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Textaufgaben: Säulen- und Kreisdiagramm erstellen

Fünf Sachaufgaben auf Abiturniveau — von der Wahlalter-Umfrage bis zu den Einschaltquoten einer Samstagabendshow, jede mit Hinweisen und Erwartungshorizont.

1

Wahlalter bei Bundestagswahlen

AFB II

„In einer Umfrage aus dem Spätsommer 2015 wurden 716 Menschen gefragt, ob Sie es befürworten würden, wenn das Wahlalter bei Bundestagswahlen auf 16 abgesenkt werden würde:“ Die Antworten sind nach Altersgruppen aufgeschlüsselt (Material M1). Die Buchaufgabe lautet: „Stellen Sie jeweils einen Datensatz für eine Altersgruppe und für eine Antwortmöglichkeit in einem geeigneten Kreisdiagramm (Säulendiagramm) dar. Nennen Sie Vorteile und Nachteile der grafischen Darstellungen gegenüber einer Tabelle.“

M1Umfrage zum Wahlalter — Altersgruppen in Jahren
Antwortmöglichkeit16–1718–2930–4445–5960 und älterIch fände 16 Jahre besser.1125202619Es soll bei 18 Jahren bleiben.772110159211Unentschieden, keine Angabe313121513Spaltensumme21110142200243
Die Kopfzeile trägt im Buch die Überschrift „Altersgruppen in Jahren“. Die grüne Zeile ist ergänzt und dient als Kontrolle: Alle Spaltensummen zusammen ergeben 716.
  1. Berechnen Sie für die Altersgruppe 18–29 die drei Mittelpunktswinkel eines Kreisdiagramms (eine Nachkommastelle) und überprüfen Sie die Summe.
  2. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm für die Antwortmöglichkeit „Es soll bei 18 Jahren bleiben.“ und begründen Sie, warum hier kein Kreisdiagramm passt.
  3. Nennen Sie Vorteile und Nachteile der grafischen Darstellungen gegenüber der Tabelle.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimme zuerst den Umfang dieser Spalte: \(n\) ist hier die Zahl der Befragten in der Altersgruppe 18–29, nicht 716. Danach gilt für jede Antwortmöglichkeit \(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot 360^\circ\).„Berechnen“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis; „Überprüfen“ verlangt die Summenkontrolle auf \(360^\circ\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zuerst der Umfang dieser Spalte: \(n = 25 + 72 + 13 = 110\). Damit ist \(n\) die Zahl der Befragten in dieser Altersgruppe — nicht 716.

\(\alpha_{16} = \dfrac{25}{110}\cdot 360^\circ \approx 81{,}8^\circ\), \(\alpha_{18} = \dfrac{72}{110}\cdot 360^\circ \approx 235{,}6^\circ\), \(\alpha_{\text{unentschieden}} = \dfrac{13}{110}\cdot 360^\circ \approx 42{,}5^\circ\).

Kontrolle: \(81{,}8^\circ + 235{,}6^\circ + 42{,}5^\circ = 360{,}0^\circ\). Die Abweichung von \(0{,}1^\circ\) kommt allein vom Runden auf eine Nachkommastelle und ist in Ordnung.

Hinweis zu Aufgabe b)
Die fünf Säulenhöhen stehen direkt in der Zeile „Es soll bei 18 Jahren bleiben.“. Die senkrechte Achse beginnt bei null. Überlege für die Begründung: Wofür steht der ganze Kreis in einem Kreisdiagramm — und bilden die fünf Altersgruppen hier ein solches Ganzes?„Zeichnen“ verlangt Achsenbeschriftung und Maßstab, nicht nur die Balken.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Fünf gleich breite Säulen mit den Höhen 7, 72, 110, 159 und 211. Die senkrechte Achse beginnt bei null und wird bis mindestens 220 beschriftet, sinnvoll in Schritten von 50.

Ein Kreisdiagramm wäre hier die schlechtere Wahl: Die fünf Altersgruppen sind unterschiedlich stark besetzt, ein Kreis würde also einen Vergleich suggerieren, den die Daten nicht hergeben.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche drei Punkte: Wo sieht man Größenverhältnisse schneller? Wo stehen die exakten Zahlen? Und wo kann die Wahl von Maßstab und Achsenausschnitt den Eindruck verändern?„Nennen“ verlangt eine Aufzählung; je zwei Punkte pro Seite genügen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Vorteile der Grafik: Größenverhältnisse sieht man auf einen Blick — dass die Älteren deutlich häufiger bei 18 Jahren bleiben wollen, springt aus dem Säulendiagramm sofort ins Auge. Nachteile: Die genauen Zahlen gehen verloren, man liest sie nur ungefähr ab; und die Wahl von Maßstab und Achsenausschnitt kann den Eindruck stark verändern. Die Tabelle bleibt exakt, zeigt aber keine Verhältnisse.

Antwortsatz: In der Altersgruppe der 18- bis 29-Jährigen sprechen sich rund zwei Drittel der Befragten (\(235{,}6^\circ\) von \(360^\circ\)) dafür aus, das Wahlalter bei 18 Jahren zu belassen.

2

Juniorwahl 2017

AFB II

„Um Jugendliche für Politik zu interessieren, wird vor der Bundestagswahl die Juniorwahl für Jugendliche zwischen 15 und 17 Jahren durchgeführt. Ca. 1 Million Stimmen wurden abgegeben. Dabei kam es 2017 zu nebenstehendem Ergebnis. Stellen Sie das Ergebnis in einem Kreisdiagramm dar. Nennen Sie Vor- und Nachteile der unterschiedlichen Darstellungen.“ Die Prozentwerte stehen in Material M1.

M1Juniorwahl 2017 — Ergebnis in Prozent
ParteiAnteilUnion27 %SPD19,3 %Linke7,3 %Grüne17,9 %FDP8,8 %AfD6 %Andere13,7 %Summe100 %
Im Buch stehen diese Werte über den Säulen eines Säulendiagramms mit einer Prozentskala von 5 % bis 30 %.
  1. Berechnen Sie alle sieben Mittelpunktswinkel und überprüfen Sie die Summe.
  2. Beschreiben Sie, wie Sie das Kreisdiagramm mit Zirkel und Geodreieck zeichnen.
  3. Vergleichen Sie Kreis- und Säulendiagramm: Wofür eignet sich welche Darstellung?
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Anteile stehen bereits in Prozent da. Wegen \(\dfrac{360^\circ}{100} = 3{,}6^\circ\) kürzt sich die Formel zu \(\alpha = p\cdot 3{,}6^\circ\).„Überprüfen“ verlangt hier die Summenkontrolle — sie muss exakt \(360^\circ\) ergeben, weil nirgends gerundet wurde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Abkürzung für Prozentangaben: Der Anteil steht bereits als \(\dfrac{p}{100}\) da. Wegen \(\dfrac{360^\circ}{100} = 3{,}6^\circ\) gilt also einfach \(\alpha = p\cdot 3{,}6^\circ\).

\(\alpha_{\text{Union}} = 97{,}2^\circ\), \(\alpha_{\text{SPD}} = 69{,}48^\circ\), \(\alpha_{\text{Linke}} = 26{,}28^\circ\), \(\alpha_{\text{Gruene}} = 64{,}44^\circ\), \(\alpha_{\text{FDP}} = 31{,}68^\circ\), \(\alpha_{\text{AfD}} = 21{,}6^\circ\), \(\alpha_{\text{Andere}} = 49{,}32^\circ\).

Kontrolle: \(97{,}2^\circ + 69{,}48^\circ + 26{,}28^\circ + 64{,}44^\circ + 31{,}68^\circ + 21{,}6^\circ + 49{,}32^\circ = 360^\circ\). Die Summe stimmt exakt, weil die Prozentwerte zusammen genau 100 % ergeben und nirgends gerundet wurde.

Hinweis zu Aufgabe b)
Beginne mit einer Startlinie senkrecht nach oben und trage die Winkel der Reihe nach ab: Jeder neue Winkel wird an der zuletzt gezeichneten Linie angelegt, nicht wieder an der Startlinie.„Beschreiben“ verlangt eine vollständige, geordnete Anleitung — auch die Rundung beim Abtragen gehört dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Kreis mit Zirkel, Startlinie senkrecht nach oben, dann im Uhrzeigersinn abtragen: erst \(97{,}2^\circ\) für die Union, ab dieser Linie die nächsten \(69{,}48^\circ\) für die SPD und so weiter. Beim Geodreieck wird auf halbe Grad genau abgetragen — \(69{,}48^\circ\) zeichnet man als \(69{,}5^\circ\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Frage bei jeder Darstellung: Vergleicht sie die Teile untereinander oder jeden Teil mit dem Ganzen? Genau darin unterscheiden sich Säulen und Kreis.„Vergleichen“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede nach einem klaren Kriterium.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Säulendiagramm des Buches eignet sich zum Vergleich der Parteien untereinander: Man sieht sofort, dass die Union etwa anderthalbmal so viele Stimmen holt wie die Grünen. Das Kreisdiagramm zeigt dafür etwas, das die Säulen verschweigen: wie sich die Stimmen auf das Ganze verteilen — dass „Andere“ zusammen fast so viel Kreis belegen wie die SPD. Genaue Werte sind in beiden Darstellungen schlechter ablesbar als in der Tabelle.

Antwortsatz: Im Kreisdiagramm der Juniorwahl 2017 nimmt die Union mit \(97{,}2^\circ\) den größten Sektor ein; alle sieben Sektoren ergeben zusammen den vollen Kreis von \(360^\circ\).

3

Sonntagsfrage: vom Prozentwert zum Sektor

AFB II

„Bei der Sonntagsfrage stellen Meinungsforschungsinstitute regelmäßig mindestens 1 000 Bundesbürgern die Frage: ‚Welche Partei würden Sie wählen, wenn am kommenden Sonntag Bundestagswahl wäre?‘“ Im Buch ist dazu ein Kreisdiagramm abgedruckt (Material M1). Darunter steht die Quellenangabe: „Angaben in Prozent. 2505 Befragte vom 25. bis 29.9.2017. Fehlertoleranz: +/− 2,5 Prozentpunkte. Auftraggeber: stern und RTL. Quelle: Forsa“.

M1Sonntagsfrage — Ergebnis in Prozent
ParteiAnteilMittelpunktswinkelCDU/CSU32 %115,2°SPD20 %72°AfD12 %43,2°FDP11 %39,6°Die Linke10 %36°Grüne10 %36°Sonstige5 %18°Summe100 %360°
Die Prozentwerte stehen im Buch, die Winkelspalte ist das Ergebnis dieser Aufgabe.
  1. Weisen Sie nach, wie die sieben Mittelpunktswinkel des abgedruckten Diagramms zustande kommen.
  2. Erklären Sie, warum der Stichprobenumfang \(n = 2505\) für die Berechnung der Winkel keine Rolle spielt — und wofür er trotzdem wichtig ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne mit \(\alpha = \dfrac{p}{100}\cdot 360^\circ = p\cdot 3{,}6^\circ\) und schreibe die Rechnung für jede Partei einzeln auf. Zwei Parteien haben denselben Prozentwert — das erspart eine Rechnung.„Nachweisen“ verlangt, dass die abgedruckten Winkel durch eigene Rechnung bestätigt werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für jede Partei gilt \(\alpha = \dfrac{p}{100}\cdot 360^\circ = p\cdot 3{,}6^\circ\):

\(\alpha_{\text{CDU/CSU}} = 32\cdot 3{,}6^\circ = 115{,}2^\circ\), \(\alpha_{\text{SPD}} = 20\cdot 3{,}6^\circ = 72^\circ\), \(\alpha_{\text{AfD}} = 12\cdot 3{,}6^\circ = 43{,}2^\circ\), \(\alpha_{\text{FDP}} = 11\cdot 3{,}6^\circ = 39{,}6^\circ\), \(\alpha_{\text{Linke}} = \alpha_{\text{Gruene}} = 10\cdot 3{,}6^\circ = 36^\circ\), \(\alpha_{\text{Sonstige}} = 5\cdot 3{,}6^\circ = 18^\circ\).

Kontrolle: \(115{,}2^\circ + 72^\circ + 43{,}2^\circ + 39{,}6^\circ + 36^\circ + 36^\circ + 18^\circ = 360^\circ\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze in \(\alpha = \dfrac{H}{n}\cdot 360^\circ\) einmal \(n = 2505\) und einmal \(n = 1000\) bei gleichem Anteil ein. Für den zweiten Teil der Frage lies die Fehlertoleranz in der Quellenangabe.„Erklären“ verlangt beide Richtungen: warum \(n\) herausfällt — und wofür es dennoch gebraucht wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

In die Winkelformel geht nur der Anteil ein. Ob 32 % von 2505 Personen oder 32 % von 1000 Personen gemeint sind: Der Anteil ist beide Male \(0{,}32\) und damit auch der Winkel derselbe. Anders gesagt: \(\dfrac{H}{n}\) kürzt den Umfang heraus.

Wichtig ist \(n\) trotzdem — aber für die Zuverlässigkeit. Genau darauf zielt die Fehlertoleranz von \(\pm 2{,}5\) Prozentpunkten in der Quellenangabe: Die 5 % der Sonstigen könnten in Wirklichkeit auch 2,5 % oder 7,5 % sein, ihr Sektor also zwischen \(9^\circ\) und \(27^\circ\) liegen. Bei kleinem \(n\) wäre diese Spanne noch größer. Das Kreisdiagramm zeichnet man scharf, obwohl die Daten unscharf sind — deshalb gehört die Quellenangabe unbedingt mit unter das Diagramm.

Antwortsatz: Die sieben Sektoren des Forsa-Diagramms messen 115,2°, 72°, 43,2°, 39,6°, 36°, 36° und 18°; zusammen ergeben sie den vollen Kreis. Die Winkel hängen allein von den Prozentanteilen ab, die Verlässlichkeit dieser Anteile dagegen von den 2505 Befragten.

4

Einschaltquoten einer Samstagabendshow

AFB III

„Nach den ersten Folgen einer neuen Samstagabendshow soll durch ein Umfrageinstitut ermittelt werden, ob die Show den Zuschauern gefällt. Da in den Pausen Werbezeiten verkauft werden, sind auch die Altersverteilung und das Geschlecht der Zuschauer interessant. Folgende Einschaltzahlen wurden erfasst:“ (Material M1). Die Buchaufgabe lautet: „Stellen Sie die Daten geeignet grafisch dar. Ermitteln Sie die Zusammensetzung einer repräsentativen Stichprobe, wenn etwa 1 000 Personen befragt werden sollen.“

M1Einschaltzahlen der Samstagabendshow
Alter der Zuschauermännlichweiblich14–20123 252104 34421–351 748 2151 245 10936–491 305 418898 54149–65749 556801 438über 65508 174403 964Summe4 434 6153 453 396
Die Altersgruppen „36–49“ und „49–65“ überschneiden sich — so steht es im Buch. Die Summenzeile ist ergänzt; insgesamt sind es 7 888 011 Zuschauer.
  1. Entscheiden Sie begründet, welche Diagrammarten zu diesen Daten passen, und berechnen Sie die beiden Mittelpunktswinkel eines Kreisdiagramms „männlich / weiblich“ (eine Nachkommastelle).
  2. Ermitteln Sie die Zusammensetzung einer repräsentativen Stichprobe von etwa 1 000 Personen.
  3. Beurteilen Sie die Einteilung der Altersgruppen in der Buchtabelle.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinter der Tabelle stehen zwei verschiedene Fragen: der Vergleich der Altersgruppen und die Aufteilung nach Geschlecht. Für jede Frage passt eine andere Diagrammart. Bestimme für die Winkel zuerst \(n\) als Summe beider Spalten.„Entscheiden“ verlangt eine Festlegung mit Begründung, nicht nur die Nennung der Diagrammart.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Sinnvoll sind hier zwei Diagramme, weil zwei verschiedene Fragen dahinterstehen. Ein Säulendiagramm zeigt die fünf Altersgruppen im Vergleich, am besten mit zwei Säulen je Gruppe (männlich und weiblich nebeneinander). Die senkrechte Achse beginnt bei null und wird in Millionen beschriftet, sonst werden die Zahlen unlesbar. Ein Kreisdiagramm passt zur Aufteilung nach Geschlecht, weil dort ein Ganzes in zwei Teile zerlegt wird.

\(n = 4\,434\,615 + 3\,453\,396 = 7\,888\,011\)

\(\alpha_{\text{m}} = \dfrac{4\,434\,615}{7\,888\,011}\cdot 360^\circ \approx 202{,}4^\circ\), \(\alpha_{\text{w}} = \dfrac{3\,453\,396}{7\,888\,011}\cdot 360^\circ \approx 157{,}6^\circ\). Kontrolle: \(202{,}4^\circ + 157{,}6^\circ = 360{,}0^\circ\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Repräsentativ heißt: Jeder Anteil der Stichprobe stimmt mit dem Anteil in der Grundgesamtheit überein. Rechne für jedes der zehn Felder \(1000\cdot\dfrac{H}{7\,888\,011}\) und runde erst am Schluss auf ganze Personen.„Ermitteln“ verlangt mindestens eine vollständig gerechnete Zelle und das Gesamtergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Repräsentativ heißt: Jeder Anteil der Stichprobe stimmt mit dem Anteil in der Grundgesamtheit überein. Also rechnet man für jedes Feld der Tabelle \(\text{Anzahl} = 1000\cdot\dfrac{H}{7\,888\,011}\) und rundet auf ganze Personen.

Beispiel für die 21- bis 35-jährigen Männer: \(1000\cdot\dfrac{1\,748\,215}{7\,888\,011} \approx 221{,}6 \approx 222\) Personen.

Repräsentative Stichprobe mit rund 1 000 Personen
Altermännlichweiblichzusammen14–2016132921–3522215838036–4916511427949–6595102197über 656451115Summe5624381000
Alle Werte auf ganze Personen gerundet. Die Rundungen gleichen sich hier zufällig genau aus — die Summe ergibt exakt 1 000.

Antwortsatz: Von den rund 7,9 Millionen Zuschauern sind etwa 56 % männlich; im Kreisdiagramm entspricht das einem Sektor von rund 202,4°. Eine repräsentative Befragung von 1 000 Personen müsste 222 Männer und 158 Frauen im Alter von 21 bis 35 Jahren enthalten, aber nur 16 bzw. 13 Personen aus der Gruppe der 14- bis 20-Jährigen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Nimm eine Person, die genau 49 Jahre alt ist, und suche ihre Zeile. Formuliere anschließend die Bedingung, die Klassen erfüllen müssen.„Beurteilen“ verlangt ein Urteil mit fachlicher Begründung und einen Verbesserungsvorschlag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

„36–49“ und „49–65“ überlappen sich am Rand. Eine 49-jährige Person passt in beide Zeilen und wird doppelt gezählt oder willkürlich einer Gruppe zugeschlagen. Für eine saubere Erhebung müssten die Klassen lückenlos und überschneidungsfrei sein, etwa „36–49“ und „50–65“. Solange das nicht der Fall ist, sind auch die daraus berechneten Stichprobenzahlen für diese beiden Zeilen mit einem Vorbehalt zu versehen.

5

Projekt: die eigene Umfrage veröffentlichen

AFB III

„Planen Sie in Gruppen eine eigene Umfrage zu einem selbstgewählten Thema (z. B. zur Berufs- und Studienwahl, zu Medienkonsum, zu politischen oder gesellschaftlichen Themen). Überlegen Sie sich geeignete Kriterien, um eine möglichst repräsentative Umfrage durchführen zu können und führen Sie diese durch. Bereiten Sie Ihre Ergebnisse grafisch und sprachlich so auf, dass Sie auf der Schulhomepage oder in der Schülerzeitung veröffentlicht werden können.“ Beschränken Sie sich hier auf den grafischen Teil.

  1. Entscheiden Sie schon beim Entwurf des Fragebogens, welche Diagrammart zu welchem Fragetyp gehört, und begründen Sie die Zuordnung.
  2. Beschreiben Sie den Rechenweg für jedes Kreisdiagramm einschließlich der Kontrolle.
  3. Nennen Sie die Angaben, die unter jedem veröffentlichten Diagramm stehen müssen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Sortiere eure Fragen in drei Typen: Auswahlfrage mit sich ausschließenden Antworten, Vergleichsfrage über mehrere Gruppen, Mehrfachauswahl. Prüfe bei jedem Typ, ob die Antworten ein Ganzes bilden.„Entscheiden“ verlangt eine Festlegung vor der Erhebung, nicht erst bei der Auswertung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vorher entscheiden, nicht hinterher. Welche Diagramme gebraucht werden, steht schon beim Entwurf des Fragebogens fest — jede Frage bekommt ihre Darstellung zugewiesen:

  • AuswahlfrageEine Frage mit sich gegenseitig ausschließenden Antworten („Welches Medium nutzt du am häufigsten?“) zerlegt die Befragten in Teile eines Ganzen → Kreisdiagramm.
  • VergleichsfrageWenn mehrere Gruppen oder Zeitpunkte gegenübergestellt werden („Nutzungsdauer je Jahrgang“) → Säulendiagramm mit gleicher Balkenbreite und Nulllinie.
  • MehrfachauswahlDarf man mehrere Kreuze setzen, ist die Summe der Nennungen größer als \(n\). Ein Kreisdiagramm wäre dann falsch, denn die Winkel ergäben mehr als \(360^\circ\) → nur Säulendiagramm.
Hinweis zu Aufgabe b)
Achte darauf, was \(n\) hier ist: die Zahl der gültigen Antworten, nicht die Zahl der ausgeteilten Bögen.Zur Beschreibung gehört die Kontrolle auf \(360^\circ\) und der Hinweis, dass gerundet wurde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(n\) als Zahl der gültigen Antworten bestimmen (nicht als Zahl der ausgeteilten Bögen), dann \(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot 360^\circ\) für jede Antwortmöglichkeit, zum Schluss die Kontrolle auf \(360^\circ\). Wer rundet, notiert das ausdrücklich.

Hinweis zu Aufgabe c)
Nimm die Quellenangabe aus Aufgabe 3 als Vorbild: „Angaben in Prozent. 2505 Befragte vom 25. bis 29.9.2017.“ Was steht dort alles drin?„Nennen“ verlangt die vollständige Aufzählung, keine Erläuterung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
  • Frageder genaue Wortlaut der gestellten Frage, nicht nur ein Stichwort
  • Umfang\(n\), also die Zahl der ausgewerteten Antworten, und der Zeitraum der Erhebung
  • Gruppewer befragt wurde — ganze Schule, ein Jahrgang, eine Klasse; daraus wird sichtbar, worauf die Aussage überhaupt zutrifft
  • Einheitob die Zahlen absolute Häufigkeiten oder Prozentwerte sind
  • Rundungein Hinweis, falls die Anteile gerundet wurden und die Summe deshalb nicht exakt 100 % ergibt

Als Vorbild dient die Quellenangabe aus Aufgabe 3: „Angaben in Prozent. 2505 Befragte vom 25. bis 29.9.2017.“ Genau dieser Zweizeiler macht aus einem hübschen Bild eine nachprüfbare Aussage.

Häufigster Fehler beim Veröffentlichen: Ein Kreisdiagramm aus 14 Antworten sieht genauso überzeugend aus wie eines aus 1 400 Antworten. Der Kreis zeigt nur Anteile — wie belastbar sie sind, verrät allein das \(n\) in der Bildunterschrift.