Die absolute Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit \(H(x)\) gibt an, wie oft ein Wert \(x\) in einer Messreihe vorkommt. Du bestimmst sie durch Abzählen.
| Messreihe | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeile 1 | 18 | 20 | 13 | 15 | 19 | 24 | 24 | 24 | 25 | 24 | 26 |
| Zeile 2 | 24 | 25 | 22 | 13 | 12 | 13 | 15 | 18 | 21 | 17 | |
| Zeile 3 | 23 | 27 | 21 | 14 | 14 | 20 | 22 | 23 | 21 | 26 |
- Schreibweise:\(H(x)\); in der Klammer steht der betrachtete Wert.
- Einheit:reine Anzahl, also \([H(x)]=1\); die Einheit °C gehört nur zu \(x\).
- Messreihe:31 Temperaturwerte, also Stichprobenumfang \(n=31\).
- Beispiel:14 °C steht zweimal in Zeile 3, also \(H(14\,{}^{\circ}\mathrm{C})=2\).
- Nie gemessen:\(H(16\,{}^{\circ}\mathrm{C})=0\) — im Diagramm steht dort keine Säule.
Absolute Häufigkeit: \(H(x)\) = Anzahl der Messwerte, die gleich \(x\) sind
Die relative Häufigkeit
Zwei Treffer bei 31 Werten sind etwas anderes als zwei Treffer bei 4 Werten. Die relative Häufigkeit \(h(x)\) gibt deshalb den Anteil am Stichprobenumfang an.
- Formel:absolute Häufigkeit geteilt durch Stichprobenumfang.
- Einheit:einheitenlos, \([h(x)]=1\); Werte zwischen \(0\) und \(1\).
- Schreibweisen:Bruch, Dezimalzahl oder Prozent — mal 100 führt zur Prozentangabe.
- Beispiel:\(h(14\,{}^{\circ}\mathrm{C})=\tfrac{2}{31}\approx0{,}065=6{,}5\,\%\).
- Nie größer als 1:im Zähler stehen nur die Treffer, im Nenner alle Messwerte.
| Temperatur x | H(x) | h(x) als Bruch | h(x) als Dezimalzahl | h(x) in Prozent |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 1 | \(\dfrac{1}{31}\) | 0,032 | 3,2 % |
| 13 | 3 | \(\dfrac{3}{31}\) | 0,097 | 9,7 % |
| 14 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 15 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 16 | 0 | \(\dfrac{0}{31}\) | 0,000 | 0,0 % |
| 17 | 1 | \(\dfrac{1}{31}\) | 0,032 | 3,2 % |
| 18 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 19 | 1 | \(\dfrac{1}{31}\) | 0,032 | 3,2 % |
| 20 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 21 | 3 | \(\dfrac{3}{31}\) | 0,097 | 9,7 % |
| 22 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 23 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 24 | 5 | \(\dfrac{5}{31}\) | 0,161 | 16,1 % |
| 25 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 26 | 2 | \(\dfrac{2}{31}\) | 0,065 | 6,5 % |
| 27 | 1 | \(\dfrac{1}{31}\) | 0,032 | 3,2 % |
| Summe | 31 | \(\dfrac{31}{31}\) | 1,000 | 100 % |
Relative Häufigkeit: \(h(x)=\dfrac{H(x)}{n}\)
Zusammenhang und Kontrolle
Absolute und relative Häufigkeit beschreiben denselben Sachverhalt. Zwei Summen prüfen am Ende, ob richtig gezählt wurde.
- Zurückrechnen:\(H(x)=h(x)\cdot n\), z. B. \(0{,}065\cdot31\approx2\).
- Summe der \(H(x)\):ergibt den Stichprobenumfang: \(1+3+2+\ldots+1=31=n\).
- Summe der \(h(x)\):ergibt immer \(1\), also \(100\,\%\).
- Fehlersuche:stimmt eine Summe nicht, wurde ein Wert übersehen oder doppelt gezählt.
- Rundung:gerundete Prozente können etwas von \(100\,\%\) abweichen, hier \(100{,}3\,\%\).
Kontrolle: \(\sum H(x)=n\) und \(\sum h(x)=1\)
Würfle einzeln oder in Serien. Das Diagramm zeigt wahlweise \(H(x)\) oder \(h(x)\) der sechs Augenzahlen, die Kontrollsummen laufen mit.
H- und h-Rechner am Würfelversuch
Jeder Wurf liefert einen Messwert, nämlich die geworfene Augenzahl. Das Diagramm zeigt für jede Augenzahl entweder die absolute Häufigkeit \(H(x)\) oder die relative Häufigkeit \(h(x)\); die Tabelle darunter enthält beide. Würfle einzeln oder in Serien und beobachte, wie sich die Säulen verändern.
| Augenzahl x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| H(x) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| h(x) | – | – | – | – | – | – |
| Summe | Summe H(x) = 0 = n | Summe h(x) = – | ||||
Noch kein Wurf. Würfle einmal, um die erste absolute Häufigkeit zu erzeugen.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in das Diagramm springen, mit ←/→ eine Augenzahl auswählen, mit Enter einmal würfeln. Die Schaltflächen sind ebenfalls mit Tab und Enter erreichbar. Jede Änderung der Häufigkeiten wird vorgelesen.
Halte fest: \(H(x)\) wächst mit jedem Wurf, \(h(x)\) bleibt zwischen \(0\) und \(1\). Versuche mit verschieden vielen Würfen vergleichst du deshalb über \(h(x)\).
Allgemeine Hinweise
Groß H, klein h
\(H(x)\) ist eine Anzahl, \(h(x)\) ein Anteil. Verwechselst du die Buchstaben, stimmt das ganze Ergebnis nicht.
Keine Einheit
Weder \(H(x)\) noch \(h(x)\) tragen eine Einheit. Die Einheit gehört nur zum Wert \(x\) in der Klammer.
Mit Brüchen prüfen
Rechne die Kontrolle mit den ungerundeten Brüchen. Dann ergibt die Summe exakt \(1\).
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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