Textaufgaben: Boxplots vergleichen

Linie 5: Minimum \(0\) · \(Q_1 = 2\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 4\) · \(Q_3 = 7\) · Maximum \(16\) (in min).

Linie 9: Minimum \(0\) · \(Q_1 = 3\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 5\) · \(Q_3 = 6\) · Maximum \(10\) (in min).

Linie 5: Boxbreite \(7 - 2 = 5\,\mathrm{min}\), Spannweite \(16 - 0 = 16\,\mathrm{min}\).

Linie 9: Boxbreite \(6 - 3 = 3\,\mathrm{min}\), Spannweite \(10 - 0 = 10\,\mathrm{min}\).

Lage: Der Medianstrich der Linie 5 liegt bei 4 Minuten und damit weiter links als der der Linie 9 bei 5 Minuten. Die Mitte der Verspätungen ist bei der Linie 5 also um eine Minute kleiner; in der Lage schneidet die Linie 5 besser ab.

Streuung: Hier ist es umgekehrt. Die Box der Linie 5 ist mit 5 Minuten breiter als die der Linie 9 mit 3 Minuten, ihre Spannweite ist mit 16 Minuten größer als die 10 Minuten der Linie 9, und vor allem ist ihre rechte Antenne mit \(16 - 7 = 9\,\mathrm{min}\) mehr als doppelt so lang wie die der Linie 9 mit \(10 - 6 = 4\,\mathrm{min}\). Die Linie 9 fährt also gleichmäßiger.

Station A: Boxbreite \(22 - 14 = 8\); Spannweite \(40 - 8 = 32\); Abschnitte \(14-8 = 6\), \(18-14 = 4\), \(22-18 = 4\), \(40-22 = 18\); Probe \(6+4+4+18 = 32\).

Station B: Boxbreite \(28 - 16 = 12\); Spannweite \(34 - 10 = 24\); Abschnitte \(6\), \(8\), \(4\), \(6\); Probe \(6+8+4+6 = 24\).

Station C: Boxbreite \(24 - 20 = 4\); Spannweite \(46 - 12 = 34\); Abschnitte \(8\), \(2\), \(2\), \(22\); Probe \(8+2+2+22 = 34\). Alle Angaben in \(\dfrac{\mu\mathrm{g}}{\mathrm{m}^3}\).

Station A: Die beiden Boxhälften sind mit je 4 Einheiten gleich breit, der Medianstrich sitzt genau mittig. Die Antennen sind dagegen sehr ungleich: 6 links gegen 18 rechts. Innerhalb der mittleren Hälfte ist die Verteilung symmetrisch, an den Rändern deutlich rechtsschief.

Station B: Der linke Boxteil ist mit 8 Einheiten doppelt so breit wie der rechte mit 4; der Medianstrich liegt also rechts von der Boxmitte. Das Viertel unterhalb des Medians streut stärker als das darüber — die Verteilung ist in der Box linksschief. Die Antennen sind mit je 6 Einheiten gleich lang.

Station C: Die beiden Boxhälften sind mit je 2 Einheiten gleich breit, die Antennen mit 8 und 22 Einheiten dagegen extrem ungleich. Die Hälfte aller Tage drängt sich in einem nur 4 Einheiten breiten Band, während das oberste Viertel über 22 Einheiten reicht — die stärkste Rechtsschiefe der drei Stationen.

Die Fragen nach der Höhe und nach der Gleichmäßigkeit führen zu verschiedenen Stationen.

Am höchsten belastet ist Station B. Ihr Median liegt mit 24 deutlich über denen von A (18) und C (22), vor allem aber ihr oberes Quartil mit 28 gegen 22 bei A und 24 bei C. An der Hälfte der Tage überschreitet B den Wert 24; die mittlere Hälfte ihrer Werte liegt insgesamt am weitesten rechts.

Am gleichmäßigsten ist die Lage nicht eindeutig. Gemessen an der Boxbreite ist Station C mit 4 Einheiten die gleichmäßigste, gemessen an der Spannweite mit 34 Einheiten aber die unruhigste von allen. Station B hat zwar die breiteste Box, dafür mit 24 Einheiten die kleinste Spannweite und die einzigen gleich langen Antennen: Sie schwankt insgesamt am wenigsten, liegt aber auf hohem Niveau.

Gesamtaussage: Station B ist dauerhaft am stärksten belastet, zeigt aber die berechenbarste Belastung. Die Stationen A und C liegen im Mittel niedriger, werden aber immer wieder von einzelnen sehr hohen Tageswerten getroffen — bei C ist das oberste Viertel mit 22 Einheiten über fünfmal so breit wie die ganze Box. Wer Spitzenwerte vermeiden will, muss an A und C ansetzen; wer die Dauerbelastung senken will, an B.

Gruppe P (\(n = 9\), ungerade): Median ist der 5. Wert, \(x_{\mathrm{Med}} = 6\). Untere Hälfte \(2;3;4;5\) mit \(Q_1 = \dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\); obere Hälfte \(7;8;9;10\) mit \(Q_3 = \dfrac{8+9}{2} = 8{,}5\); Minimum 2, Maximum 10.

Gruppe Q (\(n = 9\)): Median ist der 5. Wert, \(x_{\mathrm{Med}} = 6\). Untere Hälfte \(2;3;4;4\) mit \(Q_1 = \dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\); obere Hälfte \(8;8;9;10\) mit \(Q_3 = \dfrac{8+9}{2} = 8{,}5\); Minimum 2, Maximum 10.

Gruppe R (\(n = 21\), ungerade): Median ist der 11. Wert, \(x_{\mathrm{Med}} = 6\). Untere Hälfte sind die Positionen 1 bis 10, ihr Median ist das Mittel des 5. und 6. Wertes: \(Q_1 = \dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\). Obere Hälfte sind die Positionen 12 bis 21, ihr Median ist das Mittel des 5. und 6. Wertes dieser Hälfte, also der Positionen 16 und 17: \(Q_3 = \dfrac{8+9}{2} = 8{,}5\); Minimum 2, Maximum 10.

Alle drei liefern dieselben fünf Punkte \(2\) · \(3{,}5\) · \(6\) · \(8{,}5\) · \(10\) und damit exakt denselben Boxplot.

Der Stichprobenumfang geht verloren. Die Gruppen P und Q umfassen neun, Gruppe R einundzwanzig Personen. Der Boxplot zeichnet nur fünf Zahlen; die Anzahl der Werte geht in keine von ihnen ein. Zwei gleich aussehende Boxplots können daher aus sehr verschieden großen Stichproben stammen — und eine Aussage aus 21 Werten ist verlässlicher als eine aus 9.

Die Gestalt innerhalb der Viertel geht verloren. In Gruppe P sind die Werte gleichmäßig über den ganzen Bereich verteilt. In Gruppe Q dagegen ballen sie sich an zwei Stellen: vier Personen bei 2 bis 4 Stunden, vier Personen bei 8 bis 10 Stunden, und dazwischen liegt mit der 6 nur ein einziger Wert. Diese Zweigipfeligkeit ist statistisch höchst bedeutsam — sie deutet auf zwei verschiedene Typen von Ehrenamtlichen hin — und im Boxplot vollständig unsichtbar.

Der Grund liegt in der Konstruktion: Der Boxplot legt nur die vier Viertelgrenzen fest. Solange dieselben Positionen der Rangliste dieselben Werte tragen, darf sich zwischen den Grenzen alles beliebig verschieben, ohne dass sich die Zeichnung ändert.

1. Den Stichprobenumfang mit angeben. Zu jedem Boxplot gehört die Angabe \(n\), am besten direkt an der Beschriftung des Boxplots. Erst sie erlaubt es, aus den Vierteln Anzahlen zu machen, und erst sie zeigt, ob ein Vergleich überhaupt tragfähig ist.

2. Eine Darstellung der Einzelwerte ergänzen. Ein Histogramm, ein Punktdiagramm oder bei kleinen Datenreihen einfach die abgedruckte Rangliste zeigt Ballungen und Lücken, die der Boxplot verschweigt. Bei Gruppe Q würde ein Histogramm die beiden Gipfel sofort sichtbar machen.

3. Aussagen sprachlich auf das Ablesbare beschränken. Zu einem Boxplot gehören Sätze über Lage, Streuung und Anteile — nicht über Anzahlen, Einzelwerte oder die Form der Verteilung. Wer mehr sagen will, muss mehr zeigen.

X: Boxbreite \(6-4 = 2\,\mathrm{d}\); Spannweite \(9-2 = 7\,\mathrm{d}\); rechte Antenne \(9-6 = 3\,\mathrm{d}\).

Y: Boxbreite \(9-3 = 6\,\mathrm{d}\); Spannweite \(20-1 = 19\,\mathrm{d}\); rechte Antenne \(20-9 = 11\,\mathrm{d}\).

Z: Boxbreite \(7-5 = 2\,\mathrm{d}\); Spannweite \(8-4 = 4\,\mathrm{d}\); rechte Antenne \(8-7 = 1\,\mathrm{d}\).

Zulieferer X: Der Wert 7 liegt zwischen \(Q_3 = 6\) und dem Maximum 9, also im obersten Viertel. Oberhalb von 6 Tagen liegen etwa \(0{,}25\cdot 200 = 50\) Bestellungen; wie viele davon über 7 Tagen liegen, ist nicht bestimmbar. Es sind also höchstens etwa 50 Bestellungen, möglicherweise deutlich weniger.

Zulieferer Y: Der Wert 7 liegt zwischen \(x_{\mathrm{Med}} = 5\) und \(Q_3 = 9\). Oberhalb von 5 Tagen liegen etwa 100 Bestellungen, oberhalb von 9 Tagen etwa 50. Später als 7 Tage kamen damit zwischen etwa 50 und etwa 100 Bestellungen — ein sehr breiter Bereich, aber in jedem Fall mindestens rund 50, denn allein das oberste Viertel liegt vollständig über 9 Tagen.

Zulieferer Z: Hier fällt der Wert 7 genau auf \(Q_3\). Oberhalb davon liegt etwa ein Viertel, also rund 50 Bestellungen — und diese alle im engen Bereich zwischen 7 und 8 Tagen.

Empfehlung: Zulieferer Z.

Zulieferer Y scheidet aus. Sein Median ist zwar mit 5 Tagen so gut wie der von X, doch seine Streuung ist unüberschaubar: Die Box ist dreimal so breit wie bei X und Z, die Spannweite beträgt 19 Tage, und die rechte Antenne reicht bis 20 Tage. Rund 50 Bestellungen kamen später als neun Tage, einzelne erst nach drei Wochen. Für eine Fertigung mit fester Frist ist das nicht tragbar — der Median nützt nichts, wenn das oberste Viertel den Betrieb lahmlegt.

Zwischen X und Z ist abzuwägen. X ist im Mittel schneller: Median 5 statt 6 Tage, \(Q_3 = 6\) statt 7 Tage; drei Viertel aller Lieferungen sind bei X schon nach 6 Tagen da. Dafür reicht die rechte Antenne von X bis 9 Tage — es hat also Lieferungen gegeben, die die Frist um zwei Tage überschritten haben, und das Maximum ist ein tatsächlich aufgetretener Wert.

Z ist im Mittel einen Tag langsamer, aber vollständig berechenbar: Die gesamte Spannweite beträgt nur 4 Tage, das Maximum liegt bei 8 Tagen, und die rechte Antenne ist mit einem Tag die kürzeste von allen. Keine Lieferung dauerte länger als 8 Tage.

Weil eine Überschreitung der Frist einen Produktionsstillstand auslöst, ein zusätzlicher Wartetag aber nur planbare Kosten verursacht, wiegt die Zuverlässigkeit hier schwerer als die Geschwindigkeit. Zu ergänzen ist, dass auch bei Z rund ein Viertel der Lieferungen über sieben Tagen lag; wirklich fristsicher wäre erst ein Zulieferer mit \(Q_3 < 7\) und einem Maximum unter 7 Tagen. Die Entscheidung für Z sollte deshalb mit der Vereinbarung eines Sicherheitspuffers von einem Tag verbunden werden.

Differenz der Mediane: \(6\,\mathrm{d} - 5\,\mathrm{d} = 1\,\mathrm{d}\); der Median von B liegt einen Tag höher.

Boxbreiten: Klinik A \(7-3 = 4\,\mathrm{d}\), Klinik B \(11-4 = 7\,\mathrm{d}\).

Spannweiten: Klinik A \(12-1 = 11\,\mathrm{d}\), Klinik B \(19-2 = 17\,\mathrm{d}\).

(1) „In Klinik A werden mehr Patienten behandelt.“ — nicht entscheidbar. Ein Boxplot stellt genau fünf Zahlen dar; der Stichprobenumfang geht in keine von ihnen ein. Zwei Boxplots sagen deshalb grundsätzlich nichts über die Anzahl der Werte aus, aus denen sie entstanden sind. Klinik A könnte zehn oder zehntausend Patienten behandelt haben.

(2) „In Klinik A lag niemand länger als zwölf Tage.“ — folgt aus den Boxplots. Das rechte Antennenende ist definitionsgemäß das Maximum der Datenreihe, also der größte tatsächlich aufgetretene Wert. Anders als Quartile ist das Maximum immer ein echter Messwert. Aus \(\text{Maximum} = 12\,\mathrm{d}\) folgt, dass kein Aufenthalt länger dauerte — und zugleich, dass mindestens ein Patient tatsächlich zwölf Tage lag.

(3) „In Klinik B lag die Hälfte der Patienten zwischen vier und elf Tagen.“ — folgt aus den Boxplots. Die Grenzen 4 und 11 sind gerade \(Q_1\) und \(Q_3\) der Klinik B, und zwischen den beiden Quartilen liegen nach der Viertel-Regel etwa 50 % der Werte. Die Aussage gibt genau die Box wieder.

Aussage (4) lässt sich aus den beiden Boxplots nicht begründen.

Was die Daten hergeben: Klinik A hat den um einen Tag kleineren Median (5 gegen 6 Tage), die schmalere Box (4 gegen 7 Tage) und die kleinere Spannweite (11 gegen 17 Tage). Die Aufenthalte in A sind also im Mittel etwas kürzer und vor allem einheitlicher; besonders das oberste Viertel unterscheidet sich stark, denn es reicht in A von 7 bis 12, in B dagegen von 11 bis 19 Tagen.

Was die Daten nicht hergeben: „Effizienz“ ist kein Kennwert einer Liegedauer, sondern ein Werturteil, das eine Ursache unterstellt. Eine kürzere Liegedauer kann viele Gründe haben, die mit der Arbeitsqualität nichts zu tun haben: Klinik B könnte schwerere Fälle übernehmen, ältere Patienten behandeln oder als Klinik der Maximalversorgung gerade die Komplikationen aus anderen Häusern aufnehmen. Die lange rechte Antenne von B passt genau zu einer solchen Erklärung. Umgekehrt kann eine kurze Liegedauer auch auf zu frühe Entlassungen hindeuten; ohne Angaben zu Wiederaufnahmen und Behandlungsergebnissen ist sie kein Qualitätsmaß.

Hinzu kommt, dass ein Vergleich ohne Stichprobenumfänge nicht auf seine Belastbarkeit geprüft werden kann, und dass ein Unterschied von einem Tag im Median angesichts von Boxbreiten von 4 und 7 Tagen klein ist.

Eigene Position: Zulässig ist die Aussage „Die Liegedauer ist in Klinik A im Mittel etwas kürzer und deutlich einheitlicher als in Klinik B.“ Der Schritt von dieser Beobachtung zur Behauptung „A arbeitet effizienter“ ist dagegen eine Deutung, die die Zeichnung nicht trägt. Wer sie belegen will, bräuchte die Fallzahlen beider Kliniken, Angaben zur Schwere der Fälle und Ergebnisse zur Behandlungsqualität.