Textaufgaben: Mittelwert aus Klassenmitten

\(m_1 = \dfrac{0 + 2}{2} = 1\); \(m_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\); \(m_3 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5\); \(m_4 = \dfrac{6 + 8}{2} = 7\); \(m_5 = \dfrac{8 + 10}{2} = 9\), jeweils in Kilogramm.

Produkte: \(24 \cdot 1 = 24\); \(36 \cdot 3 = 108\); \(20 \cdot 5 = 100\); \(12 \cdot 7 = 84\); \(8 \cdot 9 = 72\), jeweils in Kilogramm.

Gewichtete Summe: \(24 + 108 + 100 + 84 + 72 = 388\), also 388 kg.

Stichprobenumfang: \(24+36+20+12+8 = 100\). Damit gilt \(\bar{x} \approx \dfrac{388\,\mathrm{kg}}{100} = 3{,}88\,\mathrm{kg}\).

Die Gesamtmasse ist die gewichtete Summe aus b): rund 388 kg. Gleichwertig: \(100 \cdot 3{,}88\,\mathrm{kg} = 388\,\mathrm{kg}\).

Es handelt sich nur um einen Näherungswert, weil in der Rechnung nicht die gemessenen Massen stehen, sondern ihre Vertreter. Jedes der 24 Pakete der ersten Klasse ist mit 1 kg angesetzt worden, obwohl seine Masse irgendwo zwischen 0 kg und 2 kg liegt; entsprechend in allen anderen Klassen. Nur wenn die Massen innerhalb jeder Klasse symmetrisch um die Klassenmitte lägen, würden sich die Abweichungen vollständig ausgleichen. Da die Urliste gelöscht ist, lässt sich der exakte Wert nicht mehr bestimmen; deshalb steht in der Rechnung \(\approx\) und nicht \(=\).

Auszählen: \(0 \le t < 10\): 2; 6; 4; 7; 5; 3; 2; 7, also \(H_1 = 8\). \(10 \le t < 20\): 13; 11; 12; 15; 12; 14, also \(H_2 = 6\). \(20 \le t < 30\): 22; 20; 24; 24, also \(H_3 = 4\). \(30 \le t < 40\): 31; 36, also \(H_4 = 2\). Probe: \(8+6+4+2 = 20 = n\).

Klassenmitten: \(m_1 = 5\); \(m_2 = 15\); \(m_3 = 25\); \(m_4 = 35\) (in Minuten).

Produkte: \(8 \cdot 5 = 40\); \(6 \cdot 15 = 90\); \(4 \cdot 25 = 100\); \(2 \cdot 35 = 70\). Gewichtete Summe \(40+90+100+70 = 300\).

\(\bar{x} \approx \dfrac{300\,\mathrm{min}}{20} = 15{,}0\,\mathrm{min}\).

Summe der Urliste klassenweise: \(2+6+4+7+5+3+2+7 = 36\); \(13+11+12+15+12+14 = 77\); \(22+20+24+24 = 90\); \(31+36 = 67\). Zusammen \(36+77+90+67 = 270\).

\(\bar{x} = \dfrac{270\,\mathrm{min}}{20} = 13{,}5\,\mathrm{min}\).

Vergleich: Der Näherungswert 15,0 min liegt um \(15{,}0 - 13{,}5 = 1{,}5\) Minuten über dem exakten Wert. Das sind bezogen auf 13,5 min rund \(\dfrac{1{,}5}{13{,}5} \approx 11\,\%\) — für einen Monatsbericht keine zu vernachlässigende Abweichung.

In jeder einzelnen Klasse liegen die Messwerte im Mittel unterhalb der Klassenmitte:

\(0 \le t < 10\): tatsächliches Mittel \(\dfrac{36}{8} = 4{,}5\) gegenüber der Klassenmitte 5. \(10 \le t < 20\): \(\dfrac{77}{6} \approx 12{,}83\) gegenüber 15. \(20 \le t < 30\): \(\dfrac{90}{4} = 22{,}5\) gegenüber 25. \(30 \le t < 40\): \(\dfrac{67}{2} = 33{,}5\) gegenüber 35.

Die Wartezeiten häufen sich also innerhalb jeder Klasse am unteren Rand — typisch für Wartezeiten, bei denen kurze Zeiten häufiger sind als lange. Wenn jeder Wert durch eine zu große Zahl ersetzt wird, muss auch die gewichtete Summe zu groß werden: \(300\) statt \(270\). Die Fehler gleichen sich nicht aus, weil sie alle dasselbe Vorzeichen haben. Wären die Werte innerhalb jeder Klasse symmetrisch um die Mitte verteilt, so wäre die Abweichung nahezu null.

Verbesserung: schmalere Klassen wählen, zum Beispiel acht Klassen der Breite 5 min. Dann liegt jeder Messwert höchstens 2,5 min statt höchstens 5 min von seiner Klassenmitte entfernt, und die mögliche Abweichung halbiert sich.

Die Klassenmitte ist \(m = \dfrac{a+b}{2}\) und setzt eine obere Grenze \(b\) voraus. Die Angabe „60 und älter“ nennt nur die untere Grenze 60; nach oben ist die Klasse offen. Ohne eine zusätzliche Festlegung ist die Klassenmitte deshalb unbestimmt.

Annahme 1: Die Randklasse wird so breit angesetzt wie die übrigen Klassen, also \(60 \le a < 70\). Dann ist \(m_5 = \dfrac{60+70}{2} = 65\). Diese Annahme kommt ohne Zusatzwissen aus und behandelt alle Klassen gleich.

Annahme 2: Die Randklasse wird bis zum bekannten Höchstalter ausgedehnt, also \(60 \le a < 90\). Dann ist \(m_5 = \dfrac{60+90}{2} = 75\). Diese Annahme nutzt die Information aus den Anmeldeunterlagen und stellt sicher, dass alle Teilnehmenden tatsächlich in ihrer Klasse liegen.

Jede Annahme muss bei der Veröffentlichung des Ergebnisses ausdrücklich genannt werden.

Beitrag der ersten vier Klassen: \(18 \cdot 25 + 24 \cdot 35 + 30 \cdot 45 + 20 \cdot 55 = 450 + 840 + 1350 + 1100 = 3740\).

Annahme 1 (\(m_5 = 65\)): \(3740 + 8 \cdot 65 = 3740 + 520 = 4260\), also \(\bar{x} \approx \dfrac{4260}{100} = 42{,}6\) Jahre.

Annahme 2 (\(m_5 = 75\)): \(3740 + 8 \cdot 75 = 3740 + 600 = 4340\), also \(\bar{x} \approx \dfrac{4340}{100} = 43{,}4\) Jahre.

Vergleich: Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich um 0,8 Jahre. Obwohl die angenommene Klassenmitte um 10 Jahre auseinanderliegt, wirkt sich das nur schwach aus, denn die Randklasse enthält lediglich 8 der 100 Teilnehmenden. Der Einfluss beträgt \(\dfrac{8}{100} \cdot 10 = 0{,}8\) Jahre.

Zweiter Kurs, Beitrag der ersten vier Klassen: \(18 \cdot 25 + 20 \cdot 35 + 22 \cdot 45 + 10 \cdot 55 = 450 + 700 + 990 + 550 = 2690\).

Annahme 1: \(2690 + 30 \cdot 65 = 2690 + 1950 = 4640\), also \(\bar{x} \approx 46{,}4\) Jahre. Annahme 2: \(2690 + 30 \cdot 75 = 2690 + 2250 = 4940\), also \(\bar{x} \approx 49{,}4\) Jahre.

Beurteilung: Im ersten Kurs unterscheiden sich die Ergebnisse um 0,8 Jahre, im zweiten um 3,0 Jahre — fast das Vierfache. Der Grund ist die Besetzung der Randklasse: Sie trägt mit dem Gewicht \(\dfrac{H_5}{n}\) in den Mittelwert ein, hier also mit 8 % gegenüber 30 %. Allgemein ändert eine Verschiebung der angenommenen Klassenmitte um \(\Delta m\) den Mittelwert um \(\dfrac{H_5}{n} \cdot \Delta m\).

Daraus folgt: Solange die offene Randklasse schwach besetzt ist, ist der Mittelwert gegenüber der Annahme robust und darf mit dem Hinweis auf die getroffene Annahme veröffentlicht werden. Ist sie dagegen stark besetzt, so ist der berechnete Mittelwert im Wesentlichen ein Ergebnis der Annahme und nicht der Daten. Im zweiten Kurs sollte deshalb entweder das Höchstalter erhoben oder statt des Mittelwerts ein Kennwert angegeben werden, der von der offenen Randklasse nicht abhängt.

Feine Einteilung (\(b = 5\,\mathrm{cm}\)): Klassenmitten 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5; 47,5.

Produkte: \(1 \cdot 12{,}5 = 12{,}5\); \(5 \cdot 17{,}5 = 87{,}5\); \(4 \cdot 22{,}5 = 90\); \(12 \cdot 27{,}5 = 330\); \(2 \cdot 32{,}5 = 65\); \(11 \cdot 37{,}5 = 412{,}5\); \(1 \cdot 42{,}5 = 42{,}5\); \(4 \cdot 47{,}5 = 190\).

Gewichtete Summe: \(12{,}5+87{,}5+90+330+65+412{,}5+42{,}5+190 = 1230\), also \(\bar{x} \approx \dfrac{1230\,\mathrm{cm}}{40} = 30{,}75\,\mathrm{cm}\).

Grobe Einteilung (\(b = 10\,\mathrm{cm}\)): Klassenmitten 15; 25; 35; 45.

Produkte: \(6 \cdot 15 = 90\); \(16 \cdot 25 = 400\); \(13 \cdot 35 = 455\); \(5 \cdot 45 = 225\). Gewichtete Summe \(90+400+455+225 = 1170\), also \(\bar{x} \approx \dfrac{1170\,\mathrm{cm}}{40} = 29{,}25\,\mathrm{cm}\).

Exakt: 30,80 cm. Feine Einteilung: 30,75 cm, Abweichung \(-0{,}05\,\mathrm{cm}\). Grobe Einteilung: 29,25 cm, Abweichung \(-1{,}55\,\mathrm{cm}\) — also das Einunddreißigfache.

Ursache: In jeder groben Klasse liegen deutlich mehr Messwerte in der oberen als in der unteren Hälfte. In \(10 \le d < 20\) sind es 1 gegen 5, in \(20 \le d < 30\) 4 gegen 12, in \(30 \le d < 40\) 2 gegen 11 und in \(40 \le d < 50\) 1 gegen 4. Die grobe Klassenmitte liegt damit systematisch zu weit links, und der Näherungswert fällt zu klein aus.

Der Effekt lässt sich sogar beziffern: Jeder Messwert, der von der unteren in die obere Hälfte wechselt, verschiebt die gewichtete Summe um eine halbe grobe Klassenbreite, hier um 5 cm. Der Überschuss der oberen Hälften beträgt \((5-1) + (12-4) + (11-2) + (4-1) = 24\) Messwerte, also \(24 \cdot 2{,}5\,\mathrm{cm} = 60\,\mathrm{cm}\) in der Summe — genau die Differenz \(1230 - 1170\). Geteilt durch \(n = 40\) ergibt das die Differenz der beiden Näherungswerte von 1,5 cm.

Die feine Einteilung trifft den exakten Wert fast genau, weil sie diese Unwucht innerhalb der Klassen sichtbar macht und richtig gewichtet. Die Verteilung ist hier zweigipflig (junger und alter Bestand); gerade solche Verteilungen vertragen breite Klassen schlecht.

Herleitung. Liegt ein Messwert \(x\) in der Klasse \(a \le x < a + b\) mit der Mitte \(m = a + \tfrac{b}{2}\), so gilt \(|x - m| \le \dfrac{b}{2}\); der größtmögliche Abstand wird an den Rändern der Klasse erreicht.

Für die beiden Mittelwerte gilt \(\bar{x}_{\text{klassiert}} - \bar{x}_{\text{exakt}} = \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} (m_{(j)} - x_j)\), wobei \(m_{(j)}\) die Mitte der Klasse ist, in der \(x_j\) liegt. Mit der Dreiecksungleichung folgt

\(\left|\bar{x}_{\text{klassiert}} - \bar{x}_{\text{exakt}}\right| \le \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} \left|m_{(j)} - x_j\right| \le \dfrac{1}{n} \cdot n \cdot \dfrac{b}{2} = \dfrac{b}{2}\).

Kontrolle an den Daten. Feine Einteilung: \(\dfrac{b}{2} = 2{,}5\,\mathrm{cm}\), tatsächliche Abweichung 0,05 cm. Grobe Einteilung: \(\dfrac{b}{2} = 5\,\mathrm{cm}\), tatsächliche Abweichung 1,55 cm. Beide Schranken sind eingehalten.

Beurteilung. Das Verfahren ist brauchbar, aber nur mit Angabe der Klassenbreite. Die Schranke \(\tfrac{b}{2}\) ist eine Garantie, die allein von der Klassenbreite abhängt und ohne Kenntnis der Urliste ausgesprochen werden kann — das ist ihre Stärke. Sie ist allerdings sehr grob: Der ungünstigste Fall tritt nur ein, wenn alle Messwerte am selben Klassenrand liegen. In der Praxis ist die Abweichung meist viel kleiner, wie die feine Einteilung hier zeigt.

Daraus folgen zwei Regeln: Erstens sollte die Klassenbreite so klein gewählt werden, dass \(\tfrac{b}{2}\) gegenüber der geforderten Genauigkeit klein ist — wer den mittleren Durchmesser auf 1 cm genau braucht, darf nicht mit \(b = 10\,\mathrm{cm}\) rechnen. Zweitens darf ein aus Klassenmitten gewonnener Mittelwert nie genauer angegeben werden, als die Klassenbreite es zulässt; die Angabe „29,25 cm“ täuscht eine Genauigkeit vor, die diese Rechnung nicht hergibt.

Beitrag der fünf abgeschlossenen Klassen:

\(120 \cdot 500 = 60\,000\); \(380 \cdot 1500 = 570\,000\); \(620 \cdot 2500 = 1\,550\,000\); \(480 \cdot 3500 = 1\,680\,000\); \(300 \cdot 5000 = 1\,500\,000\).

Summe: \(60\,000 + 570\,000 + 1\,550\,000 + 1\,680\,000 + 1\,500\,000 = 5\,360\,000\) (in €).

Mit \(m_6 = 8000\,\text{€}\) kommen \(100 \cdot 8000 = 800\,000\,\text{€}\) hinzu, also insgesamt \(6\,160\,000\,\text{€}\).

\(\bar{x} \approx \dfrac{6\,160\,000\,\text{€}}{2000} = 3080\,\text{€}\).

Ansatz: \(\dfrac{5\,360\,000 + 100\,m}{2000} = 3130\).

Umformen: \(5\,360\,000 + 100\,m = 2000 \cdot 3130 = 6\,260\,000\), also \(100\,m = 900\,000\) und damit \(m = 9000\).

Die Pressestelle muss die offene Klasse also durch die Klassenmitte 9000 € vertreten haben; das entspricht der Annahme \(6000 \le E < 12\,000\).

Probe: \(\dfrac{5\,360\,000 + 100 \cdot 9000}{2000} = \dfrac{6\,260\,000}{2000} = 3130\) ✓

Scheingenauigkeit. Der Wert wird auf den Cent genau angegeben, obwohl die Einkommen nur in Klassen von 1000 € (die vorletzte sogar 2000 €) Breite erhoben wurden und jeder Einzelwert durch seine Klassenmitte ersetzt worden ist. Schon die Schranke „halbe Klassenbreite“ erlaubt bei \(b = 1000\,\text{€}\) eine Abweichung von bis zu 500 €. Eine Angabe wie „rund 3100 €“ wäre ehrlich; „3 130,00 €“ täuscht eine Genauigkeit vor, die die Daten nicht hergeben.

Verschwiegene Annahme. Der veröffentlichte Wert hängt entscheidend davon ab, wie die offene Klasse angesetzt wird: 3080 € bei 8000 €, 3130 € bei 9000 €, und bei 12 000 € wären es \(\dfrac{5\,360\,000 + 1\,200\,000}{2000} = 3280\,\text{€}\). Allgemein ändern 1000 € mehr in der angenommenen Klassenmitte den Mittelwert um \(\dfrac{100}{2000} \cdot 1000\,\text{€} = 50\,\text{€}\). Wer eine solche Zahl veröffentlicht, muss die Annahme mitteilen — sonst ist das Ergebnis nicht nachprüfbar.

Schiefe Verteilung. Die kumulierten Häufigkeiten lauten 120; 500; 1120; 1600; 1900; 2000. Der Median liegt damit in der Klasse \(2000 \le E < 3000\), also deutlich unterhalb des Mittelwerts. Tatsächlich verdienen \(\dfrac{1120}{2000} = 56\,\%\) der Erwerbstätigen weniger als 3000 € und damit weniger als den veröffentlichten „Durchschnitt“. Bei rechtsschiefen Verteilungen wie Einkommen zieht das obere Ende den Mittelwert nach oben; er beschreibt dann nicht das typische Einkommen.

Schlussfolgerung. Die Aussage „wirtschaftlich sehr gut da“ wird durch die Zahl nicht getragen. Sie beruht auf einem Näherungswert mit unbekannter Annahme, auf einer schiefen Verteilung und auf einem Kennwert, unter dem mehr als die Hälfte der Betroffenen liegt. Ein Vergleichswert — etwa der Landesdurchschnitt — fehlt ohnehin.

Vorschlag. Erstens die vollständige Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten veröffentlichen, damit jede Leserin selbst rechnen kann. Zweitens die Annahme für die offene Klasse ausdrücklich nennen und angeben, wie sich das Ergebnis bei anderen Annahmen ändert. Drittens auf ganze hundert Euro runden und das Ergebnis als Näherungswert kennzeichnen. Viertens zusätzlich die Medianklasse und den Anteil unter 3000 € angeben, weil diese Kennwerte von der offenen Randklasse nicht abhängen und die schiefe Verteilung besser beschreiben. Fünftens einen Vergleichswert nennen, damit die Einordnung überhaupt möglich wird.