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Interaktive ÜbungTerme umformen

Zwanzig Aufgaben zum Assoziativ- und Distributivgesetz, zum Ausmultiplizieren von Klammern und zum Zusammenfassen gleichartiger Summanden.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungTerme umformen — Assoziativgesetz, Distributivgesetz und das Produkt zweier Klammern.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben vom Fachbegriff bis zum Produkt mit sechs Teilprodukten. Viele Aufgaben verlangen, dass Sie einen Term selbst eingeben — die Seite prüft dann, ob Ihr Term denselben Wert hat wie die Lösung und ob er vollständig zusammengefasst ist. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Fachbegriffe des Unterkapitels gehören in den Text, einer bleibt übrig. Ergänzen Sie den Text so, dass jede Aussage fachlich richtig ist.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen heißt . Dass man bei reiner Addition die Klammern beliebig setzen darf, besagt das . Steht ein vor einer Klammer, so wird er nach dem mit jedem in der Klammer multipliziert. Erst danach werden Summanden wie 5x und 3x zusammengefasst.

Der übrige Begriff „Nenner“ gehört zur Bruchrechnung. Wichtig ist die Unterscheidung von Faktor und Summand: Das Distributivgesetz verteilt einen Faktor auf Summanden — nicht umgekehrt.
2Ausmultiplizieren IAFB I

Gegeben ist \(3\cdot(x+4)\).

Multiplizieren Sie die Klammer aus.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Der Faktor 3 trifft beide Summanden: \(3\cdot x+3\cdot 4=3x+12\).
3Darf man die Klammer verschieben?AFB I

Das Assoziativgesetz gilt nur bei reiner Addition oder reiner Multiplikation. Sortieren Sie die Terme danach, ob die Klammer ohne Wertänderung anders gesetzt werden darf.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Klammer darf verschoben werden
2Klammer darf nicht verschoben werden
Subtraktion und Division sind nicht assoziativ: \((10-5)-2=3\), aber \(10-(5-2)=7\). Bei \((a\cdot b)+c\) treffen zwei Rechenarten aufeinander — hier hilft nur das Distributivgesetz, nicht das Assoziativgesetz.
4Das Distributivgesetz als FlächeAFB I

Ein Rechteck hat die Höhe \(a=7\) und die Breite \(b+c=12+8\). Berechnen Sie die beiden Teilflächen und die Gesamtfläche.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

Teilfläche \(a\cdot b\):   Teilfläche \(a\cdot c\):   Gesamtfläche \(a\cdot(b+c)\):

\(7\cdot 12=84\), \(7\cdot 8=56\) und \(7\cdot 20=140=84+56\). Genau das ist das Distributivgesetz: Die Summe der Teilflächen ist die Gesamtfläche.
5Ausmultiplizieren II — negativer FaktorAFB I

Gegeben ist \(-5\cdot(2x-3)\).

Multiplizieren Sie die Klammer aus.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\((-5)\cdot 2x=-10x\) und \((-5)\cdot(-3)=+15\). Beim negativen Faktor wechselt jeder Summand in der Klammer sein Vorzeichen.
6Koeffizienten eintragenAFB I

Vier Klammern sollen ausmultipliziert werden. Tragen Sie die fehlenden Zahlen ein (Vorzeichen gehört zur Zahl).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(4\cdot(x+7)=4x+\)

\(-2\cdot(3x-1)=\)\(\,x+\)

\(6\cdot(2x-5)=12x+\)

\(-(4x-9)=\)\(\,x+\)

\(4x+28\), \(-6x+2\), \(12x-30\) und \(-4x+9\). Das einzelne Minus vor der Klammer wirkt wie der Faktor \(-1\).
7Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zum Umformen von Termen. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Assoziativ sind nur Addition und Multiplikation; ein Minus vor der Klammer wirkt wie der Faktor \(-1\) auf jeden Summanden.
8Welches Produkt gehört zu welchem Term?AFB II

Vier Produkte aus zwei Klammern, vier ausmultiplizierte Terme. Multiplizieren Sie aus und setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.
Produkt\(x^2+5x+6\)\(x^2-5x+6\)\(x^2-x-6\)\(x^2+x-6\)
\((x+2)(x+3)\)
\((x-2)(x-3)\)
\((x+2)(x-3)\)
\((x-2)(x+3)\)
Das absolute Glied ist immer das Produkt der beiden Zahlen (\(\pm 6\)), der Koeffizient von \(x\) ihre Summe: \(2+3=5\), \(-2-3=-5\), \(2-3=-1\), \(-2+3=1\).
9Zwei Klammern multiplizierenAFB II

Gegeben ist \((x-6)(x+2)\).

Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Jeder mit jedem: \(x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12\).
10Rechenkette: Klammer mit drei SummandenAFB II

Gegeben ist \((x+2)(x^2-3x+5)\).

Multiplizieren Sie aus und bestimmen Sie die Koeffizienten des Ergebnisses \(ax^3+bx^2+cx+d\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
  1. Koeffizient \(a\) von \(x^3\)
  2. Koeffizient \(b\) von \(x^2\)
  3. Koeffizient \(c\) von \(x\)
  4. Absolutes Glied \(d\)
Sechs Produkte: \(x^3-3x^2+5x+2x^2-6x+10\). Zusammengefasst: \(x^3-x^2-x+10\).
11Fehlersuche im HeftAFB II

Sieben Umformungen aus einem Heft. Drei davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler gehören zu typischen Verwechslungen: Faktor nur auf einen Summanden verteilt, gemischte Produkte vergessen, Addition mit Multiplikation verwechselt.
12Mit Koeffizient vor dem xAFB II

Gegeben ist \((2x-3)(x+4)\).

Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\(2x\cdot x+2x\cdot 4-3\cdot x-3\cdot 4=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12\).
13Term und KurzformAFB II

Zwölf Karten: sechs Terme und ihre vereinfachten Formen. Vereinfachen Sie jeden aufgedeckten Term im Kopf und suchen Sie das Gegenstück.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
\(x(x+2)-2x=x^2+2x-2x=x^2\) und \(4x-(x-4)=4x-x+4=3x+4\) sind die beiden, bei denen sich Summanden gegenseitig aufheben oder verdoppeln.
14Von innen nach außenAFB II

Der Term \(3\cdot\bigl(x-(2\cdot(x+1)-4)\bigr)\) soll vereinfacht werden.

Ordnen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Innerste Klammer ausmultiplizieren: \(2\cdot(x+1)=2x+2\)
2In der mittleren Klammer zusammenfassen: \(2x+2-4=2x-2\)
3Minus vor der Klammer auflösen: \(x-(2x-2)=x-2x+2\)
4Zusammenfassen: \(-x+2\)
5Äußeren Faktor verteilen: \(3\cdot(-x+2)=-3x+6\)
Von innen nach außen: erst \(2x+2\), dann \(2x-2\), dann das Minus vor der Klammer, zuletzt der Faktor 3. Ergebnis: \(-3x+6\).
15Wann ist der Term null?AFB II

Gegeben ist \(4\cdot(x-2)-2\cdot(x+1)\).

Vereinfachen Sie den Term und bestimmen Sie den Wert von \(x\), für den der Term null wird.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.
\(4x-8-2x-2=2x-10\). Aus \(2x-10=0\) folgt \(x=5\).
16Verschachtelte KlammernAFB II

Gegeben ist \(2\cdot\bigl(3x-(x-4)\bigr)\).

Vereinfachen Sie den Term vollständig.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Innen: \(3x-x+4=2x+4\). Dann \(2\cdot(2x+4)=4x+8\).
17Welche Umformungen sind richtig?AFB II

Sechs Gleichungen mit Variablen. Wählen Sie alle aus, die für beliebige Zahlen \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) gelten.

Mehrere Antworten können richtig sein. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\((x+y)^2\) ist \((x+y)(x+y)\) und liefert vier Produkte, darunter zweimal \(xy\). Und \(3x\cdot 2x=6x^2\): Zahlen werden multipliziert, nicht addiert.
18Ein Produkt mit überraschend kurzem ErgebnisAFB III

Gegeben ist \((x+1)(x^2-x+1)\).

Multiplizieren Sie aus und fassen Sie vollständig zusammen.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Sechs Produkte: \(x^3-x^2+x+x^2-x+1\). Die vier mittleren heben sich paarweise auf, es bleibt \(x^3+1\).
19Differenz zweier QuadrateAFB III

Gegeben ist \((x+2)^2-(x-2)^2\).

Vereinfachen Sie den Term vollständig.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\((x+2)^2=x^2+4x+4\) und \((x-2)^2=x^2-4x+4\). Die Differenz ist \(4x-(-4x)=8x\); \(x^2\) und 4 fallen weg. Achtung: Das Minus vor der zweiten Klammer gilt für alle drei Summanden.
20Bauplan für ein großes ProduktAFB III

Der Term \((x-4)(x^2+3x+2)\) soll ausmultipliziert werden. Sieben Bausteine liegen bereit, zwei davon sind falsch.

Setzen Sie die fünf richtigen Schritte in der richtigen Reihenfolge zusammen.

Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Jeder Summand der ersten Klammer trifft jeden der zweiten — das gibt sechs Produkte, die danach nach Potenzen sortiert und zusammengefasst werden.
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