Wahlbeteiligung in einem Wahlkreis
AFB IIn einem Bundestagswahlkreis sind 218 400 Personen wahlberechtigt. Bei der Wahl geben 152 880 von ihnen eine Stimme ab. Der Kreiswahlleiter veröffentlicht die Wahlbeteiligung als Prozentwert (Material M1).
| Größe | Anzahl |
|---|---|
| Wahlberechtigte | 218 400 |
| abgegebene Stimmen | 152 880 |
| davon ungültig | 1 529 |
- Geben Sie den Anteil der Wählerinnen und Wähler an den Wahlberechtigten als vollständig gekürzten Bruch, als Dezimalzahl und als Prozentwert an.
- Berechnen Sie den Anteil der ungültigen Stimmen an den abgegebenen Stimmen in Prozent (zwei Nachkommastellen).
- Erklären Sie, warum der Anteil der ungültigen Stimmen kleiner ausfällt, wenn man ihn auf die Wahlberechtigten statt auf die abgegebenen Stimmen bezieht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\dfrac{152\,880}{218\,400} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 = 70\,\%\).
Die Wahlbeteiligung beträgt genau 70 %.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\dfrac{1\,529}{152\,880} \approx 0{,}010001 \approx 1{,}00\,\%\).
Rund ein Prozent der abgegebenen Stimmen ist ungültig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Zähler bleibt derselbe (1 529), der Nenner wächst von 152 880 auf 218 400. Ein Bruch mit größerem Nenner und gleichem Zähler ist kleiner: \(\dfrac{1\,529}{218\,400}\approx 0{,}70\,\%\).
Beide Zahlen sind rechnerisch richtig, beantworten aber verschiedene Fragen. Nur die erste Angabe beantwortet die Frage „Wie viele der abgegebenen Stimmen waren ungültig?“ Deshalb gehört zu jedem Prozentwert die Angabe der Bezugsgröße.
Schulwegumfrage mit Rundungslücke
AFB IIEine elfte Klasse befragt alle 640 Schülerinnen und Schüler ihrer Schule danach, wie sie morgens zur Schule kommen. Jede Person nennt genau ein Verkehrsmittel. Für die Schülerzeitung sollen die Anteile in Prozent angegeben werden, gerundet auf ganze Prozent (Material M1).
| Verkehrsmittel | Anzahl |
|---|---|
| Fahrrad | 246 |
| Bus | 179 |
| zu Fuß | 115 |
| Auto (gebracht) | 67 |
| sonstiges | 33 |
- Berechnen Sie alle fünf Anteile in Prozent und runden Sie auf ganze Prozent.
- Zeigen Sie, dass die fünf gerundeten Werte zusammen nicht 100 % ergeben, und erklären Sie die Ursache.
- Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie die Redaktion die Tabelle veröffentlichen sollte, ohne die Leserschaft in die Irre zu führen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fahrrad: \(\dfrac{246}{640}\cdot 100\,\% = 38{,}44\,\% \approx 38\,\%\); Bus: \(\dfrac{179}{640}\cdot 100\,\% = 27{,}97\,\% \approx 28\,\%\); zu Fuß: \(\dfrac{115}{640}\cdot 100\,\% = 17{,}97\,\% \approx 18\,\%\); Auto: \(\dfrac{67}{640}\cdot 100\,\% = 10{,}47\,\% \approx 10\,\%\); sonstiges: \(\dfrac{33}{640}\cdot 100\,\% = 5{,}16\,\% \approx 5\,\%\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ungerundet: \(38{,}44 + 27{,}97 + 17{,}97 + 10{,}47 + 5{,}16 = 100{,}01\) — die kleine Abweichung stammt bereits vom Runden auf zwei Nachkommastellen; exakt gilt \(246+179+115+67+33 = 640\), also genau 100 %.
Gerundet: \(38 + 28 + 18 + 10 + 5 = 99\). Es fehlt ein Prozentpunkt.
Ursache: Vier der fünf Werte werden abgerundet (38,44 → 38; 10,47 → 10; 5,16 → 5) und nur einer aufgerundet (27,97 → 28; 17,97 → 18 ebenfalls auf). Die Summe der einzelnen Rundungsfehler ist hier negativ, deshalb bleibt die Summe unter 100 %. Runden ist nicht summentreu.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Möglichkeit 1: eine Nachkommastelle angeben (38,4 % / 28,0 % / 18,0 % / 10,5 % / 5,2 %); die Summe liegt dann bei 100,1 % und die Abweichung fällt kaum ins Gewicht.
Möglichkeit 2: bei ganzen Prozent bleiben und unter die Tabelle den Satz setzen „Rundungsbedingt ergeben die Anteile in der Summe nicht genau 100 %.“
Möglichkeit 3: den größten Anteil auf 39 % anheben, damit die Summe stimmt — das darf aber nur mit dem Zusatz „auf 100 % gerundet“ geschehen. In jedem Fall gehören die absoluten Häufigkeiten und \(N = 640\) mit in die Veröffentlichung, denn erst sie machen die Prozentwerte nachprüfbar.
Recyclingquote rückwärts
AFB IIEin Landkreis meldet für das Jahr 2024: „Die Recyclingquote bei Verpackungsabfällen ist von 68 % auf 71 % gestiegen.“ Im selben Zeitraum wuchs die Gesamtmenge der Verpackungsabfälle von 24 000 t auf 26 000 t.
- Berechnen Sie für beide Jahre die recycelte Masse in Tonnen.
- Entscheiden Sie begründet, ob die Formulierung „um 3 % gestiegen“ für die Quote zutreffend ist.
- Beurteilen Sie, ob die Meldung geeignet ist, einen Erfolg der Abfallpolitik zu belegen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
2023: \(0{,}68\cdot 24\,000\,\mathrm{t} = 16\,320\,\mathrm{t}\).
2024: \(0{,}71\cdot 26\,000\,\mathrm{t} = 18\,460\,\mathrm{t}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nein. Die Quote ist um \(71 - 68 = 3\) Prozentpunkte gestiegen. Die relative Steigerung beträgt dagegen \(\dfrac{71-68}{68}\approx 0{,}044 = 4{,}4\,\%\).
„Um 3 % gestiegen“ würde eine Quote von \(68\cdot 1{,}03 \approx 70{,}0\,\%\) bedeuten — also etwas anderes als die gemeldeten 71 %. Korrekt ist: „um 3 Prozentpunkte“ oder „um rund 4,4 %“.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Quote allein trägt die Aussage nicht. Nicht recycelt wurden 2023 \(24\,000 - 16\,320 = 7\,680\,\mathrm{t}\), 2024 dagegen \(26\,000 - 18\,460 = 7\,540\,\mathrm{t}\) — die Restmenge sinkt also nur um 140 t (rund 1,8 %), obwohl die Quote deutlich besser aussieht.
Zugleich ist die Gesamtmenge um \(\dfrac{2\,000}{24\,000}\approx 8{,}3\,\%\) gewachsen. Eine steigende Quote bei wachsender Gesamtmenge kann bedeuten, dass mehr recycelt und mehr weggeworfen wird. Als Beleg für einen Erfolg taugt die Meldung deshalb nur zusammen mit den absoluten Massen; ein Ziel wie „weniger Verpackungsmüll“ wird durch sie sogar eher widerlegt.
Zwei Kurse, ein gemeinsamer Anteil
AFB IIIAn einer Schule wählen zwei Mathematikkurse der Jahrgangsstufe 11 an einer Umfrage zur Ganztagsbetreuung teil. Kurs A hat 32 Mitglieder, davon stimmen 24 zu. Kurs B hat 18 Mitglieder, davon stimmen 6 zu. Ein Schüler rechnet: „75 % und 33 % — im Mittel also 54 % Zustimmung.“
| Kurs | Mitglieder | Zustimmung |
|---|---|---|
| Kurs A | 32 | 24 |
| Kurs B | 18 | 6 |
- Berechnen Sie den Anteil der Zustimmung in jedem Kurs und den Anteil in beiden Kursen zusammen.
- Widerlegen Sie die Rechnung des Schülers und erklären Sie, worin sein Denkfehler besteht.
- Entwickeln Sie eine allgemeine Bedingung dafür, wann der Mittelwert zweier Anteile doch mit dem Gesamtanteil übereinstimmt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kurs A: \(\dfrac{24}{32} = 0{,}75 = 75\,\%\). Kurs B: \(\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).
Beide Kurse zusammen: \(\dfrac{24+6}{32+18} = \dfrac{30}{50} = 0{,}6 = 60\,\%\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der tatsächliche Gesamtanteil beträgt 60 %, nicht 54 %. Die Rechnung des Schülers ist also falsch.
Sein Fehler: Er bildet das ungewichtete Mittel \(\tfrac{1}{2}(75\,\% + 33{,}3\,\%)\) und behandelt damit beide Kurse, als wären sie gleich groß. Tatsächlich stellt Kurs A mit 32 von 50 Personen den weit größeren Teil der Befragten; sein hoher Anteil muss deshalb stärker zählen. Anteile sind Verhältniszahlen — sie lassen sich nur mit ihren Bezugsgrößen gewichtet zusammenfassen: \(\dfrac{32\cdot 0{,}75 + 18\cdot 0{,}\overline{3}}{32+18} = 0{,}6\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Sind die beiden Gruppen gleich groß (\(n_1 = n_2\)), so gilt \(\dfrac{H_1+H_2}{n_1+n_2} = \dfrac{H_1+H_2}{2n_1} = \tfrac{1}{2}\left(\dfrac{H_1}{n_1} + \dfrac{H_2}{n_1}\right)\) — der Gesamtanteil ist dann genau das Mittel der Einzelanteile.
Der zweite Fall: Sind beide Anteile gleich groß (\(\dfrac{H_1}{n_1} = \dfrac{H_2}{n_2}\)), so stimmt der Gesamtanteil ebenfalls mit ihnen überein, unabhängig von den Gruppengrößen.
In allen übrigen Fällen liegt der Gesamtanteil näher an dem Anteil der größeren Gruppe — hier näher an den 75 % des Kurses A.
Eine Schlagzeile prüfen
AFB IIIEine Regionalzeitung titelt: „Zahl der E-Autos in unserem Landkreis verdoppelt — Anteil steigt von 2 % auf 4 %!“ Im Artikel steht weiter: „Im Nachbarlandkreis stieg der Anteil nur von 9 % auf 12 % — unser Landkreis wächst also dreimal so schnell.“ Die zugehörigen Bestandszahlen zeigt Material M1.
| Landkreis | Pkw 2023 | Pkw 2025 |
|---|---|---|
| eigener Landkreis | 84 000 | 90 000 |
| Nachbarlandkreis | 140 000 | 145 000 |
- Berechnen Sie für beide Landkreise die Anzahl der E-Autos in den Jahren 2023 und 2025.
- Prüfen Sie die Behauptung „verdoppelt“ sowie die Behauptung „dreimal so schnell“ rechnerisch.
- Nehmen Sie begründet Stellung dazu, welche Angaben die Zeitung hätte machen müssen, damit die Leserschaft die Entwicklung selbst beurteilen kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Eigener Landkreis: 2023 \(0{,}02\cdot 84\,000 = 1\,680\) E-Autos, 2025 \(0{,}04\cdot 90\,000 = 3\,600\) E-Autos.
Nachbarlandkreis: 2023 \(0{,}09\cdot 140\,000 = 12\,600\), 2025 \(0{,}12\cdot 145\,000 = 17\,400\) E-Autos.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
„Verdoppelt“: \(\dfrac{3\,600}{1\,680}\approx 2{,}14\) — die Zahl hat sich sogar etwas mehr als verdoppelt. Die Schlagzeile ist hier also vertretbar, allerdings zufällig: Der Anteil verdoppelt sich von 2 % auf 4 %, während gleichzeitig der Gesamtbestand wächst. Wäre der Bestand gesunken, hätte sich der Anteil verdoppeln können, ohne dass die Zahl der E-Autos wächst.
„Dreimal so schnell“: In Prozentpunkten gerechnet beträgt der Zuwachs hier \(4-2 = 2\) Prozentpunkte, dort \(12-9 = 3\) Prozentpunkte — der Nachbarlandkreis wächst also stärker, nicht schwächer. Relativ gerechnet beträgt der Zuwachs hier \(\tfrac{2}{2} = 100\,\%\), dort \(\tfrac{3}{9}\approx 33{,}3\,\%\) — das Verhältnis \(100 : 33{,}3 = 3 : 1\) ist die einzige Lesart, in der die Behauptung stimmt. In absoluten Zahlen kamen hier 1 920, dort 4 800 E-Autos hinzu.
Die Behauptung ist damit nur in einer von drei Lesarten richtig und wird ohne diese Angabe irreführend.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Notwendig wären erstens die absoluten Zahlen (1 680 bzw. 3 600 E-Autos) — erst sie zeigen, dass der eigene Landkreis in Fahrzeugen gerechnet weit hinter dem Nachbarn liegt. Zweitens die Bezugsgröße, also der Pkw-Bestand des jeweiligen Jahres, denn ein Anteil ohne Ganzes ist nicht interpretierbar; hier verändert sich das Ganze zwischen den beiden Zeitpunkten sogar. Drittens die saubere Unterscheidung: „um 2 Prozentpunkte“ statt „um 2 %“.
Ein prozentualer Zuwachs fällt bei kleinem Ausgangswert fast immer spektakulär aus — von 2 % auf 4 % sind es 100 %, von 9 % auf 12 % nur 33 %, obwohl in absoluten Zahlen das Gegenteil gilt. Eine faire Darstellung nennt beide Perspektiven nebeneinander und überlässt die Wertung der Leserschaft.