Textaufgaben: Das Histogramm

Die Klassengrenzen liegen bei 5; 6; 7; 8; 9; 10 und 11 Stunden, die Klassenbreite beträgt also \(b = 1\,\mathrm{h}\).

Abgelesene Anteile: \(5 \le S < 6\): 5 %; \(6 \le S < 7\): 15 %; \(7 \le S < 8\): 25 %; \(8 \le S < 9\): 30 %; \(9 \le S < 10\): 17,5 %; \(10 \le S < 11\): 7,5 %.

Am stärksten besetzt ist die Klasse \(8 \le S < 9\) mit 30 %. Probe: \(5+15+25+30+17{,}5+7{,}5 = 100\), also 100 %.

\(H = h \cdot n\) mit \(n = 80\):

\(H_1 = 0{,}05 \cdot 80 = 4\); \(H_2 = 0{,}15 \cdot 80 = 12\); \(H_3 = 0{,}25 \cdot 80 = 20\); \(H_4 = 0{,}30 \cdot 80 = 24\); \(H_5 = 0{,}175 \cdot 80 = 14\); \(H_6 = 0{,}075 \cdot 80 = 6\).

Probe: \(4+12+20+24+14+6 = 80 = n\). Es sind alle Befragten erfasst.

Weniger als acht Stunden schlafen die Jugendlichen der ersten drei Klassen: \(5\,\% + 15\,\% + 25\,\% = 45\,\%\), das entspricht \(4 + 12 + 20 = 36\) von 80 Jugendlichen.

45 % sind weniger als 50 %. Die Aussage ist damit falsch: Es ist knapp die Hälfte, aber eben nicht mehr als die Hälfte.

Richtig wäre etwa: „Fast die Hälfte der Jugendlichen schläft weniger als acht Stunden.“ Zu beachten ist dabei die Randregel: Wer genau acht Stunden schläft, gehört zur Klasse \(8 \le S < 9\) und wird nicht mitgezählt.

\(h_1 = \dfrac{1}{50} = 2\,\%\); \(h_2 = \dfrac{4}{50} = 8\,\%\); \(h_3 = \dfrac{15}{50} = 30\,\%\); \(h_4 = \dfrac{18}{50} = 36\,\%\); \(h_5 = \dfrac{9}{50} = 18\,\%\); \(h_6 = \dfrac{3}{50} = 6\,\%\). Probe: \(2+8+30+36+18+6 = 100\), also 100 %.

Das Histogramm trägt waagerecht die Füllmenge (in ml) mit den Klassengrenzen 494; 496; 498; 500; 502; 504 und 506 im gleichen Abstand ab, senkrecht den Anteil (in %) mit Marken bei 10, 20 und 30. Über jeder Klasse steht ein 2 ml breiter Balken mit den Höhen 2 %, 8 %, 30 %, 36 %, 18 % und 6 %. Die Balken grenzen ohne Zwischenraum aneinander. Die Verteilung ist eingipflig mit dem Gipfel unmittelbar über dem Sollwert.

Für die Anzahl der Etikettenfehler ist ein Säulendiagramm die geeignete Darstellung.

Begründung: Die Anzahl der Etikettenfehler kann nur die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Zwischen zwei benachbarten Werten liegt nichts — es gibt keine 2,5 Etikettenfehler. Auf der waagerechten Achse stehen deshalb einzelne Merkmalswerte, und jeder erhält eine eigene Säule mit Zwischenraum.

Unterschied zum Histogramm aus a): Dort steht auf der waagerechten Achse eine durchgehende Skala, denn die Füllmenge kann jeden Zwischenwert annehmen, etwa 499,3 ml. Die Klassen grenzen lückenlos aneinander, deshalb dürfen auch zwischen den Balken keine Lücken bleiben. Beide Diagramme benutzen Balken, aber nur beim Histogramm hat die Breite eines Balkens eine Bedeutung: Sie ist die Klassenbreite.

Außerhalb der Toleranz liegen die Flaschen mit \(V < 496\) und die mit \(V \ge 504\), also die erste und die letzte Klasse: \(1 + 3 = 4\) Flaschen. Der Anteil beträgt \(\dfrac{4}{50} = 0{,}08 = 8\,\%\).

Die Frage lässt sich hier tatsächlich beantworten, und zwar exakt — aber nur, weil beide Toleranzgrenzen zugleich Klassengrenzen sind. Die Klasse \(496 \le V < 498\) beginnt genau bei der unteren Toleranzgrenze, und die Klasse \(504 \le V < 506\) beginnt genau bei der oberen. Damit fällt keine Klasse teilweise in den Toleranzbereich und teilweise heraus.

Wäre der Toleranzbereich zum Beispiel \(497 \le V < 503\) festgelegt, so läge die Grenze mitten in einer Klasse. Aus der Tabelle wäre dann nicht mehr ablesbar, wie viele der 4 Flaschen der Klasse \(496 \le V < 498\) über 497 ml liegen; der Anteil ließe sich nur noch eingrenzen. Wer klassiert, sollte die Klassengrenzen deshalb an den fachlich bedeutsamen Schwellen ausrichten.

Schule A: \(\dfrac{12}{120} = 10\,\%\); \(\dfrac{30}{120} = 25\,\%\); \(\dfrac{42}{120} = 35\,\%\); \(\dfrac{24}{120} = 20\,\%\); \(\dfrac{12}{120} = 10\,\%\). Probe: \(10+25+35+20+10 = 100\), also 100 %.

Schule B: \(0{,}15 \cdot 300 = 45\); \(0{,}20 \cdot 300 = 60\); \(0{,}25 \cdot 300 = 75\); \(0{,}25 \cdot 300 = 75\); \(0{,}15 \cdot 300 = 45\). Probe: \(45+60+75+75+45 = 300 = n\).

Beide Verteilungen haben ihren Schwerpunkt in der Mitte, unterscheiden sich aber deutlich in der Form. Schule A ist eingipflig mit einem klaren Gipfel bei \(2 \le x < 3\) (35 %) und fällt zu beiden Seiten ab. Bei Schule B sind die beiden mittleren Klassen mit je 25 % gleich stark besetzt, und die Verteilung ist insgesamt flacher und breiter; die Randklassen sind mit je 15 % stärker besetzt als bei Schule A mit je 10 %.

Mindestens drei Stunden Bildschirmzeit: Schule A \(20\,\% + 10\,\% = 30\,\%\) (entspricht \(24+12 = 36\) Jugendlichen), Schule B \(25\,\% + 15\,\% = 40\,\%\) (entspricht \(75+45 = 120\) Jugendlichen).

Die Beobachtung stimmt rechnerisch: In jeder Klasse ist die absolute Häufigkeit bei Schule B größer (45 gegen 12; 60 gegen 30; 75 gegen 42; 75 gegen 24; 45 gegen 12).

Als Argument taugt sie trotzdem nicht. Schule B hat mit 300 Befragten zweieinhalbmal so viele Jugendliche befragt wie Schule A mit 120. Schon deshalb sind bei ihr überall mehr Personen zu erwarten — selbst dann, wenn die Bildschirmzeiten in beiden Schulen genau gleich verteilt wären. Absolute Häufigkeiten aus Erhebungen mit verschiedenem Stichprobenumfang lassen sich nicht unmittelbar vergleichen; genau dafür gibt es die relativen Häufigkeiten. Auch die Balkenhöhen der beiden Histogramme sind nicht vergleichbar, solange die eine senkrechte Achse \(H\) und die andere \(h\) abträgt.

Interessant ist, dass die Schlussfolgerung dennoch in die richtige Richtung weist: Bei Schule B liegt der Anteil mit mindestens drei Stunden bei 40 %, bei Schule A nur bei 30 %. Das ist aber ein anderes Argument als das des Elternvertreters. Ein richtiges Ergebnis aus einer falschen Begründung bleibt fachlich wertlos; belastbar ist die Aussage erst mit den relativen Häufigkeiten.

\(h_1 = \dfrac{40}{400} = 10\,\%\); \(h_2 = \dfrac{96}{400} = 24\,\%\); \(h_3 = \dfrac{84}{400} = 21\,\%\); \(h_4 = \dfrac{120}{400} = 30\,\%\); \(h_5 = \dfrac{60}{400} = 15\,\%\).

Probe: \(10+24+21+30+15 = 100\), also 100 %. Die meisten Mitglieder stellt mit 30 % die Klasse \(30 \le a < 50\).

\(d_i = \dfrac{H_i}{b_i}\), angegeben in Mitgliedern je Jahr:

\(d_1 = \dfrac{40}{10} = 4\); \(d_2 = \dfrac{96}{8} = 12\); \(d_3 = \dfrac{84}{12} = 7\); \(d_4 = \dfrac{120}{20} = 6\); \(d_5 = \dfrac{60}{30} = 2\).

Am dichtesten besetzt ist die Klasse \(10 \le a < 18\) mit 12 Mitgliedern je Lebensjahr — doppelt so dicht wie die Klasse \(30 \le a < 50\) mit 6 Mitgliedern je Lebensjahr und sechsmal so dicht wie die Klasse \(50 \le a < 80\) mit 2 Mitgliedern je Lebensjahr.

Die beiden Fragen haben verschiedene Antworten. Die meisten Mitglieder stellt die Klasse \(30 \le a < 50\) mit 120 Personen. Am dichtesten besetzt ist dagegen die Klasse \(10 \le a < 18\) mit 12 Mitgliedern je Jahrgang gegenüber 6 Mitgliedern je Jahrgang bei den 30- bis 50-Jährigen.

Der Grund ist die Klassenbreite: Die Klasse \(30 \le a < 50\) umfasst 20 Jahrgänge, die Klasse \(10 \le a < 18\) nur 8. Eine breite Klasse sammelt schon deshalb mehr Mitglieder ein, weil sie mehr Jahrgänge zusammenfasst. Die absolute Häufigkeit misst die Größe einer Gruppe, die Häufigkeitsdichte misst, wie stark ein einzelner Jahrgang besetzt ist.

Im Histogramm ist die Breite eines Balkens durch die Klassenbreite festgelegt. Seine Fläche ist deshalb \(\text{Höhe} \cdot b\). Damit die Fläche die Häufigkeit darstellt — und nur dann sind die Balken untereinander vergleichbar —, muss \(\text{Höhe} \cdot b = H\) gelten, also \(\text{Höhe} = \dfrac{H}{b} = d\). Die Höhe ist die Häufigkeitsdichte, die Fläche ist die Häufigkeit; man nennt das Flächentreue.

Würde man stattdessen \(H\) als Höhe eintragen, so hätte der Balken über \(30 \le a < 50\) die Fläche \(120 \cdot 20 = 2400\), der Balken über \(10 \le a < 18\) dagegen nur \(96 \cdot 8 = 768\) — das Auge sähe ein Verhältnis von etwa 3 zu 1, obwohl die Gruppen sich nur wie 120 zu 96, also 1,25 zu 1 verhalten. Bei gleich breiten Klassen entfällt das Problem, weil dann alle Dichten denselben Faktor \(\tfrac{1}{b}\) tragen und die Balken dieselbe Form ergeben.

Relative Häufigkeiten: \(\dfrac{50}{500} = 10\,\%\); \(\dfrac{90}{500} = 18\,\%\); \(\dfrac{120}{500} = 24\,\%\); \(\dfrac{160}{500} = 32\,\%\); \(\dfrac{80}{500} = 16\,\%\). Probe: \(10+18+24+32+16 = 100\), also 100 %.

Häufigkeitsdichten in Wohnungen je 100 €: \(\dfrac{50}{100} \cdot 100 = 50\); \(\dfrac{90}{100}\cdot 100 = 90\); \(\dfrac{120}{100}\cdot 100 = 120\); \(\dfrac{160}{200}\cdot 100 = 80\); \(\dfrac{80}{400}\cdot 100 = 20\).

Flächentreu ist ein Histogramm, wenn die Fläche jedes Balkens proportional zur Häufigkeit seiner Klasse ist.

Im veröffentlichten Diagramm hat der Balken über \(600 \le M < 800\) die Fläche \(200 \cdot 160 = 32\,000\) (in Einheiten „Euro mal Wohnung“), der Balken über \(800 \le M < 1200\) die Fläche \(400 \cdot 80 = 32\,000\). Beide Flächen sind gleich groß, obwohl die eine Klasse 160 und die andere nur 80 Wohnungen enthält — also doppelt so viele. Damit ist die Flächentreue widerlegt.

Ein zweiter Beleg: Der Balken über \(500 \le M < 600\) hat die Fläche \(100 \cdot 120 = 12\,000\), der Balken über \(600 \le M < 800\) die Fläche 32 000. Das Flächenverhältnis beträgt \(32\,000 : 12\,000 \approx 2{,}7\), das Häufigkeitsverhältnis dagegen nur \(160 : 120 \approx 1{,}3\).

Korrekt sind die Höhen der Häufigkeitsdichte, also (in Wohnungen je 100 €) 50; 90; 120; 80 und 20. Dann gilt für jeden Balken Fläche = Höhe \(\cdot\) Breite = Häufigkeit, zum Beispiel \(80 \cdot 2 = 160\) und \(20 \cdot 4 = 80\), wenn die Breite in Einheiten von 100 € gezählt wird.

Zum ersten Satz. Es stimmt, dass die Klasse \(600 \le M < 800\) mit 160 Wohnungen die meisten Wohnungen enthält. Der höchste Balken belegt das aber nicht, denn die Höhen sind wegen der unterschiedlichen Klassenbreiten nicht vergleichbar. In der flächentreuen Darstellung ist dieser Balken mit 80 Wohnungen je 100 € nicht der höchste; am dichtesten besetzt ist der Bereich \(500 \le M < 600\) mit 120 Wohnungen je 100 €. Und „Schwerpunkt“ ist ohnehin zu stark: 160 von 500 Wohnungen sind 32 %, also nicht einmal ein Drittel; \(10\,\% + 18\,\% + 24\,\% = 52\,\%\) der Wohnungen kosten weniger als 600 €.

Zum zweiten Satz. Er ist irreführend. Der Balken über \(800 \le M < 1200\) wirkt groß, weil er 400 € breit ist — viermal so breit wie die ersten drei Balken. Tatsächlich entfallen auf ihn nur 80 Wohnungen, also 16 %, und je 100 € sind es mit 20 Wohnungen die mit Abstand dünnste Besetzung aller Klassen. Die Breite eines Balkens ist keine Häufigkeit, sondern nur die Klassenbreite.

Vorschlag. Erstens die Höhen auf die Häufigkeitsdichte umstellen (50; 90; 120; 80; 20 Wohnungen je 100 €) und die senkrechte Achse entsprechend beschriften — dann steht wieder die Fläche für die Anzahl. Zweitens die Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten sowie den Klassenbreiten mit abdrucken, damit jede Leserin nachrechnen kann. Drittens, wenn es fachlich vertretbar ist, gleich breite Klassen von 100 € bis 1200 € wählen; dann sind Höhen und Flächen gleichermaßen vergleichbar und die Frage nach der Flächentreue stellt sich gar nicht erst. Viertens den Begleittext an den Anteilen ausrichten statt an der Optik der Balken.