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Nächster SchrittÜbung — AFB IZehn gemischte Aufgaben zum Reproduzieren — fünf davon interaktiv.
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1.1 · Funktionen und Darstellungen
Der Funktionsbegriff ist das Fundament des gesamten Schuljahres. Alles, was danach kommt — Ableitungen, Kurvendiskussionen, Modellierungen — setzt voraus, dass klar ist, was eine Funktion ist und wie man sie darstellt.
Definition
- Funktion
- Eine Zuordnung, die jedem Element \(x\) der Definitionsmenge genau einen Wert \(y=f(x)\) zuordnet.
- Definitionsmenge \(D\)
- Alle \(x\)-Werte, die eingesetzt werden dürfen. Ausgeschlossen sind z. B. Nenner-Nullstellen und negative Radikanden.
- Wertemenge \(W\)
- Alle \(y\)-Werte, die tatsächlich angenommen werden.
- Funktionswert
- Das Ergebnis \(f(x)\) an einer Stelle \(x\). Die Stelle ist der \(x\)-Wert, der Wert ist der \(y\)-Wert.
- Nullstelle
- Eine Stelle \(x_0\) mit \(f(x_0)=0\) — dort schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse.
| Darstellung | Beispiel | Stärke |
|---|---|---|
| Funktionsgleichung | \(f(x)=2x-3\) | exakt rechnen, beliebige Stellen einsetzen |
| Wertetabelle | \(x=0,1,2 \;\to\; y=-3,-1,1\) | einzelne Werte schnell ablesen |
| Graph | Gerade im Koordinatensystem | Verlauf, Nullstellen und Schnittpunkte sehen |
| Wortform | „Verdopple die Zahl und ziehe 3 ab.“ | Sachzusammenhang beschreiben |
- Ein Punkt \(P(x_P\,|\,y_P)\) liegt genau dann auf dem Graphen, wenn \(f(x_P)=y_P\) gilt — das ist die Punktprobe.
- Auf der \(y\)-Achse ist \(x=0\), auf der \(x\)-Achse ist \(y=0\). Diese beiden Sätze lösen die meisten Achsenaufgaben.
- Die vier Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert, beginnend rechts oben.
- Funktionstypen unterscheidet man am höchsten Exponenten: \(x^1\) linear, \(x^2\) quadratisch, \(x\) im Nenner gebrochen-rational, \(x\) im Exponenten exponentiell.
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1.2 · Rechnen mit Termen, Brüchen, Potenzen und Logarithmen
Dieser Abschnitt liefert das Handwerkszeug. In der Klausur wird er selten allein geprüft — aber jeder Fehler hier macht eine ansonsten richtige Aufgabe falsch.
Rangfolge: Klammern → Potenzen und Wurzeln → Punktrechnung → Strichrechnung. Gleichrangiges wird von links nach rechts abgearbeitet.
| Bereich | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Vorzeichen | \((-a)\cdot(-b)=a\cdot b\) | \((-3)\cdot(-4)=12\) |
| Potenz vs. Klammer | \(-a^2\neq(-a)^2\) | \(-3^2=-9\), aber \((-3)^2=9\) |
| 1. binomische Formel | \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((x+4)^2=x^2+8x+16\) |
| 2. binomische Formel | \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) | \((x-5)^2=x^2-10x+25\) |
| 3. binomische Formel | \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) | \((x+3)(x-3)=x^2-9\) |
| Brüche addieren | gleichnamig machen, nur Zähler addieren | \(\tfrac34+\tfrac56=\tfrac{9}{12}+\tfrac{10}{12}=\tfrac{19}{12}\) |
| Brüche multiplizieren | Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner | \(\tfrac23\cdot\tfrac59=\tfrac{10}{27}\) |
| Brüche dividieren | mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren | \(\tfrac34:\tfrac25=\tfrac34\cdot\tfrac52=\tfrac{15}{8}\) |
| Kürzen | nur Faktoren kürzen, niemals Summanden | \(\tfrac{2x}{2y}=\tfrac{x}{y}\), aber \(\tfrac{2+x}{2+y}\) bleibt |
| Potenzgesetze | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\); \(\tfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\); \(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\) | \(\left(2^3\right)^2\cdot 2^{-4}=2^2=4\) |
| Sonderfälle | \(a^0=1\) für \(a\neq0\); \(a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}\); \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\) | \(2^{-3}=\tfrac18\); \(\sqrt{9}=9^{1/2}=3\) |
| Logarithmus | \(\log_a(b)=x \iff a^x=b\) | \(\log_2(32)=5\) |
| Logarithmusgesetze | \(\log(u\cdot v)=\log u+\log v\); \(\log\!\left(\tfrac uv\right)=\log u-\log v\); \(\log\!\left(u^r\right)=r\cdot\log u\) | \(\log_3\!\left(\tfrac19\right)=-2\) |
- Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren vertragen sich mit der Multiplikation, nicht mit der Addition: \(\sqrt{16\cdot 9}=\sqrt{16}\cdot\sqrt9\), aber \(\sqrt{16+9}\neq\sqrt{16}+\sqrt9\).
- Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen darin um: \(-(2x-5)=-2x+5\).
- Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Deshalb sind die Logarithmusgesetze nichts anderes als die Potenzgesetze „von der anderen Seite gelesen“.
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1.3 · Lineare Funktionen
Geraden sind die einfachsten Funktionen — und die, die in der Analysis am häufigsten gebraucht werden: jede Tangente und jede Normale ist eine Gerade.
\(f(x)=m\,x+b\) \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) \(m_f\cdot m_N=-1\quad\Longleftrightarrow\quad m_N=-\dfrac{1}{m_f}\)
| Größe | Bedeutung | Merkhilfe |
|---|---|---|
| \(m>0\) | Die Gerade steigt. | von links unten nach rechts oben |
| \(m=0\) | Die Gerade ist waagerecht. | konstante Funktion, keine oder unendlich viele Nullstellen |
| \(m<0\) | Die Gerade fällt. | von links oben nach rechts unten |
| \(b\) | Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse | der Wert \(f(0)\) |
| Nullstelle | \(x_0=-\dfrac{b}{m}\) für \(m\neq0\) | aus \(mx+b=0\) nach \(x\) auflösen |
| Normale | steht senkrecht auf der Geraden | Kehrwert bilden und Vorzeichen wechseln |
- Gerade durch zwei Punkte: erst \(m\) mit der Steigungsformel, dann einen Punkt in \(y=mx+b\) einsetzen und nach \(b\) auflösen.
- Der Steigungswinkel \(\alpha\) erfüllt \(\tan\alpha=m\).
- Bei der Normalen ändern sich zwei Dinge gleichzeitig: das Vorzeichen und der Kehrwert. Aus \(m=-\tfrac23\) wird \(m_N=\tfrac32\).
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1.4 · Lineare Gleichungssysteme
Ein LGS beschreibt geometrisch die Lage zweier Geraden zueinander. Genau daraus ergibt sich, wie viele Lösungen es geben kann.
| Verfahren | Wann besonders günstig | Vorgehen |
|---|---|---|
| Einsetzungsverfahren | wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist | auflösen, einsetzen, lösen, rückeinsetzen |
| Gleichsetzungsverfahren | wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind | gleichsetzen, lösen, rückeinsetzen |
| Additionsverfahren | wenn eine Variable gegengleiche Koeffizienten hat | ggf. multiplizieren, addieren, lösen, rückeinsetzen |
| Fall | Was beim Rechnen passiert | Geometrisch |
|---|---|---|
| genau eine Lösung | man erhält einen Wert für \(x\) und \(y\) | die Geraden schneiden sich |
| keine Lösung | es entsteht eine falsche Aussage wie \(0=1\) | die Geraden sind parallel und verschieden |
| unendlich viele Lösungen | es entsteht eine wahre Aussage wie \(0=0\) | beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade |
- Die Probe ist Pflicht: Die Lösung muss in beide Ausgangsgleichungen passen.
- Sind alle Koeffizienten der zweiten Gleichung dasselbe Vielfache der ersten — auch die rechte Seite —, gibt es unendlich viele Lösungen; stimmt nur die linke Seite, gibt es keine.
- Der GTR löst ein LGS über die Matrixfunktion oder den Gleichungslöser. Der Rechenweg bleibt trotzdem dokumentationspflichtig.
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1.5 · Quadratische Funktionen
Parabeln sind der zweite große Funktionstyp des Kapitels. Zwischen Normalform und Scheitelform hin- und herzuwechseln ist eine der meistgebrauchten Fähigkeiten der Oberstufe.
Normalform \(f(x)=ax^2+bx+c\) Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) mit \(S(d\,|\,e)\)
\(p\)-\(q\)-Formel für \(x^2+px+q=0\): \(x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}\) Mitternachtsformel: \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
| Diskriminante \(D=b^2-4ac\) | Anzahl der Nullstellen | Lage der Parabel |
|---|---|---|
| \(D>0\) | zwei verschiedene | die Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal |
| \(D=0\) | genau eine (doppelte) | der Scheitel liegt auf der \(x\)-Achse |
| \(D<0\) | keine | die Parabel liegt vollständig ober- oder unterhalb |
| Bedingung | Wirkung |
|---|---|
| \(a>0\) | nach oben geöffnet, der Scheitel ist der tiefste Punkt |
| \(a<0\) | nach unten geöffnet, der Scheitel ist der höchste Punkt |
| \(|a|>1\) | enger als die Normalparabel |
| \(|a|<1\) | weiter als die Normalparabel |
- Satz vom Nullprodukt: Steht der Term als Produkt da, ist er null, sobald ein Faktor null ist. \(x^2+4x=x(x+4)\) hat die Nullstellen \(0\) und \(-4\) — ganz ohne Formel.
- Fehlt das absolute Glied oder das lineare Glied, ist Ausklammern bzw. Wurzelziehen schneller als jede Lösungsformel.
- Von der Normalform zur Scheitelform führt die quadratische Ergänzung; dabei muss der ausgeklammerte Faktor \(a\) am Ende wieder hineinmultipliziert werden.
- Der \(y\)-Achsenabschnitt ist immer \(f(0)=c\) — in der Scheitelform also nicht einfach \(e\).
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Formelblatt — alles auf einen Blick
Die zwölf Formeln, die für die Klausur wirklich sitzen müssen.
| Wofür | Formel |
|---|---|
| Steigung aus zwei Punkten | \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) |
| Gerade | \(f(x)=mx+b\) |
| Nullstelle einer Geraden | \(x_0=-\dfrac bm\) |
| Normale | \(m_N=-\dfrac{1}{m_f}\) |
| Steigungswinkel | \(\tan\alpha=m\) |
| 1./2. binomische Formel | \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\) |
| 3. binomische Formel | \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) |
| Potenzgesetze | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\), \(a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}\) |
| Wurzel als Potenz | \(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) |
| Logarithmus | \(\log_a b=x\iff a^x=b\) |
| \(p\)-\(q\)-Formel | \(x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}\) |
| Scheitelform | \(f(x)=a(x-d)^2+e\), \(S(d\,|\,e)\) |
Drei Sätze, die in fast jeder Klausur Punkte bringen
Erstens: Auf der \(y\)-Achse ist \(x=0\), auf der \(x\)-Achse ist \(y=0\). Zweitens: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Drittens: Gekürzt werden dürfen nur Faktoren, niemals Summanden.