Die Klassenmitte
Nach dem Klassieren kennst du nur noch die Anzahl der Werte je Klasse. Deshalb vertritt die Klassenmitte alle Werte ihrer Klasse.
- Klassenmitte:Mittelwert aus unterer Grenze \(a\) und oberer Grenze \(b\).
- Einheit:wie das Merkmal, bei Reaktionszeiten \([m] = \mathrm{s}\).
- Beispiel:\(m_1 = \frac{1{,}00\,\mathrm{s} + 1{,}05\,\mathrm{s}}{2} = 1{,}025\,\mathrm{s}\).
- Gleich breite Klassen:die Klassenmitten liegen im selben Abstand, hier \(0{,}05\,\mathrm{s}\).
Klassenmitte: \(m = \dfrac{a + b}{2}\)
Das gewichtete Mittel
Jede Klassenmitte zählt so oft, wie ihre Klasse Werte enthält. Das nennt man gewichten.
- Beitrag:je Klasse \(H_i \cdot m_i\).
- Summe:alle Beiträge addieren.
- Teilen:durch \(n = H_1 + H_2 + \dots + H_k\).
- Relativ:mit \(h_i = \frac{H_i}{n}\) gilt \(\bar x \approx h_1 m_1 + \dots + h_k m_k\), ohne Teilen.
Mittel aus Klassenmitten: \(\bar{x} \approx \dfrac{H_1 \cdot m_1 + H_2 \cdot m_2 + \ldots + H_k \cdot m_k}{n}\)
Näherung und exakter Wert
Bei den Reaktionszeiten liegt die Urliste noch vor. So kannst du Näherung und exakten Wert vergleichen.
| Klasse (t in s) | Klassenmitte m in s | Häufigkeit H | Produkt H · m in s |
|---|---|---|---|
| 1,00 ≤ t < 1,05 | 1,025 | 2 | 2,05 |
| 1,05 ≤ t < 1,10 | 1,075 | 3 | 3,225 |
| 1,10 ≤ t < 1,15 | 1,125 | 5 | 5,625 |
| 1,15 ≤ t < 1,20 | 1,175 | 6 | 7,05 |
| 1,20 ≤ t < 1,25 | 1,225 | 3 | 3,675 |
| 1,25 ≤ t < 1,30 | 1,275 | 1 | 1,275 |
| Summe | – | 20 | 22,90 |
- Klassenmitten:1,025; 1,075; 1,125; 1,175; 1,225; 1,275 (in s).
- Gewichtete Summe:\(22{,}90\,\mathrm{s}\).
- Näherung:\(\bar x \approx \frac{22{,}90\,\mathrm{s}}{20} = 1{,}145\,\mathrm{s}\).
- Exakt:aus der Urliste \(\bar x = \frac{22{,}80\,\mathrm{s}}{20} = 1{,}14\,\mathrm{s}\).
- Grund:in \(1{,}15 \le t < 1{,}20\) liegen 5 von 6 Werten unter der Mitte 1,175 s.
Auf einer Teststrecke sind die Geschwindigkeiten von 38 Lkw gemessen worden. Die Rohdaten liegen nicht mehr vor – bekannt sind nur fünf Klassen der Breite 20 km/h mit den Klassenmitten 20, 40, 60, 80 und 100 km/h. Im folgenden Applet werden die Häufigkeiten dieser Klassen eingestellt; anschließend lässt sich die Rechnung Schritt für Schritt einblenden: erst die fünf Produkte aus Klassenmitte und Häufigkeit, dann ihre Summe und zuletzt die Division durch den Stichprobenumfang.
Klassenmitten-Rechner
Die Häufigkeiten werden entweder in die Eingabefelder geschrieben oder direkt am Balken eingestellt. Jeder Rechenschritt wird einzeln eingeblendet, sodass sich die gewichtete Summe nachvollziehen lässt. Wird eine Häufigkeit geändert, so beginnt die Rechnung wieder von vorn.
eingestellte HäufigkeitKlassenmitteSchritt bereits eingeblendet
| Klasse (v in km/h) | Klassenmitte m | Häufigkeit H | Produkt H · m |
|---|---|---|---|
| 10 ≤ v < 30 | 20 | 0 | – |
| 30 ≤ v < 50 | 40 | 0 | – |
| 50 ≤ v < 70 | 60 | 0 | – |
| 70 ≤ v < 90 | 80 | 0 | – |
| 90 ≤ v < 110 | 100 | 0 | – |
| Summe | – | 0 | – |
Noch ist kein Rechenschritt eingeblendet. Zuerst werden die Häufigkeiten der fünf Klassen eingestellt.
Bedienung mit der Maus: auf einen Balken klicken und nach oben oder unten ziehen oder eine Zahl in das Eingabefeld schreiben. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → die Klasse wählen, mit ↑ und ↓ ihre Häufigkeit um 1 ändern und mit Enter den nächsten Rechenschritt einblenden.
Mit den tatsächlich gemessenen Häufigkeiten 1, 7, 17, 12 und 1 ergibt sich die gewichtete Summe 2380 km/h und daraus der Mittelwert \(\bar{x} \approx \dfrac{2380}{38}\,\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 62{,}6\,\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\). Auch dieser Wert ist nur ein Näherungswert: Alle 17 Lkw der Klasse von 50 bis 70 km/h werden mit 60 km/h gerechnet, obwohl sie in Wirklichkeit über die ganze Klasse verteilt sind. Wer dieselben Daten in schmalere Klassen einteilt, erhält eine andere gewichtete Summe und damit auch einen anderen Näherungswert.
Allgemeine Hinweise
Nur \(\approx\) schreiben
Du rechnest mit Vertretern, nicht mit Messwerten. Das Ergebnis ist ein Näherungswert.
Mitte richtig bilden
Die Klassenmitte ist der Mittelwert der beiden Grenzen. Halbiere nicht die Klassenbreite.
Schmale Klassen
Je schmaler die Klassen, desto genauer die Näherung. Breite Klassen verschlucken mehr Information.
Videos
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