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Interaktive Übung

Zwanzig Aufgaben zum Klassieren: Spannweite und Klassenbreite berechnen, Klassengrenzen festlegen, nach der Randregel auszählen und Häufigkeitstabellen vervollständigen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungKlassen bilden — Messwerte zu Intervallen zusammenfassen.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben rund um das Klassieren von Messwerten. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: Klassenbreite, Klassengrenzen, absolute und relative Häufigkeiten. Bei jeder Zuordnung entscheidet die Randregel — ein Messwert auf einer Klassengrenze gehört in die Klasse, für die er die untere Grenze ist.

1Urliste erschließenAFB I

Bei einer Erhebung an einer Bushaltestelle wurden die Wartezeiten von 16 Fahrgästen gemessen (Angaben in Minuten):

4,2 · 6,8 · 5,1 · 7,9 · 3,6 · 8,4 · 6,2 · 5,5 · 7,1 · 4,8 · 9,3 · 6,0 · 5,9 · 8,8 · 7,4 · 3,9

Bestimmen Sie Stichprobenumfang, kleinsten und größten Messwert sowie die Spannweite \(R = x_{\max} - x_{\min}\).

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Es sind 16 Werte. Der kleinste ist 3,6 min, der größte 9,3 min. Die Spannweite ist ihre Differenz: 9,3 min − 3,6 min = 5,7 min. Sie sagt, wie breit der Bereich ist, der von den Klassen abgedeckt werden muss.
2Klassenbreite berechnenAFB I

Die Messwerte einer Reihe liegen zwischen 12,4 und 29,6. Als abzudeckender Bereich wird 12,0 bis 30,0 gewählt und in 8 gleich breite Klassen zerlegt.

Berechnen Sie die Klassenbreite \(b\).

Ergebnis als Dezimalzahl eintragen.
Der Bereich ist 30,0 − 12,0 = 18,0 breit. Auf 8 Klassen verteilt: \(b=\dfrac{18{,}0}{8}=2{,}25\). Achtung: Nicht die Spannweite der Messwerte teilen, sondern den Bereich, den die Klassen abdecken sollen.
3Die Randregel anwendenAFB I

Eine Messreihe wird in die Klassen \(20 \le x < 25\), \(25 \le x < 30\) und \(30 \le x < 35\) eingeteilt.

Ordnen Sie jeden Messwert der Klasse zu, in der er gezählt wird.

Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb.
120 ≤ x < 25
225 ≤ x < 30
330 ≤ x < 35
Jede Klasse ist links abgeschlossen und rechts offen. 25,0 und 30,0 liegen genau auf einer Grenze und werden deshalb in der Klasse gezählt, für die sie die untere Grenze sind. So wird kein Wert doppelt gezählt und keiner vergessen.
4Eine Messreihe komplett klassierenAFB II

Beim Sportfest wurden die Weitsprungweiten von 20 Schülerinnen und Schülern gemessen (in cm):

152 · 168 · 147 · 173 · 159 · 161 · 155 · 178 · 149 · 165 · 170 · 158 · 163 · 151 · 166 · 174 · 157 · 160 · 169 · 154

Die Werte sollen in 5 Klassen zusammengefasst werden; der abgedeckte Bereich reicht von 145 cm bis 180 cm. Führen Sie das Klassieren Schritt für Schritt durch.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Kleinster Messwert \(x_{\min}\) in cm?
  2. Größter Messwert \(x_{\max}\) in cm?
  3. Klassenbreite \(b\) in cm bei 5 Klassen von 145 bis 180?
  4. Wie viele Werte liegen in der dritten Klasse \(159 \le x < 166\)?
  5. Summenprobe: Wie viele Werte sind es insgesamt?
Die Klassen sind 145–152, 152–159, 159–166, 166–173 und 173–180 (jeweils links abgeschlossen). Auszählen ergibt \(H_1=3\), \(H_2=5\), \(H_3=5\), \(H_4=4\), \(H_5=3\). In der dritten Klasse liegen 159, 160, 161, 163 und 165 — der Wert 166 gehört schon zur vierten. Die Summe 3+5+5+4+3 = 20 stimmt mit dem Stichprobenumfang überein.
5Klassengrenzen ergänzenAFB I

Ein Bereich von 145 cm bis 180 cm wird in 5 Klassen der Breite \(b = 7\,\mathrm{cm}\) zerlegt.

Tragen Sie die fehlenden Klassengrenzen ein.

Alle Felder ausfüllen, dann auf einmal prüfen.

145  ·   ·   ·   ·   ·  180

Bei 5 Klassen gibt es 6 Grenzen. Von 145 aus wird jeweils die Klassenbreite 7 addiert: 145, 152, 159, 166, 173, 180. Die letzte Grenze muss genau die obere Bereichsgrenze treffen — das ist die beste Kontrolle.
6Fehlersuche beim KlassierenAFB II

Mara klassiert die Urliste 12; 15; 15; 18; 20; 20; 22; 25 (\(n=8\)). Klicken Sie die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Zwei Zeilen sind in Ordnung, zwei nicht.
Die Summenprobe geht hier auf, obwohl die Zuordnung falsch ist. Sie zeigt nur, dass kein Wert vergessen wurde — nicht, dass jeder Wert in der richtigen Klasse steht.
7Häufigkeitstabelle vervollständigenAFB II

25 Messwerte wurden in 5 Klassen zusammengefasst. Ergänzen Sie die relativen Häufigkeiten in Prozent und beide Summen.

Alle Felder ausfüllen, dann prüfen. Prozentwerte ohne das Zeichen %.
KlasseHh in %
0 ≤ x < 43
4 ≤ x < 86
8 ≤ x < 128
12 ≤ x < 165
16 ≤ x < 203
Summe
Jede relative Häufigkeit ist \(h_i=\dfrac{H_i}{n}\) mit \(n=25\): \(\frac{3}{25}=0{,}12=12\,\%\), \(\frac{6}{25}=24\,\%\), \(\frac{8}{25}=32\,\%\), \(\frac{5}{25}=20\,\%\) und wieder \(12\,\%\). Die absoluten Häufigkeiten ergeben zusammen 25, die relativen 100 % — beides sind Proben.
8Relative Häufigkeit als gekürzter BruchAFB II

In einer Klasse liegen 6 der insgesamt 20 Messwerte.

Geben Sie die relative Häufigkeit dieser Klasse als vollständig gekürzten Bruch an.

Zähler und Nenner eintragen — vollständig gekürzt.
\(h=\dfrac{6}{20}\). Zähler und Nenner lassen sich mit 2 kürzen: \(\dfrac{3}{10}\). Als Dezimalzahl 0,30, als Prozentangabe 30 %.
9Was gilt beim Klassieren?AFB II

Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an. Mehrere Antworten sind richtig.

Mehrere Antworten sind richtig.
Bei zu vielen Klassen entsteht wieder die Unübersichtlichkeit der Urliste, bei zu wenigen verschwinden die Unterschiede. Und die Randregel sorgt gerade dafür, dass jeder Wert in genau einer Klasse gezählt wird.
10Wie viele Klassen werden gebraucht?AFB III

Eine Messreihe hat die Spannweite \(R = 47\). Es soll mit der Klassenbreite \(b = 5\) gearbeitet werden.

Bestimmen Sie, wie viele Klassen mindestens nötig sind, damit jeder Messwert in einer Klasse liegt.

Anzahl der Klassen als ganze Zahl.
\(\dfrac{47}{5}=9{,}4\) — neun Klassen decken nur \(9\cdot 5=45\) ab, das reicht nicht. Es wird auf 10 Klassen aufgerundet; sie decken 50 ab, also etwas mehr als die Spannweite. Bei so einer Rechnung wird immer aufgerundet, nie gerundet.
11Stimmt das?AFB II

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du neu.
Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen betreffen die Randregel und das Abzählen der Grenzen — genau dort passieren die meisten Fehler.
12Klassen nach Häufigkeit ordnenAFB II

Vier Klassen einer Messreihe mit \(n = 40\) haben die relativen Häufigkeiten \(h_A = 12{,}5\,\%\), \(h_B = 0{,}30\), \(h_C = \frac{1}{5}\) und \(h_D = 0{,}45\).

Ordnen Sie die Klassen nach ihrer absoluten Häufigkeit — beginnend mit der kleinsten.

Ziehen oder mit den Pfeil-Buttons verschieben.
1Klasse B mit \(h_B = 0{,}30\)
2Klasse D mit \(h_D = 0{,}45\)
3Klasse A mit \(h_A = 12{,}5\,\%\)
4Klasse C mit \(h_C = \tfrac{1}{5}\)
Erst alles in dieselbe Form bringen: \(12{,}5\,\%=0{,}125\) und \(\tfrac15=0{,}20\). Geordnet ergibt das \(0{,}125<0{,}20<0{,}30<0{,}45\), also A, C, B, D. In absoluten Häufigkeiten bei \(n=40\) sind das 5, 8, 12 und 18 Messwerte.
13Klassenzahl und KlassenbreiteAFB II

Der Bereich von 60 bis 120 soll klassiert werden.

Berechnen Sie die Klassenbreite bei 8 Klassen und die Klassenzahl bei der Klassenbreite 5.

Beide Werte eintragen, Enter prüft.
Der Bereich ist 120 − 60 = 60 breit. Bei 8 Klassen: \(b=\frac{60}{8}=7{,}5\). Bei der Breite 5: \(k=\frac{60}{5}=12\) Klassen — das liegt noch knapp im üblichen Rahmen von 6 bis 15.
14Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Vervollständigen Sie den Text mit den passenden Bausteinen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle (Klick auf Baustein, dann auf die Lücke).

Klassieren lohnt sich bei Merkmalen mit sehr vielen verschiedenen Werten. Jede Klasse ist ein mit einer unteren und einer oberen Grenze; ihr Abstand heißt . Fällt ein Messwert genau auf eine Grenze, so wird er in der Klasse gezählt, für die er die Grenze ist. Am Ende müssen alle absoluten Häufigkeiten zusammen den ergeben.

Die fünf Lücken beschreiben genau den Ablauf: Merkmalstyp prüfen, Klassen festlegen, Breite bestimmen, Randregel anwenden, Probe machen.
15Begriff und BedeutungAFB I

Verbinden Sie jeden Begriff mit der passenden Beschreibung.

Links einen Begriff wählen, dann rechts die passende Beschreibung anklicken.
Spannweite und Klassenbreite werden oft verwechselt: Die Spannweite gehört zur ganzen Messreihe, die Klassenbreite zu einer einzelnen Klasse.
16Jeder Wert in genau eine KlasseAFB II

Die Klassen lauten \(10 \le x < 15\), \(15 \le x < 20\) und \(20 \le x < 25\).

Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz in die Spalte der Klasse, in der der Messwert gezählt wird.

In jeder Zeile genau ein Kreuz.
10 ≤ x < 1515 ≤ x < 2020 ≤ x < 25
14,0
15,0
19,9
20,0
14,0 liegt eindeutig in der ersten Klasse, 19,9 noch in der zweiten. Die beiden Grenzwerte 15,0 und 20,0 wandern jeweils eine Klasse nach rechts — sie sind dort die untere Grenze.
17Eine Klasse als IntervallAFB I

Die dritte Klasse einer Einteilung lautet \(3 \le x < 6\).

Stellen Sie diese Klasse als Intervall auf der Zahlengeraden dar.

Griffe auf die Grenzen ziehen; ein Klick auf einen Griff dreht seine Klammer um.
a: b:
Links ist die Grenze eingeschlossen, rechts nicht: \([3\,;\,6[\). Genau diese Schreibweise steckt hinter der Randregel — die rechte Grenze gehört bereits zur nächsten Klasse.
18Anteil in ProzentAFB II

Von 40 Messwerten liegen 7 in der obersten Klasse.

Berechnen Sie die relative Häufigkeit dieser Klasse in Prozent.

Nur die Zahl eintragen, ohne das Prozentzeichen.
\(h=\dfrac{7}{40}=0{,}175=17{,}5\,\%\). Ein häufiger Fehler ist, den Bruch \(\frac{7}{40}\) als 7,4 % zu lesen — erst dividieren, dann mit 100 multiplizieren.
19Die richtige Einteilung wählenAFB II

Eine Messreihe mit 60 Werten liegt zwischen 2,3 und 9,8. Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag.

Öffne jedes Menü und wähle den Eintrag, der die Einteilung sinnvoll macht.

Ein sinnvoller abzudeckender Bereich ist .

Bei 8 Klassen beträgt die Klassenbreite dann .

Die Anzahl der Klassengrenzen ist .

Runde Bereichsgrenzen machen die Achse lesbar: 2,0 bis 10,0 umfasst alle Messwerte und ist 8,0 breit; bei 8 Klassen ergibt das \(b = 1{,}0\). Zu k Klassen gehören stets \(k+1\) Grenzen, hier also 9.
20Klassieren — ja oder nein?AFB III

Eine Erhebung liefert 200 Messwerte einer Körpergröße in cm, davon 84 zahlenmäßig verschieden. Spielen Sie die Entscheidung Schritt für Schritt durch.

Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Die Kette ist der komplette Entscheidungsweg: Merkmalstyp prüfen, Notwendigkeit erkennen, Bereich runden, Klassenzahl und Klassenbreite aufeinander abstimmen.
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