Ein Anteil, drei Schreibweisen
Ein Anteil ist Teil durch Ganzes. Von 120 Befragten fahren 45 mit dem Rad — der Anteil ist \(\tfrac{45}{120}\).
- Anteil:\(\tfrac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}\); er liegt stets zwischen \(0\) und \(1\).
- Kürzen:Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: \(\tfrac{45}{120}=\tfrac{3}{8}\).
- Bruch \(\rightarrow\) Dezimalzahl:Zähler durch Nenner teilen: \(3:8=0{,}375\).
- Dezimalzahl \(\rightarrow\) Prozent:mit \(100\) multiplizieren: \(0{,}375=37{,}5\,\%\).
- Prozent \(\rightarrow\) Dezimalzahl:durch \(100\) teilen: \(37{,}5\,\%=0{,}375\).
- Stärken:Bruch ist exakt, Dezimalzahl gut vergleichbar, Prozent sofort verständlich.
Prozent: \(1\,\%=\dfrac{1}{100}\), also \(37{,}5\,\%=0{,}375=\dfrac{3}{8}\)
Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz
In jeder Prozentaufgabe stecken drei Größen, zwei davon sind gegeben. Benenne sie zuerst und rechne erst dann.
- Grundwert \(G\):das Ganze, z. B. 120 Befragte; \([G]=1\ \text{Person}\).
- Prozentwert \(W\):der Teil davon, z. B. 45 Radfahrende.
- Prozentsatz \(p\):Größe des Teils gemessen am Ganzen; \([p]=1\,\%\).
- \(p\) gesucht:\(p=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%\), z. B. \(\tfrac{45}{120}\cdot100\,\%=37{,}5\,\%\).
- \(W\) gesucht:\(W=G\cdot\dfrac{p}{100}\), z. B. \(250\cdot\tfrac{12}{100}=30\) Personen.
- \(G\) gesucht:\(G=W\cdot\dfrac{100}{p}\), z. B. \(63\cdot\tfrac{100}{35}=180\) Personen.
- Bezugswort:die Zahl hinter „von“ ist der Grundwert.
Grundgleichung: \(\dfrac{W}{G}=\dfrac{p}{100}\)
Anteile in der Stochastik
Die relative Häufigkeit ist nichts anderes als ein Anteil. Aus ihr entsteht auch der Winkel im Kreisdiagramm.
- Absolute Häufigkeit \(H\):wie oft ein Merkmalswert vorkommt; \([H]=1\).
- Relative Häufigkeit \(h\):\(h=\dfrac{H}{n}\) — oben der Teil, unten das Ganze wie bei \(\tfrac{W}{G}\).
- Mittelpunktswinkel:\(\alpha=\dfrac{H}{n}\cdot360^\circ\).
- Beispiel:36 von 120 mit dem Bus: \(h=\tfrac{3}{10}=30\,\%\), \(\alpha=108^\circ\).
- Kontrolle:alle Winkel ergeben \(360^\circ\): \(135^\circ+108^\circ+72^\circ+45^\circ=360^\circ\).
- Merkwinkel:\(180^\circ\) = Hälfte, \(120^\circ\) = Drittel, \(90^\circ\) = Viertel, \(36^\circ\) = \(10\,\%\).
Relative Häufigkeit: \(h=\dfrac{H}{n}\) ist ein Anteil
Ziehe den Anteil am Kreis oder am Balken. Bruch, Dezimalzahl, Prozentsatz und Kreiswinkel werden sofort neu berechnet.
Anteils-Umrechner
Wähle zuerst, wie viele Personen befragt wurden. Ziehe danach den blauen Griff am Kreisrand oder am Balken. Der gekürzte Bruch, die Dezimalzahl, der Prozentsatz und der Kreiswinkel rechts werden dabei fortlaufend neu berechnet.
45 von 120 Befragten — das sind 37,5 % aller Befragten.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab auf den blauen Griff springen, mit ←/→ um eine Person ändern, mit Bild auf/Bild ab in Fünferschritten, mit Pos1/Ende auf 0 % oder 100 %. Enter merkt den eingestellten Anteil als rote Vergleichslinie. Jede Änderung wird vorgelesen.
Halte fest: Der gekürzte Bruch hängt vom Nenner ab, der Prozentsatz nicht. Endet die Dezimalzahl nicht, ist der Bruch die einzige exakte Form.
Allgemeine Hinweise
Das Ganze in den Nenner
Im Nenner steht immer der Grundwert. Vertauscht erhältst du Werte über \(100\,\%\).
Grundwert gesucht
Sind \(W\) und \(p\) gegeben, teilst du durch \(\tfrac{p}{100}\). Wer multipliziert, rechnet in die falsche Richtung.
Probe mit dem Anteil
Setze dein Ergebnis in \(\tfrac{W}{G}\) ein. Kommt der gegebene Prozentsatz heraus, stimmt die Rechnung.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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