Textaufgaben: Absolute und relative Häufigkeit

Jedes gezählte Fahrzeug wurde genau einer Fahrzeugart zugeordnet. Deshalb ergibt die Summe aller absoluten Häufigkeiten den Stichprobenumfang:

\(n = 148 + 42 + 25 + 10 + 25 = 250\).

In der Zählstunde wurden also 250 Fahrzeuge erfasst.

\(h(\text{Pkw}) = \dfrac{H(\text{Pkw})}{n} = \dfrac{148}{250} = \dfrac{74}{125} = 0{,}592 = 59{,}2\,\%\).

\(h(\text{Lkw}) = \dfrac{H(\text{Lkw})}{n} = \dfrac{25}{250} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

Von den 250 gezählten Fahrzeugen waren 25 Lkw; das ist ein Anteil von 10 % oder anschaulich: Jedes zehnte Fahrzeug, das in dieser Stunde geradeaus über die Kreuzung fuhr, war ein Lkw.

Die größte absolute Häufigkeit hat der Pkw mit \(H(\text{Pkw}) = 148\).

Es gilt \(H(x) = h(x)\cdot n\) mit \(n = 1200\):

sehr gut: \(0{,}225\cdot 1200 = 270\); gut: \(0{,}350\cdot 1200 = 420\); teils/teils: \(0{,}245\cdot 1200 = 294\); schlecht: \(0{,}120\cdot 1200 = 144\); keine Angabe: \(0{,}060\cdot 1200 = 72\).

Alle fünf Werte sind ganze Zahlen — ein Zeichen dafür, dass die veröffentlichten Prozentwerte nicht gerundet wurden.

\(270 + 420 + 294 + 144 + 72 = 1200 = n\). Die berechneten absoluten Häufigkeiten ergeben zusammen genau den Stichprobenumfang.

Allgemein: Jede befragte Person wird genau einer Bewertung zugeordnet, also zählt sie in genau einer der Kategorien mit. Daher gilt \(\sum H(x) = n\). Damit folgt

\(\sum h(x) = \sum \dfrac{H(x)}{n} = \dfrac{1}{n}\sum H(x) = \dfrac{n}{n} = 1\).

Die Summe aller relativen Häufigkeiten ist deshalb immer 1, in Prozent also 100 %. Zur Kontrolle: \(22{,}5 + 35{,}0 + 24{,}5 + 12{,}0 + 6{,}0 = 100{,}0\).

Über die absoluten Häufigkeiten: Die Kategorien „sehr gut“ und „gut“ schließen einander aus, ihre Häufigkeiten dürfen also addiert werden: \(270 + 420 = 690\). Die Hälfte der Befragten wären \(\dfrac{1200}{2} = 600\). Wegen \(690 > 600\) trifft die Aussage zu.

Über die relativen Häufigkeiten: \(0{,}225 + 0{,}350 = 0{,}575 = 57{,}5\,\%\). Wegen \(0{,}575 > 0{,}5\) trifft die Aussage ebenfalls zu.

Beide Wege führen zum selben Ergebnis, denn \(\dfrac{690}{1200} = 0{,}575\). Die Werbeaussage ist damit bestätigt: 690 von 1200 Befragten, also 57,5 %, bewerten das Programm mit gut oder sehr gut. Zu beachten bleibt, dass sich die Aussage streng genommen nur auf die 1200 Befragten bezieht, nicht auf die gesamte Hörerschaft.

Standort A: \(h_A = \dfrac{96}{12\,000} = 0{,}008 = 0{,}8\,\%\).

Standort B: \(h_B = \dfrac{42}{3\,500} = 0{,}012 = 1{,}2\,\%\).

Die Zahlenangabe selbst stimmt: \(\dfrac{96}{42} \approx 2{,}29\), am Standort A wurden also tatsächlich mehr als doppelt so viele Pakete beschädigt. Die Schlussfolgerung ist trotzdem falsch: Mit \(h_A = 0{,}8\,\%\) gegenüber \(h_B = 1{,}2\,\%\) arbeitet Standort A gerade nicht schlechter, sondern besser. Die Beschädigungsquote ist am Standort B das \(\dfrac{1{,}2}{0{,}8} = 1{,}5\)-fache der Quote am Standort A.

Der Denkfehler: Der Betriebsleiter vergleicht die absoluten Häufigkeiten \(H\), ohne die zugehörigen Stichprobenumfänge zu berücksichtigen. Standort A schlägt mit \(\dfrac{12\,000}{3\,500} \approx 3{,}43\) fast das Dreieinhalbfache an Paketen um; dass dort auch mehr Schäden anfallen, ist deshalb zu erwarten. Aussagekräftig für die Arbeitsqualität ist erst die relative Häufigkeit, weil sie die Schäden auf die jeweils bearbeitete Menge bezieht. Eine absolute Häufigkeit ohne Angabe von \(n\) lässt keinen Vergleich zwischen unterschiedlich großen Gruppen zu.

\(H = h_A \cdot n_B = 0{,}008 \cdot 3\,500 = 28\).

Mit der Beschädigungsquote des Standorts A wären am Standort B nur 28 statt 42 Pakete beschädigt worden; das sind \(42 - 28 = 14\) Pakete weniger, also ein Drittel der tatsächlichen Schäden. Die Zahl macht den Qualitätsunterschied in derselben Einheit sichtbar, in der der Betriebsleiter argumentiert hat: Nicht Standort A, sondern Standort B verursacht gemessen an seiner Paketmenge zusätzliche Schäden.

Fahrschule Nord: \(H = h\cdot n = 0{,}92 \cdot 75 = 69\). Von 75 Teilnehmenden haben 69 die Prüfung im ersten Versuch bestanden, 6 sind durchgefallen.

Fahrschule Süd: \(h = \dfrac{H}{n} = \dfrac{184}{230} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\). Von 230 Teilnehmenden haben 184 bestanden, 46 sind durchgefallen.

Die Fahrschule Nord nennt eine relative Häufigkeit, die Fahrschule Süd eine absolute. Beide Kennzahlen beantworten verschiedene Fragen: \(h\) gibt den Anteil der Bestandenen an allen Teilnehmenden an, \(H\) gibt nur deren Anzahl an.

Ohne den Stichprobenumfang lässt sich keine der beiden Angaben in die andere umrechnen. Die 184 Bestandenen bei Süd könnten von 190 Teilnehmenden stammen (dann wären es rund 97 %) oder von 300 (dann rund 61 %); erst die Angabe \(n = 230\) legt den Anteil auf 80 % fest. Umgekehrt sagen die 92 % der Fahrschule Nord nichts darüber, wie viele Personen dahinterstehen — es sind lediglich 69.

Zudem sind die beiden Zahlen in ihrer Größe nicht vergleichbar: 184 ist die größere Anzahl, aber 92 % ist der größere Anteil. Ein Vergleich ist erst möglich, nachdem beide Angaben in dieselbe Kennzahl umgerechnet wurden — also 69 gegenüber 184 oder 92 % gegenüber 80 %.

Für die Wahl einer Fahrschule ist die relative Häufigkeit aussagekräftiger. Wer sich anmeldet, will wissen, mit welchem Anteil an Erfolgen zu rechnen ist — und dieser Anteil hängt nicht davon ab, wie groß die Fahrschule ist. Die absolute Zahl 184 misst vor allem die Größe des Betriebs: Fahrschule Süd hat gut dreimal so viele Teilnehmende wie Nord und deshalb zwangsläufig auch mehr bestandene Prüfungen. Gemessen an der Erfolgsquote liegt Nord mit 92 % vor Süd mit 80 %.

Einschränkend gilt: Die Quote von Nord beruht auf nur 75 Prüfungen und reagiert deshalb empfindlich auf einzelne Ergebnisse. Fällt eine Person zusätzlich durch, sinkt die Quote bereits auf \(\dfrac{68}{75} \approx 0{,}907 = 90{,}7\,\%\). Bei Süd mit \(n = 230\) wäre die Wirkung eines einzelnen Ergebnisses deutlich kleiner. Der Stichprobenumfang gehört deshalb zwingend zur Quote dazu.

Vorschlag für eine faire Werbung: Erstens beide Kennzahlen zusammen nennen, in der Form „69 von 75 Teilnehmenden (92 %)“ bzw. „184 von 230 Teilnehmenden (80 %)“; erst so ist die Angabe nachprüfbar. Zweitens den Bezugszeitraum angeben, hier das vergangene Jahr. Drittens offenlegen, wer gezählt wurde — alle angemeldeten Fahrschülerinnen und Fahrschüler oder nur die zur Prüfung zugelassenen; wer nur die Aussichtsreichen antreten lässt, erzeugt eine hohe Quote ohne bessere Ausbildung. Viertens dieselbe Kennzahl für alle Fahrschulen verwenden, damit ein Vergleich überhaupt möglich wird.

2015: \(h_{2015} = \dfrac{78\,000}{18\,000\,000} = \dfrac{13}{3000} \approx 0{,}004333 \approx 0{,}43\,\%\).

2024: \(h_{2024} = \dfrac{91\,000}{24\,000\,000} = \dfrac{91}{24\,000} \approx 0{,}003792 \approx 0{,}38\,\%\).

Je 1000 regelmäßig Radfahrende: 2015 rund \(4{,}33\) Verunglückte, 2024 rund \(3{,}79\) Verunglückte.

Absolute Häufigkeit: \(91\,000 - 78\,000 = 13\,000\); das ist eine Zunahme um \(\dfrac{13\,000}{78\,000} \approx 0{,}167 = 16{,}7\,\%\). Die Zahlenangabe der Zeitung ist also korrekt.

Bezugsgröße: Die Zahl der regelmäßig Radfahrenden ist im selben Zeitraum von 18 auf 24 Millionen gestiegen, also um \(\dfrac{6}{18} \approx 0{,}333 = 33{,}3\,\%\) — doppelt so stark wie die Zahl der Verunglückten.

Relative Häufigkeit: \(\dfrac{h_{2024}}{h_{2015}} = \dfrac{91/24\,000}{13/3000} = \dfrac{91 \cdot 3000}{24\,000 \cdot 13} = 0{,}875\). Das Unfallrisiko je radfahrende Person ist also um \(12{,}5\,\%\) gesunken, von 4,33 auf 3,79 Verunglückte je 1000 Radfahrende.

Die Schlussfolgerung der Zeitung ist damit widerlegt. Sie schließt von einer gestiegenen absoluten Häufigkeit auf ein gestiegenes Risiko, obwohl die zugehörige relative Häufigkeit gefallen ist. Die absolute Zunahme erklärt sich daraus, dass deutlich mehr Menschen Rad fahren: Bei gleichbleibendem Risiko von 4,33 je 1000 hätte es 2024 sogar \(0{,}004333 \cdot 24\,000\,000 = 104\,000\) Verunglückte gegeben, also 13 000 mehr als tatsächlich gezählt wurden.

Notwendig ist erstens die Bezugsgröße. Eine Anzahl von Verunglückten ist eine absolute Häufigkeit \(H\); ohne den zugehörigen Stichprobenumfang \(n\) lässt sich daraus kein Risiko ableiten. Erst \(h = \dfrac{H}{n}\) beantwortet die Frage, wie gefährlich Radfahren für die einzelne Person ist. Die Meldung nennt nur \(H\) und zieht daraus eine Aussage über \(h\) — das ist der Kern des Fehlers.

Zweitens muss erkennbar sein, ob sich die Bezugsgröße verändert hat. Solange \(n\) konstant bleibt, laufen \(H\) und \(h\) parallel und eine absolute Angabe genügt. Hier ist \(n\) aber um ein Drittel gewachsen; genau deshalb kehrt sich die Richtung der Entwicklung um.

Drittens gehört eine klare Sprache dazu: „13 000 mehr Verunglückte“ und „das Risiko ist um 12,5 % gesunken“ sind beide richtig, beantworten aber verschiedene Fragen. Eine faire Meldung nennt beide Zahlen nebeneinander.

Abwägend ist allerdings festzuhalten, dass auch die relative Häufigkeit allein kein vollständiges Bild ergibt: Die absolute Zahl der Verletzten ist real gestiegen, und für die Planung von Rettungsdiensten, Krankenhäusern oder Radwegen ist gerade sie die maßgebliche Größe. Auch die Bezugsgröße selbst ist diskutabel — die zurückgelegten Kilometer wären aussagekräftiger als die Zahl der Personen, weil ein Mensch, der täglich fährt, länger im Verkehr ist als einer, der einmal wöchentlich fährt. Eine gute Meldung nennt deshalb \(H\), \(n\) und \(h\), benennt die gewählte Bezugsgröße ausdrücklich und überlässt die Wertung der Leserschaft.