Textaufgaben: Einen Boxplot zeichnen

Der Wertebereich reicht von \(1\) bis \(12\) Tagen. Geeignet ist eine Achse von \(0\) bis \(14\) Tagen mit beschrifteten Marken im Abstand von \(2\) Tagen (also bei 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) und feinen Zwischenstrichen im Abstand von \(1\) Tag.

Achsenbeschriftung: Lieferzeit (in Tagen). Entscheidend ist, dass die Einteilung gleichmäßig ist: Gleiche Strecken auf der Achse müssen gleiche Zeitunterschiede bedeuten.

Über der beschrifteten Achse entsteht die Zeichnung in vier Schritten:

1. Die Box als liegendes Rechteck von \(Q_1 = 2\) Tagen bis \(Q_3 = 6\) Tagen; ihre Höhe ist beliebig und trägt keine Information.

2. Der Medianstrich als senkrechter Strich in der Box bei \(x_{\mathrm{Med}} = 3\) Tagen — also deutlich links von der Boxmitte.

3. Die linke Antenne von der linken Boxkante bei 2 Tagen bis zum Minimum bei 1 Tag, mit senkrechtem Endstrich.

4. Die rechte Antenne von der rechten Boxkante bei 6 Tagen bis zum Maximum bei 12 Tagen, ebenfalls mit Endstrich.

Abschnittsbreiten: linke Antenne \(2 - 1 = 1\) Tag; linker Boxteil \(3 - 2 = 1\) Tag; rechter Boxteil \(6 - 3 = 3\) Tage; rechte Antenne \(12 - 6 = 6\) Tage. Probe: \(1+1+3+6 = 11\) Tage \(= Sw = 12 - 1\).

Papierlängen bei \(1\,\mathrm{cm} \,\widehat{=}\, 2\) Tagen: Box \(\dfrac{6-2}{2} = 2{,}0\,\mathrm{cm}\); Gesamtlänge der Zeichnung \(\dfrac{11}{2} = 5{,}5\,\mathrm{cm}\). Der Medianstrich steht \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\,\mathrm{cm}\) rechts vom Nullpunkt der Achse.

Rangliste (in m): \(3{,}60;\ 3{,}78;\ 3{,}85;\ 3{,}95;\ 4{,}02;\ 4{,}12;\ 4{,}18;\ 4{,}25;\ 4{,}30;\ 4{,}45;\ 4{,}55;\ 4{,}72;\ 5{,}10\).

\(n = 13\) ist ungerade, also ist der Median der 7. Wert: \(x_{\mathrm{Med}} = 4{,}18\,\mathrm{m}\). Er wird weggelassen; beide Hälften enthalten sechs Werte.

Untere Hälfte \(3{,}60;\ 3{,}78;\ 3{,}85;\ 3{,}95;\ 4{,}02;\ 4{,}12\): \(Q_1 = \dfrac{3{,}85 + 3{,}95}{2} = 3{,}90\,\mathrm{m}\).

Obere Hälfte \(4{,}25;\ 4{,}30;\ 4{,}45;\ 4{,}55;\ 4{,}72;\ 5{,}10\): \(Q_3 = \dfrac{4{,}45 + 4{,}55}{2} = 4{,}50\,\mathrm{m}\).

Fünf Punkte: \(3{,}60\) · \(3{,}90\) · \(4{,}18\) · \(4{,}50\) · \(5{,}10\) (in m); Boxbreite \(Q_3 - Q_1 = 0{,}60\,\mathrm{m}\), Spannweite \(Sw = 5{,}10 - 3{,}60 = 1{,}50\,\mathrm{m}\).

Achse: Bereich von \(3{,}5\,\mathrm{m}\) bis \(5{,}2\,\mathrm{m}\), beschriftete Marken alle \(0{,}1\,\mathrm{m}\), feine Zwischenstriche alle \(0{,}02\,\mathrm{m}\); Beschriftung Sprungweite (in m). Der Achsenanfang liegt bewusst nicht bei null — sonst drängte sich die ganze Zeichnung in einen winzigen Streifen. Wichtig ist nur die gleichmäßige Einteilung.

Zeichnung: Box von \(3{,}90\,\mathrm{m}\) bis \(4{,}50\,\mathrm{m}\), Medianstrich bei \(4{,}18\,\mathrm{m}\), linke Antenne bis \(3{,}60\,\mathrm{m}\), rechte Antenne bis \(5{,}10\,\mathrm{m}\), beide mit Endstrich.

Breiten der vier Abschnitte: linke Antenne \(3{,}90 - 3{,}60 = 0{,}30\,\mathrm{m}\); linker Boxteil \(4{,}18 - 3{,}90 = 0{,}28\,\mathrm{m}\); rechter Boxteil \(4{,}50 - 4{,}18 = 0{,}32\,\mathrm{m}\); rechte Antenne \(5{,}10 - 4{,}50 = 0{,}60\,\mathrm{m}\). Probe: \(0{,}30 + 0{,}28 + 0{,}32 + 0{,}60 = 1{,}50\,\mathrm{m} = Sw\).

Die drei linken Abschnitte sind mit 0,30 m, 0,28 m und 0,32 m nahezu gleich breit: Die unteren drei Viertel der Sprungweiten liegen gleichmäßig verteilt und dicht beieinander, und der Medianstrich steht fast genau in der Mitte der Box.

Der oberste Abschnitt ist mit 0,60 m dagegen doppelt so breit wie jeder andere. In ihm liegen genauso viele Sprungweiten wie in jedem anderen Viertel, nämlich etwa drei — sie ziehen sich aber über einen doppelt so großen Bereich. Die weitesten Sprünge streuen also am stärksten; die Verteilung ist nach rechts ausgezogen.

Minimum \(= 2\,\mathrm{min}\) · \(Q_1 = 5\,\mathrm{min}\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 7\,\mathrm{min}\) · \(Q_3 = 12\,\mathrm{min}\) · Maximum \(= 24\,\mathrm{min}\).

Boxbreite: \(Q_3 - Q_1 = 12\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 7\,\mathrm{min}\). Spannweite: \(Sw = 24\,\mathrm{min} - 2\,\mathrm{min} = 22\,\mathrm{min}\).

Abschnitte: linke Antenne \(5 - 2 = 3\,\mathrm{min}\); linker Boxteil \(7 - 5 = 2\,\mathrm{min}\); rechter Boxteil \(12 - 7 = 5\,\mathrm{min}\); rechte Antenne \(24 - 12 = 12\,\mathrm{min}\).

Probe: \(3 + 2 + 5 + 12 = 22\,\mathrm{min} = Sw\).

Oberhalb von \(Q_3 = 12\,\mathrm{min}\) liegt etwa ein Viertel der Gespräche, also rund \(0{,}25 \cdot 600 = 150\) Gespräche. Ebenso viele dauerten weniger als 5 Minuten, und die Hälfte aller Gespräche — rund 300 — lag zwischen 5 und 12 Minuten.

Auffällig ist die rechte Antenne: Das oberste Viertel erstreckt sich über 12 Minuten und ist damit breiter als die gesamte Box mit 7 Minuten. Die 150 längsten Gespräche streuen also viel stärker als die mittlere Hälfte, während der Medianstrich mit 7 Minuten weit links in der Box sitzt: Die Verteilung ist deutlich rechtsschief.

Offen bleibt, wie sich die Gespräche innerhalb eines Abschnitts verteilen. Ob sich die 150 langen Gespräche gleichmäßig zwischen 12 und 24 Minuten verteilen oder ob 149 davon knapp über 12 Minuten lagen und nur eines 24 Minuten dauerte, ist aus dem Boxplot nicht zu erkennen. Ebenso wenig zeigt er, welche einzelnen Dauern vorkamen.

Rangliste (in Euro): \(5;\ 10;\ 10;\ 12;\ 15;\ 15;\ 20;\ 20;\ 25;\ 25;\ 30;\ 35;\ 40;\ 50;\ 250\).

\(n = 15\) ist ungerade, also ist der Median der 8. Wert: \(x_{\mathrm{Med}} = 20\) Euro. Untere Hälfte \(5;\ 10;\ 10;\ 12;\ 15;\ 15;\ 20\) mit dem 4. Wert \(Q_1 = 12\) Euro; obere Hälfte \(25;\ 25;\ 30;\ 35;\ 40;\ 50;\ 250\) mit dem 4. Wert \(Q_3 = 35\) Euro.

Fünf Punkte: Minimum 5 · \(Q_1 = 12\) · \(x_{\mathrm{Med}} = 20\) · \(Q_3 = 35\) · Maximum 250 (in Euro). Boxbreite \(35 - 12 = 23\) Euro, Spannweite \(250 - 5 = 245\) Euro.

Ohne die Großspende lautet die Rangliste \(5;\ 10;\ 10;\ 12;\ 15;\ 15;\ 20;\ 20;\ 25;\ 25;\ 30;\ 35;\ 40;\ 50\) mit \(n = 14\). Der Median ist das Mittel des 7. und 8. Wertes: \(x_{\mathrm{Med}} = \dfrac{20+20}{2} = 20\) Euro. Untere Hälfte \(5;\ 10;\ 10;\ 12;\ 15;\ 15;\ 20\) mit \(Q_1 = 12\) Euro; obere Hälfte \(20;\ 25;\ 25;\ 30;\ 35;\ 40;\ 50\) mit \(Q_3 = 30\) Euro. Maximum 50 Euro, Spannweite 45 Euro.

Der Vorschlag ist in dieser Form nicht haltbar. Erstens beschreibt Jonas' Zeichnung dann nicht mehr die Datenreihe, die er zu zeigen vorgibt: \(Q_3\) sinkt von 35 auf 30 Euro und das Maximum von 250 auf 50 Euro. Er zeichnet also den Boxplot einer anderen, um einen Wert verkürzten Datenreihe.

Zweitens gibt es in der hier verwendeten Darstellung keine abgeschnittenen Antennen: Die Antennen reichen definitionsgemäß bis zum Minimum und bis zum Maximum. Eine bei 50 Euro endende Antenne behauptet, 50 Euro sei die größte Spende gewesen — das ist schlicht falsch.

Drittens ist die 250-Euro-Spende gerade die interessanteste Angabe: Von der Gesamtsumme aller Spenden — \(5+10+10+12+15+15+20+20+25+25+30+35+40+50+250 = 562\) Euro — entfällt mit \(\dfrac{250}{562} \approx 44{,}5\,\%\) fast die Hälfte auf sie allein. Ein Wert darf nur dann aus einer Datenreihe entfernt werden, wenn es dafür einen sachlichen Grund gibt (etwa einen Messfehler), und das muss offengelegt und begründet werden. Lena zeichnet immerhin alle Daten, erfindet aber ein Symbol, das es in dieser Darstellung nicht gibt; auch ihre Antenne endet fälschlich bei 50 Euro.

Vorschlag in drei Schritten:

1. Den Boxplot vollständig zeichnen: Achse von 0 bis 260 Euro mit beschrifteten Marken alle 20 Euro, Box von 12 bis 35 Euro, Medianstrich bei 20 Euro, Antennen bis 5 und bis 250 Euro, beide mit Endstrich. Die sehr lange rechte Antenne ist kein Darstellungsfehler, sondern genau die richtige Information: Sie zeigt, dass das oberste Viertel der Spenden extrem weit auseinanderliegt.

2. Die fünf Punkte zusätzlich als Tabelle abdrucken. Weil die Box auf der großen Achse sehr schmal ausfällt, sind die Zahlen \(5\), \(12\), \(20\), \(35\) und \(250\) Euro sonst kaum ablesbar.

3. Einen erläuternden Satz ergänzen, etwa: „Die größte Einzelspende betrug 250 Euro (Firmenspende); die übrigen vierzehn Spenden lagen zwischen 5 und 50 Euro.“ Wer zusätzlich zeigen will, wie sich die kleinen Spenden verteilen, darf einen zweiten Boxplot ohne die Firmenspende danebenstellen — aber nur mit dieser ausdrücklichen Beschriftung und nie anstelle des vollständigen Boxplots.

Fehler 1 — die Achse ist nicht maßstabsgetreu. Die beschrifteten Marken lauten 0, 2, 4, 6, 10, 14 und stehen alle im gleichen Abstand. Zwischen 6 und 10 liegen aber vier Stunden, zwischen 0 und 2 nur zwei. Gleiche Strecken bedeuten hier also nicht gleiche Wertunterschiede; damit ist jede abgelesene Länge wertlos.

Fehler 2 — die Achsenbeschriftung fehlt. Weder das Merkmal (Trainingsdauer) noch die Einheit (Stunden) ist angegeben. Die Zahlen an der Achse sind ohne diese Angabe nicht deutbar.

Fehler 3 — Median und oberes Quartil sind vertauscht. Die Box reicht in der Zeichnung von 3 bis 4, der Medianstrich steht bei 7 und liegt damit außerhalb der Box. Richtig wäre: Box von \(Q_1 = 3\) bis \(Q_3 = 7\) mit dem Medianstrich bei \(x_{\mathrm{Med}} = 4\). Ein Medianstrich außerhalb der Box ist immer ein Fehler, denn es gilt stets \(Q_1 \le x_{\mathrm{Med}} \le Q_3\).

Korrekte Zeichnung: Achse von \(0\,\mathrm{h}\) bis \(14\,\mathrm{h}\), beschriftete Marken gleichmäßig alle \(2\,\mathrm{h}\), feine Zwischenstriche alle \(1\,\mathrm{h}\), Beschriftung Trainingsdauer (in h). Box von \(3\,\mathrm{h}\) bis \(7\,\mathrm{h}\), Medianstrich bei \(4\,\mathrm{h}\), linke Antenne bis \(1\,\mathrm{h}\), rechte Antenne bis \(13\,\mathrm{h}\), beide mit Endstrich.

Abschnittsbreiten: linke Antenne \(3 - 1 = 2\,\mathrm{h}\); linker Boxteil \(4 - 3 = 1\,\mathrm{h}\); rechter Boxteil \(7 - 4 = 3\,\mathrm{h}\); rechte Antenne \(13 - 7 = 6\,\mathrm{h}\). Probe: \(2 + 1 + 3 + 6 = 12\,\mathrm{h} = Sw = 13 - 1\). Die Boxbreite beträgt \(7 - 3 = 4\,\mathrm{h}\).

Die fehlerhafte Zeichnung führt die Leserschaft in mehrfacher Hinsicht in die Irre.

Erstens erscheint die Box winzig: Sie reicht nur von 3 bis 4 statt von 3 bis 7 und nimmt damit einen Bruchteil der richtigen Breite ein. Wer die Zeichnung liest, gewinnt den Eindruck, die mittleren 50 % der Mitglieder trainierten fast alle gleich lang — tatsächlich verteilt sich diese Hälfte auf einen Bereich von vier Stunden. Die Streuung wird also stark unterschätzt.

Zweitens wird durch die gestauchte Achse der obere Bereich zusammengedrückt: Der Abschnitt von 6 bis 10 Stunden erhält auf dem Papier dieselbe Länge wie der von 0 bis 2 Stunden. Gerade die Vielsportler des Vereins, die den längsten Abschnitt bilden, verschwinden dadurch optisch.

Drittens ist ein Boxplot ohne Merkmal und Einheit gar nicht interpretierbar — die Zahl 7 könnte Stunden, Minuten oder Trainingseinheiten bedeuten.

Urteil: Die Zeichnung ist nicht nur ungenau, sie ist unbrauchbar. Ein Boxplot lebt allein davon, dass Strecken Wertunterschiede darstellen; ist die Achse nicht gleichmäßig eingeteilt, verliert jede Länge in der Zeichnung ihre Bedeutung. Der Verein sollte die Grafik zurückziehen und mit korrekter Achse neu drucken; bis dahin sind die fünf Punkte als Tabelle die ehrlichere Darstellung.