Textaufgaben: Diagramme lesen und auswerten

Die senkrechte Achse ist von \(0\) bis \(300\,\mathrm{kg}\) beschriftet, dazwischen liegen sechs Zwischenräume: \(\dfrac{300\,\mathrm{kg}-0\,\mathrm{kg}}{6}=50\,\mathrm{kg}\) pro Rasterlinie.

Die Märzsäule endet genau zwischen der Linie für 200 kg und der für 250 kg, also bei \(225\,\mathrm{kg}\). Die Maisäule endet zwischen 150 kg und 200 kg, also bei \(175\,\mathrm{kg}\).

Abgelesen ergeben sich 150, 100, 225, 250, 175 und 200 Kilogramm.

Summe: \(150+100+225+250+175+200=1100\,\mathrm{kg}\).

Stärkster Monat ist der April mit 250 kg: \(\dfrac{250}{1100}\cdot 100\,\% \approx 22{,}7\,\%\). Rund 22,7 % der Halbjahresmenge stammen aus dem April.

Absolute Zunahme: \(250\,\mathrm{kg}-100\,\mathrm{kg}=150\,\mathrm{kg}\).

Prozentuale Zunahme: \(\dfrac{150}{100}=1{,}5=150\,\%\); die Menge ist auf das \(2{,}5\)-Fache gestiegen.

Dass beide Sätze dieselbe Zahl 150 nennen, ist ein Zufall des Ausgangswerts: Der Februarwert beträgt genau 100 kg, und 1 % von 100 kg ist 1 kg. Nur deshalb stimmen Kilogramm und Prozent zahlenmäßig überein. Wäre im Februar von 200 kg auszugehen, wären dieselben 150 kg nur noch 75 %. Die beiden Angaben messen also Verschiedenes und dürfen nicht gegeneinander ausgetauscht werden.

Darstellung 1: Zwischen zwei Rasterlinien liegen 20 Prozentpunkte. Die Säulen enden bei 86 %, 88 %, 87 % und 90 %.

Darstellung 2: Zwischen zwei Rasterlinien liegt genau ein Prozentpunkt, die Achse beginnt bei 85 %. Die Säulen enden bei 86 %, 88 %, 87 % und 90 %.

Beide Darstellungen liefern paarweise dieselben vier Zahlen; es handelt sich um dieselben Daten. Unterschiedlich ist nur der Achsenausschnitt.

Darstellung 1 (Achse ab 0 %): Die Höhen sind proportional zu den Werten selbst, also \(\dfrac{90}{86}\approx 1{,}05\). Die vierte Säule ist rund 5 % höher als die erste.

Darstellung 2 (Achse ab 85 %): Die Höhen sind proportional zu \(\text{Wert}-85\), also zu 1, 3, 2 und 5 Prozentpunkten. Es gilt \(\dfrac{90-85}{86-85}=\dfrac{5}{1}=5\) — die vierte Säule ist fünfmal so hoch wie die erste.

Tatsächlich beträgt der Unterschied \(90-86=4\) Prozentpunkte, relativ \(\dfrac{4}{86}\approx 0{,}047=4{,}7\,\%\). Das Auge sieht in Darstellung 2 also den Faktor 5, wo in den Daten der Faktor \(1{,}05\) steht — ein rund hundertfach übertriebener Eindruck.

Zulässig bleiben Differenzen: Da die Skalierung gleichmäßig ist, entspricht ein fester Abstand auf der Achse in beiden Darstellungen demselben Prozentpunkt. Man darf also weiterhin sagen, dass Q4 um 4 Prozentpunkte über Q1 liegt, und man darf die Rangfolge der Quartale ablesen.

Nicht zulässig sind Verhältnisse, also Aussagen wie „doppelt so pünktlich“ oder „fünfmal so gut“. Ein Vielfaches der Säulenhöhe ist nur dann ein Vielfaches des Werts, wenn die Achse bei null beginnt; sonst wird ein willkürlicher Sockel abgeschnitten, der in die Höhe gar nicht eingeht.

Eine abgeschnittene Achse ist deshalb nicht grundsätzlich verboten — bei Werten zwischen 86 % und 90 % macht sie kleine Unterschiede überhaupt erst sichtbar. Sie muss aber deutlich gekennzeichnet sein, etwa durch einen Achsenunterbrechungs­marker, und der Begleittext darf keine Verhältnisaussagen aus dem Bild ableiten. Die Überschrift „deutlich verbessert“ ist bei 4 Prozentpunkten irreführend.

Anbieter A (\(n_A=1200\)): Serien \(0{,}40\cdot 1200 = 480\); Spielfilme \(0{,}35\cdot 1200 = 420\); Dokumentationen \(0{,}15\cdot 1200 = 180\); Kinderprogramm \(0{,}10\cdot 1200 = 120\). Kontrolle: \(480+420+180+120 = 1200\).

Anbieter B (\(n_B=4500\)): Serien \(0{,}52\cdot 4500 = 2340\); Spielfilme \(0{,}28\cdot 4500 = 1260\); Dokumentationen \(0{,}08\cdot 4500 = 360\); Kinderprogramm \(0{,}12\cdot 4500 = 540\). Kontrolle: \(2340+1260+360+540 = 4500\).

Die Behauptung ist falsch. Anbieter A führt 180 Dokumentationen, Anbieter B dagegen 360 — B hat genau doppelt so viele, nicht weniger.

Richtig ist nur der erste Halbsatz über die Sektoren: \(15\,\%\) gegenüber \(8\,\%\) bedeutet einen Mittelpunktswinkel von \(54^\circ\) gegenüber \(28{,}8^\circ\), also fast den doppelten Sektor.

Der Denkfehler: Ein Kreissektor zeigt einen Anteil am jeweiligen Ganzen, keine Anzahl. Weil die beiden Ganzen verschieden groß sind (\(1200\) gegenüber \(4500\) Titeln), sind die Prozentwerte nicht miteinander vergleichbar. Der Katalog von B ist \(3{,}75\)-mal so groß; ein Anteil von nur \(8\,\%\) reicht dort bereits für die doppelte Anzahl.

Zu jedem Kreisdiagramm gehört zwingend die Angabe des Umfangs \(n\), also des Ganzen, für das der volle Kreis steht. Ohne sie lässt sich aus einem Sektor keine einzige absolute Zahl gewinnen: 15 % können 180 Titel bedeuten oder 15 — das Bild ist in beiden Fällen identisch. Im vorliegenden Fall steht \(n\) nur im Kleingedruckten, sodass der Blogbeitrag die Diagramme direkt nebeneinanderlegen und falsch deuten konnte.

Besser vergleichbar werden die Kataloge in einem gruppierten Säulendiagramm der absoluten Titelzahlen: Für jedes Genre stehen zwei Säulen nebeneinander (A und B), die Achse beginnt bei null und ist in Titeln beschriftet. Dann vergleicht das Auge genau das, worum es im Streit geht — Anzahlen —, und der Größenunterschied der Kataloge bleibt sichtbar.

Sollen die inneren Zusammensetzungen verglichen werden, bleiben Kreisdiagramme sinnvoll; dann gehört aber unter jeden Kreis das zugehörige \(n\), und der Text darf nur über Anteile sprechen.

Abgelesen (eine Rasterlinie steht für 100 Stellplätze): 2015: 100, 2016: 200, 2017: 300, 2018: 400, 2024: 500 Stellplätze.

2015–2016: \(\dfrac{100}{1\ \text{Jahr}} = 100\) Stellplätze pro Jahr. 2016–2017: ebenfalls \(100\) pro Jahr. 2017–2018: ebenfalls \(100\) pro Jahr.

2018–2024: \(\dfrac{500-400}{2024-2018}=\dfrac{100}{6}\approx 16{,}7\) Stellplätze pro Jahr.

Über den gesamten Zeitraum: \(\dfrac{500-100}{9}\approx 44{,}4\) Stellplätze pro Jahr.

Die Aussage trifft nur für die Jahre 2015 bis 2018 zu: Dort kamen tatsächlich jedes Jahr 100 Stellplätze dazu. Seit 2018 ist das Tempo auf \(16{,}7\) Stellplätze pro Jahr gefallen, also auf ein Sechstel. Von einem gleichmäßigen Ausbau kann keine Rede sein; im Gegenteil, der Ausbau ist nach 2018 fast zum Erliegen gekommen.

Dass das Bild dennoch gleichmäßig aussieht, liegt an der waagerechten Achse: Die fünf Jahreszahlen sind in gleichen Abständen nebeneinandergesetzt, obwohl zwischen 2018 und 2024 sechs Jahre liegen und zwischen den übrigen Punkten jeweils nur eines. Die Achse ist damit keine Zeitskala mehr, sondern eine bloße Aufzählung von Messzeitpunkten. Weil ein Liniendiagramm seine Aussage aus der Steigung bezieht, wird genau die Größe verfälscht, um die es geht.

Hinzu kommt: Für die Jahre 2019 bis 2023 liegen überhaupt keine Werte vor. Die durchgezogene Linie behauptet dort einen gleichmäßigen Verlauf, den die Daten nicht hergeben — der Ausbau kann 2019 abgeschlossen oder erst 2024 erfolgt sein.

Schritt 1: Die waagerechte Achse wird maßstäblich angelegt, von 2015 bis 2024 mit gleichen Abständen je Jahr. Schritt 2: Die fünf Messpunkte werden an ihren richtigen Stellen eingetragen — die ersten vier dicht beieinander, der letzte weit rechts. Schritt 3: Die Strecke zwischen 2018 und 2024 wird gestrichelt gezeichnet und mit dem Hinweis „keine Erhebung“ versehen, weil dort keine Messwerte vorliegen. Schritt 4: Achsenbeschriftungen (Jahr; Anzahl der überdachten Stellplätze) und eine Quellenangabe ergänzen.

Am Bild ändert sich Entscheidendes: Die Linie steigt bis 2018 steil an und knickt danach sichtbar ab; die flache, lange Strecke bis 2024 macht den Stillstand unmittelbar sichtbar. Der Eindruck des gleichmäßigen Wachstums verschwindet, ohne dass eine einzige Zahl geändert wurde.

Ergänzend eignet sich ein Säulendiagramm der jährlichen Zuwächse. Es zeigt vier Säulen der Höhe 100 für 2016 bis 2018 und eine Lücke für 2019 bis 2023, die als solche gekennzeichnet werden muss — auch das ist eine ehrliche Information: Die Gemeinde hat in diesem Zeitraum offenbar nicht gezählt.

Messenger: \(0{,}45\cdot 200 = 90\); Videoplattform: \(0{,}38\cdot 200 = 76\); Musik-Streaming: \(0{,}30\cdot 200 = 60\); Spiele: \(0{,}25\cdot 200 = 50\); Nachrichten-App: \(0{,}18\cdot 200 = 36\).

Gesamtzahl der Nennungen: \(90+76+60+50+36 = 312\).

Pro Person: \(\dfrac{312}{200} = 1{,}56\) Nennungen. Jede befragte Person hat im Mittel gut anderthalb Kategorien angekreuzt — genau das ist mit „Mehrfachnennungen“ gemeint.

Die fünf Prozentangaben ergeben zusammen \(45+38+30+25+18 = 156\,\%\). Ein voller Kreis steht aber für genau 100 %. Umgerechnet in Winkel wären es \(156\cdot 3{,}6^\circ = 561{,}6^\circ\), also mehr als eineinhalb volle Kreise. Die Sektoren müssten einander überlappen; ein Kreisdiagramm ist hier unmöglich.

Nimmt man stattdessen die 312 Nennungen als Ganzes, ergibt sich mit \(\alpha = \dfrac{H}{312}\cdot 360^\circ\):

Messenger \(\dfrac{90}{312}\approx 28{,}8\,\% \rightarrow 103{,}8^\circ\); Videoplattform \(\dfrac{76}{312}\approx 24{,}4\,\% \rightarrow 87{,}7^\circ\); Musik-Streaming \(\dfrac{60}{312}\approx 19{,}2\,\% \rightarrow 69{,}2^\circ\); Spiele \(\dfrac{50}{312}\approx 16{,}0\,\% \rightarrow 57{,}7^\circ\); Nachrichten-App \(\dfrac{36}{312}\approx 11{,}5\,\% \rightarrow 41{,}5^\circ\).

Kontrolle: \(103{,}8^\circ+87{,}7^\circ+69{,}2^\circ+57{,}7^\circ+41{,}5^\circ \approx 360^\circ\). Dieses Diagramm wäre zeichenbar, beantwortet aber eine andere Frage: Es zeigt, wie sich die Nennungen verteilen — nicht, wie viele Jugendliche eine Kategorie nutzen.

Der erste Halbsatz ist richtig: 45 % der Befragten, also 90 Jugendliche, nutzen täglich einen Messenger. Der zweite Halbsatz ist falsch. „Fast die Hälfte des Marktes“ behauptet einen Anteil am Ganzen aller Nennungen; dieser beträgt jedoch nur \(\dfrac{90}{312}\approx 28{,}8\,\%\), also noch nicht einmal ein Drittel. Die Schlagzeile setzt zwei verschiedene Bezugsgrößen gleich — Befragte und Nennungen — und genau diese Verwechslung erzeugt die Steigerung von 28,8 % auf „fast die Hälfte“. Die gewählte Kreisform legt den Fehlschluss zusätzlich nahe, weil ein Kreis dem Auge ein vollständiges Ganzes verspricht.

Die Erhebung lässt außerdem eine naheliegende Frage offen: Wie viele Jugendliche nutzen gar keine der fünf Kategorien? Aus den Daten folgt nur, dass mindestens 90 Personen mindestens eine Kategorie nutzen; es können also zwischen 0 und 110 Personen ohne jede Nennung sein. Auch Kombinationen — wer nutzt Messenger und Spiele? — sind nicht rekonstruierbar.

Geeignet ist ein Balkendiagramm: für jede Kategorie ein waagerechter Balken, die Achse von 0 % bis 100 % beschriftet, die Balken nach Größe sortiert. Dazu gehören \(n = 200\), die absoluten Anzahlen an den Balken und der ausdrückliche Vermerk „Mehrfachnennungen möglich, die Anteile addieren sich nicht zu 100 %“. Ein Kreisdiagramm ist erst wieder zulässig, wenn die Kategorien einander ausschließen und zusammen alle Fälle abdecken — etwa bei der Frage nach der meistgenutzten Kategorie mit genau einer Antwort pro Person.