Das Histogramm: Übungen – Mathe Klasse 11

1Das Histogramm aufbauenAFB I

Bei einer Messreihe mit \(n = 20\) Werten wurden fünf Klassen der Breite 4 gebildet. Die absoluten Häufigkeiten stehen in der Tabelle.

Klasse	0 ≤ x < 4	4 ≤ x < 8	8 ≤ x < 12	12 ≤ x < 16	16 ≤ x < 20
H	3	5	6	4	2

Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten in Prozent und stellen Sie die fünf Balken auf die passenden Höhen.

Balken mit der Maus ziehen oder nach Tab mit ↑/↓ in 5er-Schritten einstellen.

\(h_1=\frac{3}{20}=15\,\%\), \(h_2=\frac{5}{20}=25\,\%\), \(h_3=\frac{6}{20}=30\,\%\), \(h_4=\frac{4}{20}=20\,\%\), \(h_5=\frac{2}{20}=10\,\%\). Zusammen 100 % — das ist die Kontrolle. Die Balken grenzen ohne Lücke aneinander, weil auch die Klassen lückenlos aneinandergrenzen.

2Balkenhöhe berechnenAFB I

Eine Klasse enthält 9 der insgesamt 40 Messwerte.

Berechnen Sie, wie hoch ihr Balken im Histogramm ist, wenn senkrecht der Anteil in Prozent abgetragen wird.

Nur die Zahl eintragen, ohne Prozentzeichen.

\(h=\dfrac{9}{40}=0{,}225=22{,}5\,\%\). Die Balkenhöhe ist immer die relative Häufigkeit — die absolute Häufigkeit 9 wäre nur dann die Höhe, wenn senkrecht \(H\) abgetragen würde.

3Histogramm oder Säulendiagramm?AFB I

Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz: Welches Diagramm passt zu welcher Erhebung?

In jeder Zeile genau ein Kreuz.

	Histogramm	Säulendiagramm
Reaktionszeiten in Klassen von 0,05 s
Anzahl der Geschwister je Kind (0, 1, 2, 3, …)
Körpergrößen in Klassen von 5 cm
Augenzahl beim Würfeln (1 bis 6)
Monatsmieten in Klassen von 100 €

Entscheidend ist, was auf der waagerechten Achse steht. Lückenlos aneinandergrenzende Klassen ergeben ein Histogramm ohne Lücken zwischen den Balken; einzelne abzählbare Merkmalswerte ergeben ein Säulendiagramm mit Zwischenräumen.

4Vom Histogramm zurück zur TabelleAFB II

Das Histogramm einer Messreihe zeigt für die vier Klassen die Anteile 20 %, 35 %, 30 % und 15 %. In der zweiten Klasse liegen 14 Messwerte.

Rechnen Sie Schritt für Schritt zurück auf die absoluten Häufigkeiten.

Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt. Enter prüft.

Welchen Anteil hat die zweite Klasse als Dezimalzahl?
Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?
Wie viele Messwerte liegen in der ersten Klasse?
Wie viele Messwerte liegen in der vierten Klasse?
Probe: Wie viele Messwerte sind es in allen vier Klassen zusammen?

\(35\,\%=0{,}35\). Aus \(H_2=h_2\cdot n\) folgt \(n=\dfrac{14}{0{,}35}=40\). Damit ist \(H_1=0{,}20\cdot 40=8\), \(H_3=0{,}30\cdot 40=12\) und \(H_4=0{,}15\cdot 40=6\). Die Summe \(8+14+12+6=40\) bestätigt das Ergebnis.

5Häufigkeitstabelle vervollständigenAFB II

40 Autos wurden auf einer Landstraße gemessen. Ergänzen Sie die fehlenden Einträge der Häufigkeitstabelle.

Alle Felder ausfüllen, dann prüfen. Prozentangaben ohne das Zeichen %.

Geschwindigkeit v in km/h	H	h in %
70 ≤ v < 80	5
80 ≤ v < 90	11
90 ≤ v < 100		40
100 ≤ v < 110	6
110 ≤ v < 120		5
Summe

Bekannte Anteile werden mit \(n=40\) in absolute Häufigkeiten zurückgerechnet: \(0{,}40\cdot 40=16\) und \(0{,}05\cdot 40=2\). Umgekehrt gilt \(\frac{5}{40}=12{,}5\,\%\), \(\frac{11}{40}=27{,}5\,\%\) und \(\frac{6}{40}=15\,\%\). Beide Summenproben gehen auf.

6Fehler im HistogrammAFB II

Jan beschreibt, wie er das Histogramm zu den Klassen \(0\le x<4\), \(4\le x<8\), \(8\le x<12\) mit \(H = 3;\ 5;\ 2\) und \(n = 10\) zeichnet. Klicken Sie die fehlerhaften Zeilen an.

Zwei der vier Zeilen enthalten einen Fehler.

Die beiden Fehler sind typisch: die Höhe verwechseln (H statt h) und Lücken lassen, wo keine hingehören. Zur Kontrolle: 30 % + 50 % + 20 % = 100 %.

7Balken im Histogramm findenAFB I

Das Histogramm zeigt fünf Klassen der Breite 5 einer Messreihe mit \(n = 20\).

Klicken Sie zu jeder Frage den passenden Balken an.

Vier Fragen nacheinander — Balken anklicken oder mit Tab und Enter wählen.

Bei \(n=20\) entspricht 5 % genau einem Messwert. Der Balken B mit 25 % steht also für 5 Werte, der höchste Balken C mit 35 % für 7 Werte. Der Wert 12,4 liegt in der Klasse \(10\le x<15\) — das ist der dritte Balken.

8Von der Höhe zur AnzahlAFB II

Ein Histogramm einer Messreihe mit \(n = 200\) zeigt für zwei Klassen die Balkenhöhen 17,5 % und 6 %.

Berechnen Sie die zugehörigen absoluten Häufigkeiten.

Beide Werte eintragen, Enter prüft.

H bei 17,5 %:H bei 6 %:

\(H=h\cdot n\), also \(0{,}175\cdot 200=35\) und \(0{,}06\cdot 200=12\). Bei \(n=200\) steht 0,5 % für genau einen Messwert — deshalb kommen hier ganze Zahlen heraus.

9Stimmt das?AFB II

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Ein Fehler — und die Serie startet neu.

Aussage 1 von 5

Die dritte und vierte Aussage sind die klassischen Stolpersteine: keine Lücken — und keine Einzelwerte mehr.

10Vom Rohmaterial zum HistogrammAFB II

Zwanzig Schülerinnen und Schüler haben notiert, wie viele Stunden sie in einer Woche Sport getrieben haben:

2,4 · 5,1 · 3,8 · 7,2 · 6,5 · 4,4 · 8,9 · 5,6 · 3,1 · 6,8 · 4,9 · 7,7 · 2,9 · 5,9 · 6,1 · 9,4 · 4,2 · 8,1 · 5,3 · 3,6

Klassieren Sie die Werte in vier Klassen der Breite 2 von 2 bis 10 und zeichnen Sie das Histogramm der relativen Häufigkeiten.

Erst auszählen, dann rechnen, dann die vier Balken einstellen (Maus ziehen oder Pfeiltasten).

Auszählen ergibt \(H_1=5\), \(H_2=7\), \(H_3=5\) und \(H_4=3\) — zusammen 20. Geteilt durch \(n=20\) und mal 100: 25 %, 35 %, 25 %, 15 %. Die Summenprobe ergibt 100 %.

11Achsen und Balken beschriftenAFB II

Ein Histogramm zeigt Monatsmieten in Klassen der Breite 150 €, beginnend bei 450 €. Insgesamt gibt es 6 Klassen und \(n = 250\) Wohnungen; in der dritten Klasse liegen 60 Wohnungen.

Ergänzen Sie die fehlenden Zahlen.

Alle Felder ausfüllen, dann auf einmal prüfen.

Die waagerechte Achse reicht von 450 € bis €. Die dritte Klasse beginnt bei € und endet bei €.

Ihr Balken ist % hoch, und alle 6 Balken zusammen sind % hoch.

Bei 6 Klassen der Breite 150 € reicht die Achse von 450 € bis \(450+6\cdot 150=1350\) €. Die dritte Klasse ist \(750 \le x < 900\). Ihre Höhe ist \(\frac{60}{250}=0{,}24=24\,\%\). Und die Summe aller Anteile ist immer 100 %.

12Was lässt sich aus dem Histogramm ablesen?AFB II

Ein Histogramm zeigt die Klassen \(0\le x<10\), \(10\le x<20\), \(20\le x<30\) und \(30\le x<40\) mit den Anteilen 10 %, 45 %, 30 % und 15 % bei \(n = 60\).

Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig.

\(0{,}45\cdot 60=27\) und \(0{,}30\cdot 60=18\). Unter 20 liegen \(10\,\%+45\,\%=55\,\%\), also mehr als die Hälfte. In der letzten Klasse sind es \(0{,}15\cdot 60=9\) Werte, nicht 6. Und über den größten Einzelwert sagt das Histogramm nichts — nur, dass er unter 40 liegt.

13Balken nach Höhe ordnenAFB I

Vier Klassen einer Messreihe mit \(n = 80\) enthalten 18, 6, 24 und 12 Messwerte.

Ordnen Sie die zugehörigen Balken vom niedrigsten zum höchsten.

Ziehen oder mit den Pfeil-Buttons verschieben.

1Klasse mit \(H = 18\)

2Klasse mit \(H = 24\)

3Klasse mit \(H = 6\)

4Klasse mit \(H = 12\)

Weil \(n\) für alle Klassen gleich ist, ordnen die relativen Häufigkeiten genauso wie die absoluten: 6, 12, 18, 24 — also 7,5 %, 15 %, 22,5 % und 30 %. Zusammen sind das 75 %; die restlichen 25 % verteilen sich auf weitere Klassen.

14Balkenhöhe als gekürzter BruchAFB II

Ein Balken steht für 18 von 48 Messwerten.

Geben Sie seine Höhe als vollständig gekürzten Bruch an.

Zähler und Nenner eintragen — vollständig gekürzt.

\(\dfrac{18}{48}\) lässt sich mit 6 kürzen: \(\dfrac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%\). Wer nur mit 2 kürzt, landet bei \(\frac{9}{24}\) — richtig, aber noch nicht fertig.

15Zwei Klassen zusammenAFB III

Ein Histogramm mit \(n = 250\) zeigt in fünf Klassen die absoluten Häufigkeiten 35, 60, 75, 55 und 25.

Berechnen Sie, welcher Anteil in Prozent auf die beiden mittleren Klassen (dritte und vierte) zusammen entfällt.

Nur die Zahl eintragen, ohne Prozentzeichen.

\(75+55=130\) Messwerte von 250, also \(\dfrac{130}{250}=0{,}52=52\,\%\). Man darf hier die beiden Anteile addieren, weil sich die Klassen nicht überlappen: \(30\,\%+22\,\%=52\,\%\).

16Der Aufbau in WortenAFB I

Vervollständigen Sie die Beschreibung eines Histogramms.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Über jeder Klasse steht genau ein Balken. Seine Breite ist die , seine Höhe gibt die dieser Klasse an. Die Balken grenzen aneinander, weil auch die Klassen ohne Zwischenraum aufeinanderfolgen. Werden dagegen einzelne Merkmalswerte dargestellt, so entsteht ein mit Abständen. Werden die Anteile abgetragen, ergeben alle Balken zusammen .

Die fünf Lücken enthalten alles, was ein Histogramm ausmacht — und die Abgrenzung zum Säulendiagramm.

17Diagramm und Aussage verbindenAFB II

Alle vier Histogramme gehören zu Messreihen mit \(n = 50\). Verbinden Sie jede Angabe mit der passenden Folgerung.

Links eine Angabe wählen, dann rechts die passende Folgerung anklicken.

Bei \(n=50\) entspricht 2 % genau einem Messwert. Deshalb sind 44 % gleich 22 Werte, 4 % gleich 2 Werte und zweimal 30 % zusammen 60 % gleich 30 Werte.

18Die Höhe einstellenAFB II

Von 160 befragten Haushalten fallen 44 in eine bestimmte Klasse.

Berechnen Sie die Höhe des zugehörigen Balkens in Prozent und stellen Sie den Regler darauf ein.

Regler auf den berechneten Wert schieben — Pfeiltasten bewegen ihn in 0,5er-Schritten.

050

\(h=\dfrac{44}{160}=0{,}275=27{,}5\,\%\). Wer \(\frac{44}{160}\) im Kopf über \(\frac{11}{40}\) kürzt, sieht das Ergebnis sofort: \(\frac{11}{40}=\frac{27{,}5}{100}\).

19Welches Diagramm passt?AFB II

Sortieren Sie jede Erhebung in den passenden Korb.

Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.

1Histogramm

2Säulendiagramm

3kein Balken über einer Zahlenachse

Klassierte quantitative Daten ergeben ein Histogramm, einzelne abzählbare Zahlenwerte ein Säulendiagramm. Lieblingsfach und Augenfarbe sind qualitative Merkmale — dort gibt es keine Zahlenachse; üblich sind Balken- oder Kreisdiagramme.

20Rückwärts aus dem DiagrammAFB III

In einem Histogramm ist ein Balken 12,5 % hoch. Er steht für 9 Messwerte.

Berechnen Sie den Stichprobenumfang \(n\).

Ergebnis als ganze Zahl.

Aus \(h=\dfrac{H}{n}\) folgt \(n=\dfrac{H}{h}=\dfrac{9}{0{,}125}=72\). Kontrolle: \(\frac{9}{72}=0{,}125=12{,}5\,\%\) ✓. Der häufigste Fehler ist \(9\cdot 0{,}125\) statt der Division.

Interaktive Übung

Übungsaufgaben