Textaufgaben: Klassen bilden

Es sind \(n = 25\) Messwerte. Der kleinste beträgt \(m_{\min} = 126\,\mathrm{g}\) (Kiste 1), der größte \(m_{\max} = 205\,\mathrm{g}\) (Kiste 2).

Die Spannweite ist \(R = 205\,\mathrm{g} - 126\,\mathrm{g} = 79\,\mathrm{g}\). Der gewählte Bereich von 120 g bis 210 g ist 90 g breit und umschließt damit alle Messwerte.

\(b = \dfrac{210\,\mathrm{g} - 120\,\mathrm{g}}{6} = \dfrac{90\,\mathrm{g}}{6} = 15\,\mathrm{g}\).

Die sieben Klassengrenzen lauten 120; 135; 150; 165; 180; 195 und 210 (jeweils in Gramm). Daraus ergeben sich die sechs Klassen \(120 \le m < 135\), \(135 \le m < 150\), \(150 \le m < 165\), \(165 \le m < 180\), \(180 \le m < 195\) und \(195 \le m < 210\).

Auszählen ergibt \(H_1 = 2\) (126; 134), \(H_2 = 5\) (137; 141; 144; 148; 149), \(H_3 = 6\) (152; 153; 155; 158; 159; 163), \(H_4 = 6\) (165; 166; 169; 171; 175; 178), \(H_5 = 4\) (181; 182; 187; 193) und \(H_6 = 2\) (196; 205).

Der Messwert 165 g liegt genau auf einer Klassengrenze und wird nach der Randregel in der vierten Klasse gezählt, denn dort ist er die untere Grenze.

Die relativen Häufigkeiten sind \(h_1 = \dfrac{2}{25} = 8\,\%\), \(h_2 = \dfrac{5}{25} = 20\,\%\), \(h_3 = \dfrac{6}{25} = 24\,\%\), \(h_4 = 24\,\%\), \(h_5 = \dfrac{4}{25} = 16\,\%\) und \(h_6 = 8\,\%\).

Erste Probe: \(2+5+6+6+4+2 = 25 = n\). Zweite Probe: \(8+20+24+24+16+8 = 100\), also 100 %. Beide Proben gehen auf.

Einteilung A: \(\dfrac{2}{40} = 5\,\%\); \(\dfrac{10}{40} = 25\,\%\); \(\dfrac{6}{40} = 15\,\%\); \(\dfrac{4}{40} = 10\,\%\); \(\dfrac{12}{40} = 30\,\%\); \(\dfrac{6}{40} = 15\,\%\).

Einteilung B: \(\dfrac{12}{40} = 30\,\%\); \(\dfrac{10}{40} = 25\,\%\); \(\dfrac{18}{40} = 45\,\%\).

Summenprobe A: \(5+25+15+10+30+15 = 100\), also 100 %; die absoluten Häufigkeiten ergeben \(2+10+6+4+12+6 = 40 = n\). Summenprobe B: \(30+25+45 = 100\), also 100 %, und \(12+10+18 = 40 = n\). Beide Tabellen beschreiben tatsächlich dieselbe Messreihe: \(2+10 = 12\), \(6+4 = 10\) und \(12+6 = 18\).

Gemeinsam ist beiden Einteilungen, dass sie lückenlos und überschneidungsfrei denselben Bereich von 10 min bis 70 min abdecken und beide auf \(n = 40\) führen.

Einteilung A zeigt zwei deutliche Häufungen: 25 % der Ladevorgänge dauern 20 bis 30 Minuten, weitere 30 % dauern 50 bis 60 Minuten. Dazwischen liegt mit 15 % und 10 % eine schwächer besetzte Zone von 30 bis 50 Minuten. Die Verteilung ist also zweigipflig.

Einteilung B verschmilzt jeweils zwei Klassen der Einteilung A. Dadurch verschwindet die Delle: Die drei Anteile 30 %, 25 % und 45 % legen ein einfaches Bild nahe, nach dem die langen Ladevorgänge überwiegen. Die Information, dass sich die 18 Vorgänge der letzten Klasse fast alle im unteren Teil (50 bis 60 min) ballen, ist verloren. Einteilung B ist übersichtlicher, Einteilung A informativer.

Der Betreiber sollte Einteilung A verwenden.

Begründung: Zwei typische Arten von Ladevorgängen zeigen sich als zwei Häufungen mit einer schwach besetzten Zone dazwischen. Genau das ist in Einteilung A zu erkennen — ein Gipfel bei 20 bis 30 Minuten (kurzes Nachladen während einer Pause) und ein zweiter bei 50 bis 60 Minuten (Laden bis zu hohem Ladestand), getrennt durch den Bereich 30 bis 50 Minuten mit zusammen nur \(15\,\% + 10\,\% = 25\,\%\).

Einteilung B kann diese Struktur grundsätzlich nicht zeigen: Ihre Klassen sind so breit, dass jeder Gipfel mit einem Teil der Delle in eine gemeinsame Klasse fällt. Wer nur Einteilung B sieht, kommt zu einer anderen Aussage über dieselben Daten. Bei 40 Messwerten sind 6 Klassen zudem der untere Rand der Faustregel von 6 bis 15 Klassen; 3 Klassen liegen deutlich darunter.

Unter 30 \(\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\) liegen die ersten drei Klassen: \(4 + 11 + 15 = 30\) Tage.

Der Anteil beträgt \(\dfrac{30}{50} = 0{,}6 = 60\,\%\). An 60 % der Messtage lag der Tagesmittelwert unter 30 \(\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).

Der kleinste Messwert liegt in der Klasse \(0 \le c < 10\), also \(0 \le c_{\min} < 10\). Der größte liegt in der Klasse \(50 \le c < 60\), also \(50 \le c_{\max} < 60\).

Am kleinsten wird \(R = c_{\max} - c_{\min}\), wenn \(c_{\max}\) möglichst klein und \(c_{\min}\) möglichst groß ist: \(R > 50 - 10 = 40\). Am größten wird \(R\), wenn \(c_{\max}\) möglichst groß und \(c_{\min}\) möglichst klein ist: \(R < 60 - 0 = 60\).

Es gilt also \(40 < R < 60\), gemessen in \(\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\). Ein genauerer Wert ist nicht möglich: Die Klassierung hat die Einzelwerte durch ihre Klassenzugehörigkeit ersetzt, und dieser Informationsverlust lässt sich nicht rückgängig machen. Die Tabelle liefert nur noch ein Intervall, in dem die Spannweite liegen muss.

Nein, die Anzahl der Überschreitungstage lässt sich aus M1 nicht bestimmen; sie lässt sich nur eingrenzen.

Die letzte Klasse ist nach der Randregel \(50 \le c < 60\) gebildet und enthält damit auch Tage mit genau \(c = 50\). Solche Tage sind aber keine Überschreitung, denn dafür müsste \(c > 50\) gelten. Aus \(H_6 = 2\) folgt deshalb nur: Es gab höchstens 2 und mindestens 0 Überschreitungstage.

Der Fall ist typisch: Eine Klassengrenze fällt genau mit einem rechtlich bedeutsamen Schwellenwert zusammen, und die Randregel „links abgeschlossen, rechts offen“ ordnet den Schwellenwert selbst der oberen Klasse zu. Wer die Tabelle veröffentlicht, sollte deshalb entweder die Zahl der Tage mit \(c > 50\) zusätzlich nennen oder die Klassengrenze so legen, dass sie nicht auf den Grenzwert fällt. Die Klassierung ist hier zwar formal korrekt, für die eigentliche Fragestellung aber unbrauchbar.

Die Einteilung hat vier Mängel:

1. Überschneidung: Die dritte Klasse \(4 \le t < 6\) und die vierte Klasse \(5 \le t < 8\) überlappen sich im Bereich \(5 \le t < 6\). Messwerte dort fallen in zwei Klassen.

2. Lücke: Die vierte Klasse endet bei 8, die fünfte beginnt erst bei 9. Für Messwerte mit \(8 \le t < 9\) ist gar keine Klasse vorgesehen.

3. Ungleiche Klassenbreiten: Die Breiten sind 2, 2, 2, 3 und 3 Stunden. Die Häufigkeiten der Klassen sind dadurch nicht mehr unmittelbar vergleichbar — eine breitere Klasse sammelt schon deshalb mehr Werte ein, weil sie mehr Werte fassen kann.

4. Fehlende Probe: Die Summe 32 stimmt nicht mit dem Stichprobenumfang \(n = 30\) überein. Das ist kein Zählfehler, sondern die Folge der Mängel 1 und 2.

Vier Messwerte liegen im überlappenden Bereich \(5 \le t < 6\): 5,0; 5,2; 5,5 und 5,8. Jeder von ihnen erfüllt sowohl \(4 \le t < 6\) als auch \(5 \le t < 8\) und wird deshalb doppelt gezählt: das sind \(+4\).

Zwei Messwerte liegen in der Lücke \(8 \le t < 9\): 8,3 und 8,7. Sie erfüllen keine der fünf Bedingungen und fallen ganz heraus: das sind \(-2\).

Zusammen: \(30 + 4 - 2 = 32\). Die Summe des Praktikanten ist damit vollständig erklärt; sein Auszählen war korrekt, seine Klasseneinteilung nicht.

Vorschlag: Der Bereich von 0 h bis 12 h wird in 6 gleich breite Klassen der Breite \(b = \dfrac{12\,\mathrm{h}}{6} = 2\,\mathrm{h}\) zerlegt, jeweils nach der Randregel \(\text{untere Grenze} \le t < \text{obere Grenze}\).

Auszählen ergibt: \(0 \le t < 2\): 3 (0,8; 1,2; 1,5); \(2 \le t < 4\): 6 (2,2; 2,5; 2,8; 3,0; 3,5; 3,8); \(4 \le t < 6\): 7 (4,0; 4,5; 4,8; 5,0; 5,2; 5,5; 5,8); \(6 \le t < 8\): 6 (6,2; 6,5; 6,8; 7,0; 7,5; 7,8); \(8 \le t < 10\): 5 (8,3; 8,7; 9,2; 9,5; 9,8); \(10 \le t < 12\): 3 (10,0; 10,8; 11,5).

Probe: \(3+6+7+6+5+3 = 30 = n\). Jetzt geht die Summe auf.

Begründung der Wahl: Die Klassen grenzen lückenlos aneinander und überschneiden sich nicht, weil jede obere Grenze zugleich die untere Grenze der nächsten Klasse ist. Sie sind alle gleich breit, sodass die Häufigkeiten direkt vergleichbar sind. Mit 6 Klassen wird die Faustregel von 6 bis 15 Klassen eingehalten; bei nur 30 Messwerten wären deutlich mehr Klassen nicht sinnvoll, weil dann viele Klassen leer blieben.

\(55 \le P < 65\): 55; 55; 58; 60; 60; 63; 63; 63; 64; 64; 64 — das sind 11 Werte. Die beiden 55 werden nach der Randregel hier gezählt, weil 55 die untere Grenze dieser Klasse ist.

\(65 \le P < 75\): 69; 71; 73 — das sind 3 Werte.

\(75 \le P < 85\): 75; 76; 77; 77; 77; 81; 82; 83; 84 — das sind 9 Werte.

Zur Kontrolle: Die übrigen Klassen der Einteilung B enthalten \(35 \le P < 45\): 1; \(45 \le P < 55\): 8; \(85 \le P < 95\): 5; \(95 \le P < 105\): 3. Zusammen \(1+8+11+3+9+5+3 = 40 = n\).

Gemeinsam ist beiden Einteilungen die Klassenbreite \(b = 10\); beide sind lückenlos, überschneidungsfrei und führen auf \(n = 40\). Unterschiedlich ist allein der Startpunkt: 40 statt 35 Punkte, also eine Verschiebung des gesamten Klassenrasters um 5 Punkte.

Einteilung A liefert die Häufigkeiten 6; 6; 9; 7; 7; 5 — eine ruhige Folge ohne auffällige Delle. Einteilung B liefert 1; 8; 11; 3; 9; 5; 3 — mit einem Einbruch auf 3 in der Klasse \(65 \le P < 75\) zwischen den beiden Gipfeln 11 und 9.

Die Ursache liegt in der Verteilung der Einzelwerte: Zwischen 60 und 64 liegen acht Werte dicht beieinander (60; 60; 63; 63; 63; 64; 64; 64), dann folgt bis 75 nur noch 69, 71 und 73. Einteilung A legt eine Klassengrenze genau bei 70 und zerschneidet diese dünne Zone, sodass ihre beiden Hälften jeweils an eine dicht besetzte Nachbarzone angehängt werden. Einteilung B legt die dünne Zone dagegen vollständig in eine einzige Klasse und macht sie dadurch sichtbar. Nicht die Daten haben sich geändert, sondern die Lage der Schnitte.

Die Behauptung ist teils berechtigt, teils zu weitgehend.

Berechtigt ist der Ausgangspunkt: Zwischen 65 und 75 Punkten liegen tatsächlich nur 3 der 40 Punktzahlen, also 7,5 %, während die Nachbarbereiche mit 11 bzw. 9 Werten deutlich dichter besetzt sind. Dieser Befund lässt sich unmittelbar an der Urliste prüfen und ist kein Artefakt der Klassierung. Die Einteilung A macht ihn nur unsichtbar, weil sie ausgerechnet bei 70 schneidet.

Zu weitgehend ist die Schlussfolgerung. Erstens hängt das Bild sichtbar von einer willkürlichen Entscheidung ab — dem Startpunkt des Klassenrasters. Wer aus einer einzigen Einteilung eine Aussage über die Struktur eines Jahrgangs ableitet, läuft Gefahr, eine Eigenschaft der Darstellung für eine Eigenschaft der Daten zu halten. Zweitens ist \(n = 40\) klein: Der Unterschied zwischen 3 und 9 Werten in benachbarten Klassen kann auch durch Zufall entstehen. Drittens sagt eine Delle in der Punkteverteilung noch nichts über „Leistungsgruppen“ aus, denn dazu gehörte eine inhaltliche Erklärung.

Angemessen wäre: Die Schülerzeitung sollte mehrere Klasseneinteilungen mit verschiedenen Breiten und Startpunkten zeigen, dazu die Urliste veröffentlichen und den Befund vorsichtig als Hinweis formulieren — etwa „Im Bereich von 65 bis 75 Punkten liegen auffallend wenige Ergebnisse“ — statt daraus zwei Gruppen zu konstruieren.