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Lernkarten
Dreißig Karten zu Kapitel 6: 15 Formelkarten und 15 Begriffskarten. Ein Klick (oder Enter) dreht eine Karte um, der Knopf oben rechts markiert sie als gelernt. Die Markierungen bleiben auf diesem Gerät gespeichert, sodass Sie beim nächsten Mal mit dem Filter „Noch offen“ genau dort weitermachen können, wo Sie aufgehört haben.
1
Formel
Relative Häufigkeit
Wie hängt sie mit der absoluten zusammen?
Antwort
\(h(x) = \dfrac{H(x)}{n}\)H(x): wie oft der Wert x vorkommt, n: Stichprobenumfang. Es gilt immer 0 ≤ h(x) ≤ 1; alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben 1.
2
Formel
Mittelpunktswinkel im Kreisdiagramm
Wie wird aus einem Anteil ein Winkel?
Antwort
\(\alpha = h(x) \cdot 360^{\circ}\)Der volle Kreis entspricht 100 % beziehungsweise 360°. Beispiel: 35 % ergeben 126°.
3
Formel
Arithmetisches Mittel
Die Formel und ihre Umkehrung
Antwort
\(\bar x = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\)Umgestellt: Summe aller Werte = x̄ · n. Damit lassen sich fehlende Einzelwerte zurückrechnen.
4
Formel
Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt
Antwort
\(\bar x = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j} x_j \cdot H(x_j)\)Nicht die Liste der Merkmalswerte mitteln! Im Nenner steht n, nicht die Anzahl der Tabellenzeilen.
5
Formel
Spannweite
Das einfachste Streumaß
Antwort
\(S_w = x_{\max} - x_{\min}\)Benutzt nur die beiden Randwerte und wird deshalb von einem einzigen Ausreißer vollständig bestimmt.
6
Formel
Klassenmitte
Was tritt an die Stelle der Einzelwerte?
Antwort
\(m = \dfrac{\text{untere} + \text{obere Grenze}}{2}\)Beispiel: Die Klasse [20; 30) hat die Klassenmitte 25.
7
Formel
Mittelwert aus Klassenmitten
Warum steht hier ein Näherungszeichen?
Antwort
\(\bar x \approx \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j} m_j \cdot H_j\)Nach dem Klassieren sind die Einzelwerte verloren; man rechnet mit der Annahme, jeder Wert liege in der Klassenmitte.
8
Formel
Empirische Varianz
Der mittlere quadratische Abstand vom Mittelwert
Antwort
\(s^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2\)Quadriert wird, weil sich die unquadrierten Abweichungen immer zu 0 aufheben. Einheit: quadriert.
9
Formel
Empirische Standardabweichung
Zurück in die Einheit der Messwerte
Antwort
\(s = \sqrt{s^2}\)Immer s ≥ 0, und s = 0 genau dann, wenn alle Messwerte gleich sind.
10
Formel
Boxbreite
Streuung der mittleren Hälfte
Antwort
\(Q_3 - Q_1\)Sie misst, wie weit die mittleren 50 % der Werte auseinanderliegen — robust gegen Ausreißer.
11
Formel
Median bei ungeradem n
Welcher Wert der Rangliste ist es?
Antwort
\(x_{\mathrm{Med}} = x_{\frac{n+1}{2}}\)Beispiel: Bei n = 9 ist es der fünfte Wert der Rangliste.
12
Formel
Median bei geradem n
Warum sind hier zwei Werte im Spiel?
Antwort
\(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\)Beispiel: Bei n = 8 das Mittel aus viertem und fünftem Wert. Der Median muss dann selbst kein Messwert sein.
13
Formel
Klassenbreite
Wie breit müssen die Klassen mindestens sein?
Antwort
\(b \ge \dfrac{S_w}{k}\)k ist die gewünschte Klassenzahl. Anschließend auf einen glatten Wert aufrunden — abrunden würde Werte ausschließen.
14
Formel
Verschieben aller Werte um c
Was ändert sich, was nicht?
Antwort
\(\bar x \to \bar x + c,\quad s \to s\)Alle Abstände bleiben gleich, deshalb bleibt jedes Streumaß unverändert.
15
Formel
Strecken aller Werte mit k
Etwa bei einem Einheitenwechsel
Antwort
\(\bar x \to k\,\bar x,\quad s \to |k|\cdot s\)Alle Abstände dehnen sich um den Faktor k — deshalb ändert sich hier auch die Streuung.
16
Begriff
Grundgesamtheit
Worüber soll etwas ausgesagt werden?
Antwort
Die Menge aller Objekte, über die eine Aussage gemacht werden soll. Sie muss vor der Erhebung klar abgegrenzt sein.
17
Begriff
Stichprobe
Was wird tatsächlich untersucht?
Antwort
Der untersuchte Teil der Grundgesamtheit. Ihre Größe heißt Stichprobenumfang n.
18
Begriff
Merkmal und Merkmalswert
Was wird erhoben, welche Antworten sind möglich?
Antwort
Das Merkmal ist die erhobene Eigenschaft (z. B. Verkehrsmittel), die Merkmalswerte sind die möglichen Ausprägungen (Bus, Rad, zu Fuß).
19
Begriff
Repräsentativität
Wann darf man von der Stichprobe auf alle schließen?
Antwort
Wenn die Stichprobe die Grundgesamtheit in den wesentlichen Merkmalen abbildet — erreicht durch zufällige Auswahl. Eine verzerrte Auswahl wird durch eine größere Stichprobe nicht besser.
20
Begriff
Urliste und Rangliste
Wo liegt der Unterschied?
Antwort
Die Urliste ist die Reihenfolge der Erhebung, die Rangliste die der Größe nach geordnete Fassung. Median und Quartile brauchen die Rangliste.
21
Begriff
Modalwert
Wann ist er nützlich, wann nicht?
Antwort
Der häufigste Merkmalswert. Nützlich, wenn ein Wert deutlich heraussticht; wenig aussagekräftig, wenn alle Werte etwa gleich oft auftreten. Als einziges Lagemaß funktioniert er auch bei nicht-numerischen Merkmalen.
22
Begriff
Lagemaß und Streumaß
Warum braucht man beides?
Antwort
Ein Lagemaß sagt, wo die Daten liegen (Mittel, Median, Modalwert), ein Streumaß, wie weit sie auseinanderliegen (Spannweite, Boxbreite, s). Eine Auswertung nennt immer beides.
23
Begriff
Robustheit
Welches Lagemaß hält Ausreißer aus?
Antwort
Der Median ist robust: Er entsteht aus der Position in der Rangliste. Das arithmetische Mittel ist empfindlich, weil jeder Zahlenwert mit seiner vollen Größe eingeht.
24
Begriff
Histogramm
Wodurch unterscheidet es sich vom Säulendiagramm?
Antwort
Es stellt klassierte Messwerte dar; seine Balken grenzen lückenlos aneinander, weil auch die Klassen lückenlos sind. Beim Säulendiagramm zeigen die Lücken getrennte Merkmalswerte an.
25
Begriff
Quartile
Wie entstehen Q1 und Q3?
Antwort
Q1 ist der Median der unteren, Q3 der Median der oberen Hälfte der Rangliste. Bei ungeradem n wird der Median beim Bilden der Hälften weggelassen.
26
Begriff
Die fünf Punkte
Woraus besteht ein Boxplot?
Antwort
Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum. Antennenenden markieren Minimum und Maximum, die Boxkanten Q1 und Q3, der Strich in der Box den Median.
27
Begriff
Viertel-Regel
Wie verteilen sich die Werte im Boxplot?
Antwort
Jeder der vier Abschnitte — linke Antenne, linke und rechte Boxhälfte, rechte Antenne — enthält rund 25 % der Werte. In der Box stecken die mittleren 50 %.
28
Begriff
Was ein Boxplot nicht zeigt
Wo hört seine Aussagekraft auf?
Antwort
Anzahlen, einzelne Messwerte und die Verteilungsform innerhalb der Box. Eine breite Box bedeutet größere Streuung, nicht mehr Werte.
29
Begriff
Schiefe
Woran erkennt man sie im Boxplot?
Antwort
Der Medianstrich liegt nicht mittig in der Box und die Antennen sind unterschiedlich lang. Ist die rechte Antenne länger, heißt die Verteilung rechtsschief.
30
Begriff
Boxplots vergleichen
In welcher Reihenfolge?
Antwort
Erst die Lage (Medianstrich), dann die Streuung der Mitte (Boxbreite), dann die Gesamtstreuung (Spannweite), zuletzt die Schiefe — und immer auf gemeinsamer Achse.
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