 min auf 7,5 min, also \(+0{,}5\,\mathrm{min}\).

Arithmetisches Mittel vorher: \(\bar x = \dfrac{3+4+5+6+7+8+9+11+14}{9} = \dfrac{67}{9} \approx 7{,}44\,\mathrm{min}\).

Arithmetisches Mittel nachher: \(\bar x = \dfrac{67+26}{10} = \dfrac{93}{10} = 9{,}30\,\mathrm{min}\), also \(+1{,}86\,\mathrm{min}\).

Das arithmetische Mittel verschiebt sich rund dreieinhalbmal so stark wie der Median. Der Grund liegt in den Rechenvorschriften: In die Summe geht die 26 in voller Höhe ein, für den Median zählt sie dagegen nur als ein weiterer Wert am rechten Rand. Ob dort 26 oder 260 Minuten stehen, würde am Median nichts ändern.

Kumulierte absolute Häufigkeiten (aufaddiert von links):

bis 1 Person: 62; bis 2: \(62+78 = 140\); bis 3: \(140+51 = 191\); bis 4: \(191+39 = 230\); bis 5: \(230+15 = 245\); bis 6: \(245+5 = 250\).

Die letzte Zahl bestätigt \(n = 250\), es fehlt also kein Haushalt.

Bei geradem \(n = 250\) liegen die mittleren Positionen bei \(\dfrac{250}{2} = 125\) und \(126\). Bis einschließlich 1 Person sind es erst 62 Haushalte, bis einschließlich 2 Personen bereits 140. Beide gesuchten Positionen fallen also auf den Wert 2.

\(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{2+2}{2} = 2\) Personen je Haushalt.

Produkte: \(1\cdot 62 = 62\), \(2\cdot 78 = 156\), \(3\cdot 51 = 153\), \(4\cdot 39 = 156\), \(5\cdot 15 = 75\), \(6\cdot 5 = 30\); Summe \(= 632\).

\(\bar x = \dfrac{632}{250} = 2{,}528 \approx 2{,}53\) Personen je Haushalt.

Der Mittelwert liegt um rund 0,53 Personen über dem Median. Ursache ist die unsymmetrische Verteilung: Nach unten ist sie bei 1 Person begrenzt, nach oben reicht sie bis 6. Die 20 großen Haushalte mit 5 oder 6 Personen gehen in die Summe mit ihrer vollen Größe ein und ziehen \(\bar x\) nach oben. Für den Median zählen sie dagegen nur als 20 Haushalte am rechten Rand — ihre Größe spielt dort keine Rolle.

Zur Bestimmung des Medians muss man nicht wissen, welcher Haushalt welchen Wert hat, sondern nur, an welcher Stelle der geordneten Reihe ein bestimmter Wert steht. Genau diese Auskunft liefert die kumulierte Häufigkeit: Sie sagt, wie viele Haushalte höchstens so groß wie ein gegebener Wert sind.

Die Positionen 125 und 126 liegen zwischen 63 und 140, und alle Haushalte auf diesen Positionen tragen den Wert 2. Damit ist der Median eindeutig festgelegt, ohne dass eine geordnete Liste mit 250 Einträgen geschrieben werden muss.

Das ist der praktische Vorteil des Verfahrens: Bei großen Stichproben wäre das Sortieren von Hand unmöglich, das Aufaddieren von sechs Zahlen dagegen eine Sache von Sekunden.

Summe: \(2400+2550+2600+2750+2900+3100+3300+3600+12\,800 = 36\,000\).

\(\bar x = \dfrac{36\,000\,\text{€}}{9} = 4000\,\text{€}\).

Die Reihe ist bereits geordnet, \(n = 9\) ist ungerade, der Median steht an der Position \(\dfrac{9+1}{2} = 5\): \(x_{\mathrm{Med}} = 2900\,\text{€}\).

Bemerkenswert: 8 der 9 Gehälter liegen unter dem arithmetischen Mittel. Nur der Inhaber verdient mehr.

Neue Summe: \(36\,000 - 12\,800 + 20\,000 = 43\,200\), also \(\bar x = \dfrac{43\,200\,\text{€}}{9} = 4800\,\text{€}\).

Das arithmetische Mittel steigt um 800 €. Die Kontrollrechnung bestätigt das: \(\dfrac{d}{n} = \dfrac{7200\,\text{€}}{9} = 800\,\text{€}\).

Der Median bleibt dagegen bei 2900 €. Der veränderte Wert steht weiterhin an der 9. Position der geordneten Reihe; der 5. Wert ist unberührt.

Das ist die entscheidende Eigenschaft: Der Median ist gegenüber Ausreißern robust, das arithmetische Mittel nicht. Nach der Erhöhung verdienen sogar 8 von 9 Personen weniger als 60 % des Durchschnitts.

Erhöht man das Gehalt von Person E von 2900 € auf 3100 €, so lautet die geordnete Reihe 2400, 2550, 2600, 2750, 3100, 3100, 3300, 3600, 12 800. Der 5. Wert und damit der Median beträgt nun 3100 € — genau 200 € mehr.

Das arithmetische Mittel steigt dabei nur um \(\dfrac{200\,\text{€}}{9} \approx 22{,}22\,\text{€}\) auf rund 4022,22 €.

Damit zeigt sich die Umkehrung von b): Eine Änderung in der Mitte der Verteilung bewegt den Median stark und das arithmetische Mittel kaum; eine Änderung am Rand bewegt das arithmetische Mittel stark und den Median gar nicht. Beide Kennwerte reagieren also auf ganz verschiedene Teile der Daten.

Summe: \(2100+2200+2300+2400+2500+2600+2800+3000+3400+4200+9500 = 37\,000\).

\(\bar x = \dfrac{37\,000\,\text{€}}{11} \approx 3363{,}64\,\text{€}\).

Unter diesem Wert liegen die Gehälter 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2800 und 3000, also 8 der 11 Personen (rund 72,7 %). Darüber liegen nur 3400, 4200 und 9500.

Der Median steht bei \(n = 11\) an der Position \(\dfrac{11+1}{2} = 6\) und beträgt \(x_{\mathrm{Med}} = 2600\,\text{€}\) — deutlich unter dem Mittelwert.

Für diesen Datensatz trifft die Aussage also zu.

Gegenbeispiel: 2; 8; 9; 10; 10; 10; 11 (etwa erreichte Punkte in einem Test mit \(n = 7\)).

Summe \(= 2+8+9+10+10+10+11 = 60\), also \(\bar x = \dfrac{60}{7} \approx 8{,}57\).

Unter dem Mittelwert liegen nur die Werte 2 und 8, also 2 von 7 Personen (rund 28,6 %) — das ist weniger als die Hälfte. Über dem Mittelwert liegen dagegen 5 von 7 Werten.

Der Median beträgt hier \(x_{\mathrm{Med}} = 10\) und liegt damit über dem arithmetischen Mittel. Die Aussage des Gastes ist für diese Messreihe falsch.

Urteil: Die Aussage ist kein Gesetz, sondern eine Beobachtung, die für Einkommensverteilungen typischerweise zutrifft. Der Grund ist deren Form: Nach unten sind Einkommen begrenzt, nach oben nicht, sodass wenige sehr hohe Werte die Summe und damit \(\bar x\) nach oben ziehen, während die Masse der Werte darunter liegt. Solche rechtsschiefen Verteilungen haben \(\bar x > x_{\mathrm{Med}}\).

Bei umgekehrt geformten Daten gilt das Gegenteil, wie das Beispiel aus b) zeigt. Bei symmetrischen Verteilungen fallen \(\bar x\) und \(x_{\mathrm{Med}}\) sogar zusammen, und dann liegt genau die Hälfte darunter. Der Gast verallgemeinert also eine Eigenschaft von Einkommensdaten zu einem angeblichen Gesetz.

Was immer gilt: Mindestens die Hälfte aller Werte ist höchstens so groß wie der Median, und mindestens die Hälfte ist mindestens so groß wie der Median. Das folgt unmittelbar aus der Definition, denn der Median ist die Mitte der geordneten Reihe — unabhängig davon, wie die Daten verteilt sind. Wer eine Aussage über „die Hälfte“ treffen will, muss deshalb vom Median sprechen und nicht vom Durchschnitt.

Summe aller 15 Werte: \(6{,}20+6{,}80+7{,}10+7{,}40+7{,}90+8{,}10+8{,}20+8{,}40+8{,}60+8{,}90+9{,}30+9{,}80+11{,}90+15{,}60+22{,}80 = 147{,}00\).

\(\bar x = \dfrac{147{,}00\,\text{€}/\mathrm{m}^2}{15} = 9{,}80\,\text{€}/\mathrm{m}^2\) — die Zahl der Zeitung ist korrekt.

Bei \(n = 15\) steht der Median an der Position \(\dfrac{15+1}{2} = 8\); der 8. Wert ist \(x_{\mathrm{Med}} = 8{,}40\,\text{€}/\mathrm{m}^2\) — die Zahl des Mietervereins ist ebenfalls korrekt.

Unter dem arithmetischen Mittel liegen die Ränge 1 bis 11, also 11 der 15 Wohnungen (rund 73 %). Eine Wohnung liegt genau auf 9,80 €/m², nur drei darüber.

Beide Rechnungen sind richtig, aber sie beantworten verschiedene Fragen. In die Summe des arithmetischen Mittels gehen die drei möblierten Apartments mit 11,90, 15,60 und 22,80 €/m² in voller Höhe ein; zusammen tragen sie \(50{,}30\) von \(147{,}00\), also rund 34 % der Summe bei, obwohl sie nur \(\dfrac{3}{15} = 20\,\%\) der Angebote stellen. Besonders der Spitzenwert 22,80 €/m² wirkt als Ausreißer.

Für den Median zählen diese drei Wohnungen nur als drei Angebote am rechten Rand; ihre Höhe ist gleichgültig. Deshalb bleibt der Median bei 8,40 €/m² und beschreibt, was in der Mitte des Marktes verlangt wird.

Für eine 80 m²-Wohnung bedeutet das \(9{,}80\,\text{€}\cdot 80 = 784{,}00\,\text{€}\) gegenüber \(8{,}40\,\text{€}\cdot 80 = 672{,}00\,\text{€}\), also einen Unterschied von \(112{,}00\,\text{€}\) im Monat oder \(1344{,}00\,\text{€}\) im Jahr.

Welcher Kennwert gehört in den Bericht? Eine Berichterstattung über die Mietbelastung will die Frage beantworten, was man in diesem Stadtteil typischerweise zahlen muss. Dafür ist der Median die angemessene Kennzahl: Er teilt den Markt in zwei Hälften und wird von einzelnen Luxusangeboten nicht verschoben. Das arithmetische Mittel ist hier irreführend, weil 11 der 15 Wohnungen darunter liegen — es beschreibt keine einzige typische Wohnung.

Das heißt nicht, dass der Mittelwert wertlos wäre: Für Fragen nach dem gesamten Mietvolumen eines Stadtteils, etwa bei der Berechnung von Zuschussbedarf, ist gerade die Summe entscheidend, und dann ist \(\bar x\) die richtige Größe. Am ehrlichsten wäre, beide Zahlen zusammen mit \(n = 15\) und der Spannweite (6,20 bis 22,80 €/m²) zu nennen.

Zum Vergleich der Jahre: Er ist unzulässig, weil zwei verschiedene Kennzahlen gegeneinander gestellt werden. Der Anstieg von 7,60 auf 9,80 €/m² ergibt \(\dfrac{9{,}80}{7{,}60} \approx 1{,}289\), also rund 28,9 % — aber nur, weil 2024 der höhere der beiden Kennwerte gewählt wurde. Vergleicht man Median mit Median, so beträgt der Anstieg \(\dfrac{8{,}40}{7{,}60} \approx 1{,}105\), also rund 10,5 %. Die Zeitung stellt die Entwicklung damit fast dreimal so stark dar, wie sie tatsächlich ist. Ein Vergleich über die Zeit ist nur dann aussagekräftig, wenn in beiden Jahren dieselbe Kennzahl aus vergleichbar erhobenen Daten verwendet wird.