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Säulen- und Kreisdiagramm

Aus einer Häufigkeitstabelle wird ein Bild: die Höhe einer Säule zeigt die Häufigkeit, der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts den Anteil am Ganzen.

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Von der Tabelle zum Bild

Diagramme veranschaulichen die Ergebnisse einer Stichprobe. Beispiel: 40 Deutsche, 20 Franzosen und 60 Schweden, zusammen \(n=120\).

Die Häufigkeitstabelle, aus der alles entsteht
Merkmalsausprägungabsolute Häufigkeit HAnteil H : nDeutsche4040 : 120 = 1 DrittelSchweden6060 : 120 = 1 HalbFranzosen2020 : 120 = 1 SechstelSumme: Umfang n1201, also 100 %
Lies die Tabelle von unten nach oben. Erst der Umfang \(n=120\), dann jede einzelne absolute Häufigkeit, dann der Anteil. Genau in dieser Reihenfolge entstehen später auch die Mittelpunktswinkel.
  • Merkmal:die erhobene Eigenschaft — hier die Staatsangehörigkeit.
  • Merkmalsausprägung:ein möglicher Wert — hier „deutsch“, „französisch“ oder „schwedisch“.
  • Absolute Häufigkeit \(H\):Anzahl der Personen mit dieser Ausprägung; \([H]=1\).
  • Umfang \(n\):Anzahl aller Personen; hier \(n=120\).
  • Anteil \(h\):\(h=\dfrac{H}{n}\), z. B. \(\tfrac{40}{120}=\tfrac13\), \(\tfrac{20}{120}=\tfrac16\), \(\tfrac{60}{120}=\tfrac12\).
  • Zwei Wege:das Säulendiagramm übersetzt \(H\) in eine Höhe, das Kreisdiagramm \(h\) in einen Winkel.
Merke

Diagramm: Es übersetzt die Tabelle, die Zahlen bleiben dieselben.

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Das Säulendiagramm zeichnen

Die Höhe jeder Säule entspricht der Häufigkeit der Ausprägung. Alles Weitere ist Handwerk.

Säulendiagramm der 120 Personen
2040600HAnzahl der Personen40Deutsche60Schweden20FranzosenMerkmalsausprägungNulllinie
Ablesen ist reine Höhenmessung. Die Schwedensäule endet auf der Linie 60, die Deutschensäule auf 40, die Franzosensäule auf 20. Zusammen ergeben die drei Höhen wieder den Umfang \(n=120\) — eine schnelle Kontrolle.
Bauplan: fünf Dinge, die stimmen müssen
2040601Senkrechte Achse: gleichmäßige Skala, Größe benennen2Nulllinie: alle Säulen starten bei 03Gleiche Breite, gleiche Abstände4Jede Säule bekommt ihren Namen5Hilfslinien erleichtern das AblesenMerkmal AMerkmal BMerkmal C
Diese fünf Punkte gehen der Reihe nach durch. Wer sie abarbeitet, bevor die erste Säule gezeichnet wird, muss das Diagramm nicht noch einmal neu anlegen.
  • Senkrechte Achse:Häufigkeit \(H\) mit gleichmäßiger Skala, z. B. 0, 20, 40, 60 und Zwischenstriche.
  • Nulllinie:alle Säulen beginnen bei 0 — sonst täuscht der Höhenvergleich.
  • Waagerechte Achse:Namen der Ausprägungen mit Markierungsstrich, keine Zahlenskala.
  • Gleiche Breite:gleich breite Säulen mit gleichen Abständen.
  • Reihenfolge:bei Ausprägungen ohne Rangfolge frei wählbar, z. B. nach Höhe sortiert.
  • Kontrolle:Summe der Säulenhöhen: \(40+60+20=120=n\).
Merke

Säulendiagramm: Höhe der Säule = absolute Häufigkeit \(H\)

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Vom Anteil zum Mittelpunktswinkel

Beim Kreisdiagramm bekommt jede Ausprägung einen Kreisausschnitt. Sein Winkel am Mittelpunkt ist derselbe Anteil am Vollwinkel \(360^\circ\).

  • Vollwinkel:der ganze Kreis steht für den Umfang \(n\), also für \(360^\circ\).
  • Einheit:\([\alpha]=1^\circ\).
  • Deutsche:\(\tfrac{40}{120}\cdot360^\circ=\tfrac13\cdot360^\circ=120^\circ\).
  • Schweden:\(\tfrac{60}{120}\cdot360^\circ=\tfrac12\cdot360^\circ=180^\circ\).
  • Franzosen:\(\tfrac{20}{120}\cdot360^\circ=\tfrac16\cdot360^\circ=60^\circ\).
  • Kontrolle:\(120^\circ+180^\circ+60^\circ=360^\circ\).
  • Zeichnen:Startlinie senkrecht nach oben, Winkel mit dem Geodreieck im Uhrzeigersinn abtragen, Sektoren beschriften.
Kreisdiagramm mit allen drei Mittelpunktswinkeln
Startlinie120°Deutsche180°Schweden60°FranzosenMittelpunktswinkelDeutsche: 40 von 1201 Drittel von 360°120°Schweden: 60 von 1201 Halb von 360°180°Franzosen: 20 von 1201 Sechstel von 360°60°Kontrolle120° + 180° + 60° = 360°
Der halbe Kreis gehört den Schweden. Das ist kein Zufall, sondern die Ablesehilfe schlechthin: \(180^\circ\) heißt die Hälfte, \(120^\circ\) ein Drittel, \(90^\circ\) ein Viertel und \(60^\circ\) ein Sechstel.
Merke

Mittelpunktswinkel: \(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot 360^\circ\)

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Welches Diagramm wann?

Beide Diagramme enthalten dieselben Zahlen, betonen aber Verschiedenes. Wähle nach der Frage, die du beantworten willst.

Zwei Darstellungen, zwei Aufgaben
SäulendiagrammKreisdiagrammHäufigkeiten direkt vergleichenauch bei vielen Ausprägungen lesbarTeile müssen sich nicht zu 100 % ergänzenAnteile am Ganzen zeigennur bei wenigen Ausprägungen übersichtlichalle Teile ergänzen sich zu 100 %Kontrolle: Summe der Säulenhöhen = nKontrolle: Summe der Winkel = 360°Beispiel: Einwohnerzahlen von zwölf StädtenBeispiel: Sitzverteilung eines Parlaments
Die Kontrollzeile unten in jeder Karte ist der eigentliche Merksatz. Beim Säulendiagramm summieren sich die Höhen zum Umfang \(n\), beim Kreisdiagramm die Winkel zu \(360^\circ\).
  • Säulendiagramm:Häufigkeiten direkt vergleichen, auch bei vielen Ausprägungen.
  • Kreisdiagramm:Anteile am Ganzen zeigen, am besten bei drei oder vier Ausprägungen.
  • Bedingung:für ein Kreisdiagramm müssen sich die Teile zum Ganzen ergänzen — Tagestemperaturen tun das nicht.
  • Beispiel:„Wie viele Schweden mehr?“ zeigt die Säule: \(60-40=20\). „Mehrheit?“ zeigt der Kreis: genau \(180^\circ\), also keine Mehrheit.
  • Beschriftung:Achsen, Skala, Sektornamen und bei echten Daten Quelle und Umfang angeben.
Merke

Kreisdiagramm: nur wenn sich alle Teile zu 100 % ergänzen

Stelle die absoluten Häufigkeiten für bis zu fünf AGs ein. Umfang, Anteile und Mittelpunktswinkel entstehen live mit.

Kreisdiagramm-Bauer

Fünf Arbeitsgemeinschaften stehen zur Wahl. Stelle die absoluten Häufigkeiten ein — mit dem Regler, über das Zahlenfeld oder direkt im Kreis. Umfang, Anteil und Mittelpunktswinkel werden bei jeder Änderung neu berechnet, und die Winkelsumme unten dient dir als Kontrolle.

Kreisdiagramm aus bis zu fünf Sektoren. Die Startlinie zeigt senkrecht nach oben, die Sektoren folgen im Uhrzeigersinn; jeder Sektor trägt den Namen seiner Arbeitsgemeinschaft.
Umfang n
24
Gewählte AGs
5

Verstelle einen Regler, um zu sehen, wie sich der Kreis teilt.

ArbeitsgemeinschaftReglerHAnteilWinkel
Fußball——
Volleyball——
Klettern——
Schwimmen——
Tanzen——
Kontrolle — Summe aller Mittelpunktswinkel:360°

Bedienung mit der Tastatur: mit Tab zu einem Regler oder in den Kreis springen. Auf einem Regler und auf einem Sektor ändern ← und → beziehungsweise ↑ und ↓ die Häufigkeit um 1. Enter auf einem Sektor liest Häufigkeit, Anteil und Winkel vor; im Zahlenfeld übernimmt Enter den eingetippten Wert.

Halte fest: Ändert sich ein einziges \(H\), ändern sich alle Winkel, weil auch \(n\) wächst. Die Winkelsumme bleibt \(360^\circ\).

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Allgemeine Hinweise

Achse bei null

Beginnt die senkrechte Achse bei 30, wirken Unterschiede vielfach größer. Alle Säulen starten bei 0.

Winkelsumme prüfen

Addiere alle Mittelpunktswinkel. Weicht die Summe um mehr als Rundung von \(360^\circ\) ab, steckt ein Fehler drin.

Erst kürzen

Aus \(\tfrac{40}{120}=\tfrac13\) liest du \(120^\circ\) direkt ab. So brauchst du oft keinen Taschenrechner.

Zum Weiterschauen

Videos

Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.

Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.