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Klassen bilden

Bei sehr vielen zahlenmäßig verschiedenen Messwerten werden benachbarte Werte zu Klassen zusammengefasst. Eine Klasse ist ein Intervall mit einer unteren und einer oberen Grenze; üblich sind 6 bis 15 Klassen.

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Warum Klassen?

Hat eine Messreihe sehr viele verschiedene Werte, wird eine Strichliste über die Einzelwerte unübersichtlich. Dann fasst du benachbarte Werte zu Klassen zusammen.

1,02 s; 1,15 s; 1,10 s; 1,26 s; 1,19 s; 1,11 s; 1,06 s; 1,13 s; 1,15 s; 1,18 s; 1,22 s; 1,04 s; 1,11 s; 1,16 s; 1,17 s; 1,24 s; 1,07 s; 1,21 s; 1,09 s; 1,14 s

  • Beispiel:20 Reaktionszeiten \(t\) mit \([t]=\mathrm{s}\); 18 davon sind verschieden.
  • Klasse:Intervall, das mehrere benachbarte Merkmalswerte zusammenfasst.
  • Sinnvoll:bei quantitativen Merkmalen mit sehr vielen verschiedenen Werten.
  • Preis:die Einzelwerte lassen sich danach nicht mehr ablesen.
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Grenzen und Klassenbreite

Jede Klasse ist ein Intervall mit einer unteren und einer oberen Grenze. Eine feste Randregel sorgt dafür, dass jeder Wert in genau eine Klasse fällt.

  • Klassenbreite \(b\):Abstand der beiden Grenzen, gleiche Einheit wie die Messwerte.
  • Randregel:untere Grenze \(\le t <\) obere Grenze.
  • Wert auf der Grenze:zählt zu der Klasse, deren untere Grenze er ist: \(1{,}15\,\mathrm{s}\) gehört zu \(1{,}15 \le t < 1{,}20\).
  • Anzahl:üblich sind 6 bis 15 Klassen.
Merke

Klasse: untere Grenze \(\le t <\) obere Grenze,  \(b = \text{obere Grenze} - \text{untere Grenze}\)

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Die Reaktionszeiten klassieren

Die Werte liegen zwischen 1,02 s und 1,26 s. Du teilst den Bereich von 1,00 s bis 1,30 s in 6 gleich breite Klassen.

  • Bereich:\(1{,}30\,\mathrm{s} - 1{,}00\,\mathrm{s} = 0{,}30\,\mathrm{s}\).
  • Breite:\(b = 0{,}30\,\mathrm{s} : 6 = 0{,}05\,\mathrm{s}\).
  • Auszählen:die Strichliste liefert \(H = 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 3,\ 1\).
  • Probe:\(2+3+5+6+3+1 = 20 = n\).
  • Anteil:\(h = \frac{H}{n}\), z. B. \(h_4 = \frac{6}{20} = 30\,\%\).
Häufigkeitstabelle der 20 Reaktionszeiten bei 6 Klassen der Klassenbreite 0,05 s
Reaktionszeit t in sStrichlisteabsolute Häufigkeit Hrelative Häufigkeit h
1,00 ≤ t < 1,05||210 %
1,05 ≤ t < 1,10|||315 %
1,10 ≤ t < 1,15||||525 %
1,15 ≤ t < 1,20|||||630 %
1,20 ≤ t < 1,25|||315 %
1,25 ≤ t < 1,30|15 %
Summe20100 %
Die Urliste und die sechs Klassen auf dem Zahlenstrahl
Urliste und Klasseneinteilung, Klassenbreite b = 0,05 s1,00 ≤ t < 1,05H₁ = 21,05 ≤ t < 1,10H₂ = 31,10 ≤ t < 1,15H₃ = 51,15 ≤ t < 1,20H₄ = 61,20 ≤ t < 1,25H₅ = 31,25 ≤ t < 1,30H₆ = 11,001,051,101,151,201,251,30Reaktionszeit t in sJeder Punkt ist ein Messwert; gleiche Messwerte sind übereinander gestapelt.
Jeder der 20 Messwerte liegt in genau einer der sechs Klassen. Die meisten Messwerte, nämlich 6, liegen in der Klasse \(1{,}15 \le t < 1{,}20\).
Merke

Relative Häufigkeit: \(h_i = \dfrac{H_i}{n}\),  alle \(h_i\) zusammen ergeben \(100\,\%\)

Im vorgerechneten Beispiel war die Klassenzahl 6 vorgegeben. Wie stark diese Wahl das Bild der Messreihe verändert, zeigt das folgende Applet: Es enthält dieselben 20 Reaktionszeiten, teilt den Bereich von 1,00 s bis 1,30 s aber in 3 bis 12 gleich breite Klassen. Klassengrenzen, Strichliste sowie absolute und relative Häufigkeiten werden nach jeder Änderung neu bestimmt.

Klassenbreiten-Regler

Der Bereich von 1,00 s bis 1,30 s wird in gleich breite Klassen zerlegt. Die Randregel untere Grenze \(\le t <\) obere Grenze ist eingebaut. Es gilt \([t] = \mathrm{s}\) und \([b] = \mathrm{s}\).

Anzahl der Klassen
6
Klassenbreite b in s
0,05
Stichprobenumfang n
20

KlassensäuleKlasse mit den meisten Messwerteneinzelner Messwert

Bei 6 Klassen beträgt die Klassenbreite 0,05 s.

Häufigkeitstabelle zur eingestellten Klasseneinteilung
Reaktionszeit t in sStrichlisteabsolute Häufigkeit Hrelative Häufigkeit h

Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → die Anzahl der Klassen um eins verringern oder erhöhen, mit Enter auf 6 Klassen zurücksetzen. Alle Schaltflächen sind ebenfalls mit Tab und Enter erreichbar; jede Änderung wird vorgelesen.

Bei 6 Klassen entsteht genau die Tabelle aus dem vorgerechneten Beispiel. Wird die Klassenzahl auf 3 gesenkt, so bleiben nur noch drei breite Klassen übrig; alle 20 Messwerte verteilen sich auf so wenige Säulen, dass der Unterschied zwischen schnellen und langsamen Reaktionszeiten kaum noch zu erkennen ist. Bei 12 Klassen ist die Klassenbreite auf 0,025 s geschrumpft, viele Klassen enthalten nur noch einen einzigen Messwert oder bleiben leer – das Bild nähert sich wieder der unübersichtlichen Urliste. Zwischen beiden Extremen liegt der Bereich, den die Faustregel von 6 bis 15 Klassen beschreibt.

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Allgemeine Hinweise

Grenzwerte zuordnen

Ein Wert auf einer Grenze gehört zur Klasse, die dort beginnt. Er zählt nie in zwei Klassen.

Klassenzahl bedenken

Bei zu wenigen Klassen verschwinden die Unterschiede. Bei zu vielen wird es wieder unübersichtlich.

Summenprobe

Die absoluten Häufigkeiten ergeben zusammen \(n\). Die relativen ergeben zusammen \(100\,\%\).

Zum Weiterschauen

Videos

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