Säulen- und Kreisdiagramm: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die beiden Diagrammarten beschreibenAFB I

Vervollständige den Text mit den passenden Fachbegriffen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Beim entspricht die Höhe einer Säule der des jeweiligen Merkmals. Damit die Höhen ehrlich vergleichbar bleiben, beginnt die senkrechte Achse bei . Beim wird stattdessen für jedes Merkmal ein Kreisausschnitt gezeichnet: Derselbe Anteil an der Grundgesamtheit wird als derselbe Anteil am Vollwinkel von abgetragen.

Merksatz: Säule → Höhe, Kreis → Winkel.

A2Vom Anteil zum WinkelAFB I

Die Formel \(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot 360^\circ\) einmal direkt angewendet.

In einer Umfrage unter n = 36 Personen nennen H = 9 Personen Hund als Lieblingstier. Welcher Mittelpunktswinkel gehört zu diesem Merkmal? Gib nur die Zahl in Grad an.

Erst den Anteil bilden: \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\). Dann mit 360° multiplizieren.

A3Vom Winkel zum gekürzten AnteilAFB II

In einem Kreisdiagramm hat ein Kreisausschnitt den Mittelpunktswinkel \(\alpha=135^\circ\).

Trage den zugehörigen Anteil \(h=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) als vollständig gekürzten Bruch ein.

\(\dfrac{135}{360}=\dfrac{27}{72}=\dfrac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%\). Der größte gemeinsame Teiler von 135 und 360 ist 45. Merkhilfe: \(90^\circ\) sind ein Viertel, \(135^\circ\) liegen genau in der Mitte zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\), also zwischen einem Viertel und einer Hälfte — und \(\frac38\) liegt genau zwischen \(\frac28\) und \(\frac48\).

A4Ein Kreisdiagramm Schritt für SchrittAFB I

Sechs Arbeitsschritte führen von der Häufigkeitstabelle zum fertigen Kreisdiagramm.

Bringe die sechs Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Den Stichprobenumfang n bestimmen: alle absoluten Häufigkeiten addieren.

2Für jedes Merkmal den Anteil an der Grundgesamtheit berechnen.

3Jeden Anteil mit 360° multiplizieren — das ergibt den Mittelpunktswinkel.

4Kontrolle: Die Summe aller Winkel muss 360° ergeben.

5Kreis mit dem Zirkel zeichnen und eine Startlinie nach oben einzeichnen.

6Die Winkel mit dem Geodreieck im Uhrzeigersinn abtragen und die Sektoren beschriften.

Gerechnet wird komplett fertig, bevor der Zirkel angesetzt wird — die Kontrolle mit 360° kommt noch vor dem Zeichnen.

A5Mittelpunktswinkel und Anteil verbindenAFB II

Verbinde jeden Mittelpunktswinkel mit dem Anteil, den der zugehörige Kreisausschnitt am ganzen Kreis hat. Alle Anteile sind vollständig gekürzt.

Klicke links einen Winkel an und dann rechts den passenden Anteil.

Immer \(h=\frac{\alpha}{360^\circ}\): \(\frac{30}{360}=\frac{1}{12}\), \(\frac{45}{360}=\frac18\), \(\frac{72}{360}=\frac15\), \(\frac{120}{360}=\frac13\), \(\frac{216}{360}=\frac35\). Die drei Winkel \(72^\circ\), \(120^\circ\) und \(216^\circ\) lohnen sich als Merkwerte: ein Fünftel, ein Drittel, drei Fünftel.

A6Stimmt das so?AFB I

Fünf Aussagen zum Zeichnen von Diagrammen. Entscheide jeweils, ob sie zutreffen.

Richtig oder falsch?

Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch.

A7Schulweg-Umfrage: Tabelle vollständig ausrechnenAFB II

Eine Umfrage unter \(n=360\) Personen zum Schulweg ergibt: Bus 120, Rad 90, zu Fuß 108, Auto 42.

Vervollständige die Tabelle. Prozentwerte auf eine Dezimale runden, Winkel in Grad ohne Einheit eintragen.

Fülle alle Felder aus. Die letzte Zeile ist die Kontrolle: Die Häufigkeiten ergeben \(n\), die Anteile 100 %, die Winkel \(360^\circ\).

\(H\)	Anteil \(h\) in %	Mittelpunktswinkel \(\alpha\) in °
Bus
Rad
zu Fuß
Auto
zusammen

\(\alpha=\frac{H}{n}\cdot 360^\circ\). Hier ist \(n=360\), deshalb gilt die Hübschheit \(\alpha=H\) in Grad — jede Person ist genau ein Grad wert. Das ist kein Zufall, sondern der Grund, warum 360 in Aufgaben so beliebt ist: \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\) hat sehr viele Teiler. Die Prozentwerte gehen dagegen nicht auf: \(\frac{120}{360}=33{,}\overline{3}\,\%\) und \(\frac{42}{360}=11{,}\overline{6}\,\%\). Gerundet ergeben die vier Prozentwerte 100,0 % — bei anderen Zahlen können dort 99,9 % oder 100,1 % stehen, das ist normal.

A8Sechs Anteile, drei WinkelAFB II

Jede Karte gibt einen Anteil an der Grundgesamtheit an — nur in unterschiedlicher Schreibweise.

Sortiere jede Karte in den Korb mit dem passenden Mittelpunktswinkel. Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.

145°

260°

390°

3 von 24 lässt sich mit 3 kürzen, 5 von 30 mit 5 und 2 von 8 mit 2. Danach jeweils mit 360° multiplizieren.

A9Vier Winkel für ein KreisdiagrammAFB II

Eine Erhebung mit \(n=250\) Personen ergibt die absoluten Häufigkeiten 75, 50, 100 und 25.

Berechne die vier Mittelpunktswinkel und die Kontrollsumme.

Trage alle Winkel in Grad ein, ohne Einheit. Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(H=75\ \Rightarrow\ \alpha=\)\(H=50\ \Rightarrow\ \alpha=\)\(H=100\ \Rightarrow\ \alpha=\)\(H=25\ \Rightarrow\ \alpha=\)Summe der vier Winkel =

\(\alpha=\frac{H}{250}\cdot 360^\circ=1{,}44\cdot H\). Also \(75\cdot 1{,}44=108\), \(50\cdot 1{,}44=72\), \(100\cdot 1{,}44=144\), \(25\cdot 1{,}44=36\). Die Summe \(108+72+144+36=360\) ist die Standardkontrolle: Stimmt sie nicht, ist entweder eine Auspägung vergessen worden oder ein Winkel falsch gerechnet. Wer den Faktor 1,44 einmal bestimmt, spart sich vier Einzelbrüche.

A10Welches Diagramm passt zu welchen Daten?AFB II

Sechs Datensätze — entscheide jeweils, welche Darstellung die Information ehrlicher transportiert.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die besser passt. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Datensatz	Säulendiagramm	Kreisdiagramm
Blutgruppen A, B, AB und 0 aller Schülerinnen und Schüler einer Schule
Einwohnerzahlen von zwölf niedersächsischen Städten
Sitzverteilung im Landtag nach der Wahl
Mittagstemperatur an 30 aufeinanderfolgenden Tagen
Marktanteile der fünf größten Handyhersteller
Zuschauerzahlen von sechs Heimspielen

Faustregel: Zerlegt der Datensatz ein Ganzes in Teile, passt das Kreisdiagramm. Sollen einzelne Werte der Größe nach verglichen werden, passt das Säulendiagramm.

A11Fünf Diagramm-Befunde beurteilenAFB II

Fünf Beobachtungen an Diagrammen. Ordne jeder Beobachtung die richtige Folgerung zu.

Wähle in jeder Zeile die passende Folgerung.

Folgerung
Die senkrechte Achse beginnt bei 30 statt bei 0.
Die Säulen haben unterschiedliche Breiten.
Auf der waagerechten Achse stehen die Merkmalsausprägungen ohne Zahlenskala.
Die Winkel eines Kreisdiagramms ergeben zusammen 350°.
Verglichen werden sollen die absoluten Häufigkeiten zweier verschieden großer Erhebungen.

Das Kreisdiagramm zeigt immer nur Anteile am eigenen Ganzen: Zwei Kreise gleicher Größe können 50 und 5 000 Personen darstellen. Für den Vergleich von Anzahlen ist deshalb das Säulendiagramm die richtige Wahl. Und eine Winkelsumme von \(350^\circ\) ist nie Rundung: Rundungsfehler bewegen sich im Bereich von einem Grad, nicht von zehn.

A12Vom Winkel zurück zur HäufigkeitAFB II

Diesmal ist der Mittelpunktswinkel gegeben und die absolute Häufigkeit gesucht.

In einem Kreisdiagramm zu einer Stichprobe vom Umfang n = 200 misst du bei einem Merkmal einen Mittelpunktswinkel von 54°. Wie viele Personen der Stichprobe gehören zu diesem Merkmal? Gib nur die Anzahl an.

Rückwärts rechnen: \(\dfrac{54^\circ}{360^\circ}=0{,}15\). Dieser Anteil von 200 ergibt die gesuchte absolute Häufigkeit.

A13Ein Kreisdiagramm entstehen lassenAFB II

Eine Erhebung mit \(n=200\) Personen soll als Kreisdiagramm gezeichnet werden. Arbeite dich Schritt für Schritt durch.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Der Weg ist immer derselbe: \(n\) → Anteil \(h=\frac{H}{n}\) → Winkel \(\alpha=h\cdot 360^\circ\) → abtragen → Winkelsumme prüfen. Die Falle in Schritt 2 ist der Griff zur absoluten Häufigkeit: 35 ist die Anzahl, nicht der Anteil.

A14Schulweg: 240 BefragteAFB II

Auf die Frage nach dem Schulweg antworten 80 Personen „Bus“, 60 Personen „Fahrrad“ und 100 Personen „zu Fuß“. Andere Antworten gab es nicht.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Erst n bilden: 80 + 60 + 100 = 240. Dann jeweils \(\dfrac{H}{240}\cdot 360^\circ\): 120°, 90° und 150°. Zusammen sind das 360°.

A15Die Umrechnungsformel selbst aufstellenAFB II

Bei einer Erhebung mit \(n=240\) soll aus jeder absoluten Häufigkeit \(H\) direkt der Mittelpunktswinkel berechnet werden.

Gib eine möglichst einfache Formel für \(\alpha\) in Abhängigkeit von \(H\) an. Schreibe die Variable als H, Malzeichen darfst du weglassen.

Gib den Term ein, zum Beispiel in der Form 2H oder H/4. Enter prüft.

\(\alpha=\dfrac{H}{240}\cdot 360^\circ=H\cdot\dfrac{360}{240}=1{,}5\,H\). Der Bruch \(\frac{360}{n}\) ist der Gradwert einer einzelnen Person: Bei \(n=240\) steuert jede Person \(1{,}5^\circ\) bei. Kontrolle: \(H=240\) ergibt \(360^\circ\), \(H=80\) ergibt \(120^\circ\). Wer stattdessen \(\frac{240}{360}H=\frac23 H\) rechnet, hat den Bruch gestürzt — dann käme bei \(H=240\) nur \(160^\circ\) heraus.

A16Rückweg: vom Winkel zur HäufigkeitAFB III

Ein Kreisdiagramm stellt eine Erhebung mit \(n=480\) Personen dar. Einer der Ausschnitte hat den Mittelpunktswinkel \(\alpha=75^\circ\).

Arbeite dich vom Winkel zurück zur absoluten Häufigkeit.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet.

Anteil dieses Ausschnitts in Prozent, auf zwei Dezimalen: \(\frac{75}{360}\cdot 100=\)
Absolute Häufigkeit dieses Ausschnitts: \(\frac{75}{360}\cdot 480=\)
Winkel des gesamten übrigen Kreises in Grad =
Absolute Häufigkeit aller übrigen Personen =
Wie viele Personen entsprechen genau einem Grad? (auf zwei Dezimalen)

\(\frac{75}{360}=0{,}208\overline{3}\), also rund 20,83 %; davon 480 Personen: \(0{,}208\overline{3}\cdot 480=100\) — hier geht es exakt auf, obwohl der Prozentwert krumm ist. Deshalb lohnt es sich, mit dem Bruch \(\frac{75}{360}\) weiterzurechnen und erst am Ende zu runden. Der Rest: \(360-75=285\) und \(480-100=380\). Ein Grad entspricht \(\frac{480}{360}=1{,}\overline{3}\approx 1{,}33\) Personen — der Kehrwert des Gradwerts einer Person.

A17Vier Kreisdiagramme lesenAFB III

Jedes der vier Diagramme zerlegt denselben Kreis anders. Die Startlinie zeigt jeweils senkrecht nach oben, abgetragen wird im Uhrzeigersinn.

Vier Fragen zu den vier Kreisdiagrammen — klicke jeweils das passende Diagramm an, mit der Maus oder mit Tab und Enter.

Ein Viertel entspricht 90°, ein Drittel 120°, die Hälfte 180°. Bei 1 : 2 : 3 müssen die Winkel 60°, 120° und 180° sein — zusammen wieder 360°.

A18Sechs Winkelrechnungen prüfenAFB III

Drei der sechs Rechnungen enthalten einen Fehler. Markiere genau diese Zeilen und trage den richtigen Winkel ein (in Grad, ohne Einheit).

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf.

Zeile 2: \(\frac{50}{250}=0{,}2\Rightarrow 72^\circ\); die 20 ist der Prozentwert, nicht der Winkel — ein sehr häufiger Fehler. Zeile 4: \(\frac{30}{90}=\frac13\Rightarrow 120^\circ\). Zeile 6: \(\frac{45}{150}=0{,}3\Rightarrow 108^\circ\); die 27 entsteht, wenn man \(\frac{45}{150}\cdot 90\) rechnet, also mit dem Viertelkreis statt dem Vollkreis. Faustkontrolle: Ein Drittel muss \(120^\circ\) geben, ein Viertel \(90^\circ\) — damit lassen sich alle sechs Zeilen im Kopf einordnen.

A19Fehler im LösungswegAFB III

Jemand erstellt ein Kreisdiagramm zu einer Umfrage unter 80 Personen. Zwei der sechs Zeilen sind falsch.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Beide Fehler haben dieselbe Ursache: Prozent und Vollwinkel werden verwechselt. Der Anteil ist in beiden Fällen derselbe — nur der Faktor unterscheidet sich: 100 für Prozent, 360° für den Kreis.

A20Winkel zum Vollkreis ergänzenAFB III

Aus einer Erhebung sind neun mögliche Mittelpunktswinkel übrig geblieben. Gesucht ist eine Auswahl, deren Winkel zusammen genau einen Vollkreis ergeben.

Wähle Winkel an oder ab, bis die Summe \(360^\circ\) beträgt.

Klicke die Winkel an oder ab — die Summe rechnet live mit. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um.

0

Ziel: 360 °

Es gibt mehrere Lösungen, zum Beispiel \(108+72+90+60+30=360\) oder \(135+90+72+45+15+... \) — probiere ruhig weiter. Ein nützlicher Trick: Rechne die Winkel in Anteile um, dann suchst du Brüche, die sich zu 1 ergänzen: \(108^\circ=\frac{3}{10}\), \(72^\circ=\frac15\), \(90^\circ=\frac14\), \(60^\circ=\frac16\), \(30^\circ=\frac{1}{12}\) — und \(\frac{3}{10}+\frac15+\frac14+\frac16+\frac{1}{12}=1\). Jede Auswahl mit Winkelsumme \(360^\circ\) ist ein vollständiges Kreisdiagramm.

Übungen zu Säulen- und Kreisdiagramm

Übungsaufgaben