Klammern umsetzen: das Assoziativgesetz
Terme umformen heisst, einen Term anders aufzuschreiben, ohne seinen Wert zu verändern. Die einfachste dieser Umformungen betrifft die Klammern: Steht in einem Term ausschliesslich Addition oder ausschliesslich Multiplikation, dann dürfen die Klammern beliebig gesetzt werden.
Assoziativgesetz
- Term:Ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
- umformen:Den Term anders schreiben, ohne seinen Wert zu ändern.
- Assoziativgesetz:Erlaubt das Verschieben der Klammern — aber nur bei reiner Addition oder reiner Multiplikation.
Sobald in der Klammer verschiedene Rechenarten aufeinandertreffen, hilft das Assoziativgesetz nicht mehr weiter. Dann muss die Klammer aufgelöst werden — und dafür gibt es das Distributivgesetz.
Eine Klammer ausmultiplizieren
Steht ein Faktor vor einer Klammer, so wird dieser Faktor mit jedem einzelnen Summanden in der Klammer multipliziert. Diese Regel heisst Distributivgesetz.
Distributivgesetz
Ein Rechteck der Höhe \(a\) wird in zwei Teile der Breiten \(b\) und \(c\) zerlegt. Die Gesamtfläche \(a\cdot(b+c)\) ist die Summe der Teilflächen \(a\cdot b\) und \(a\cdot c\).
- Beispiel:\(-8 \cdot (2x - 5) = -16x + 40\), denn Minus mal Minus ergibt Plus.
Die beiden Bögen zeigen, welcher Faktor auf welchen Summanden trifft; die roten Klammern markieren die beiden Teilprodukte. Beim Ausmultiplizieren mit einer negativen Zahl ändert sich das Vorzeichen jedes Summanden in der Klammer.
Negativer Faktor: Beim Ausmultiplizieren mit einer negativen Zahl ändert sich das Vorzeichen jedes Summanden in der Klammer.
Bei ineinandergeschachtelten Klammern wird das Distributivgesetz mehrfach angewendet — immer von der innersten Klammer nach aussen.
- Innerste Klammer:\(2 \cdot (x - 5) = 2x - 10\)
- Nächste Ebene:\(2x - 10 - (x - 3) = 2x - 10 - x + 3 = x - 7\)
- Äusserste Klammer:\(2 \cdot \bigl(3x - (x - 7)\bigr) = 2 \cdot (2x + 7) = 4x + 14\)
Zwei Klammern multiplizieren
Stehen zwei Klammern nebeneinander, wird dieselbe Idee zweimal angewendet: Zuerst trifft der erste Summand der vorderen Klammer auf beide Summanden der hinteren, danach der zweite. So entstehen vier Produkte.
Zwei Klammern ausmultiplizieren
Die grünen Bögen gehen von \(a\) aus, die roten von \(b\). Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert.
Jeder mit jedem: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)
- Beispiel:\((x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15\)
Die Regel gilt genauso, wenn die zweite Klammer mehr als zwei Summanden enthält. Dann entstehen entsprechend mehr Produkte — jeder Summand der ersten Klammer trifft weiterhin jeden Summanden der zweiten.
- Sechs Produkte:\((x - 4)(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x - 4x^2 - 12x - 8\)
- Zusammenfassen:\(= x^3 - x^2 - 10x - 8\)
Warum ergeben zwei Klammern genau vier Produkte? Stelle die vier Zahlen ein und sieh dir an, wie sich das grosse Rechteck in vier Teilrechtecke zerlegt.
Ausmultiplizier-Netz
Die Breite des Rechtecks ist \(a+b\), die Höhe ist \(c+d\). Verstelle die vier Regler mit Maus oder Pfeiltasten. Ein Teilrechteck wählst du per Klick aus oder mit der Tabulatortaste und der Eingabe- bzw. Leertaste.
Beide Werte im Ablesefeld sind immer gleich, egal welche Zahlen eingestellt sind. Genau das ist die Aussage der Regel: Die Fläche des grossen Rechtecks ist die Summe der vier Teilflächen.
Ausklammern und die binomischen Formeln
Ausklammern ist der Weg zurück: Aus einer Summe wird wieder ein Produkt. Dafür sucht man den grössten gemeinsamen Faktor aller Summanden — und zwar sowohl bei den Zahlen als auch bei den Variablen — und zieht ihn vor die Klammer.
Ausklammern
Beide Summanden enthalten die 5 und ein \(x\). Der gemeinsame Faktor \(5x\) wandert vor die Klammer, in der Klammer bleibt jeweils der Rest stehen.
- Zahlen:Der grösste gemeinsame Teiler von 18, 24 und 30 ist 6.
- Variablen:Jeweils die kleinste Potenz, also \(x^2\) und \(y^3\).
- Ergebnis:\(18x^4y^3 - 24x^3y^4 + 30x^2y^5 = 6x^2y^3\,(3x^2 - 4xy + 5y^2)\)
Drei Sonderfälle des Ausmultiplizierens kommen so oft vor, dass sie einen eigenen Namen haben: die binomischen Formeln. Sie sind nichts anderes als das Ergebnis der Regel „jeder mit jedem“, nur bereits zusammengefasst.
Die drei binomischen Formeln
Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a+b\) zerfällt in vier Teilflächen. Die beiden grünen Rechtecke sind gleich gross — daraus entsteht der mittlere Summand \(2ab\).
| Formel | Beispiel | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | \((x+7)^2\) | \(x^2 + 14x + 49\) |
| 2. binomische Formel | \((x-5)^2\) | \(x^2 - 10x + 25\) |
| 1. binomische Formel | \((3x+2)^2\) | \(9x^2 + 12x + 4\) |
| 2. binomische Formel | \((2x-3y)^2\) | \(4x^2 - 12xy + 9y^2\) |
| 3. binomische Formel | \((a+b)(a-b)\) | \(a^2 - b^2\) |
- Ausmultiplizieren:Aus einem Produkt mit Klammern wird eine Summe.
- Ausklammern:Aus einer Summe wird wieder ein Produkt.
- gemeinsamer Faktor:Der Anteil, der in jedem Summanden steckt — Zahl und Variable.
- binomische Formel:Ein bereits zusammengefasstes Ergebnis des Ausmultiplizierens zweier gleichartiger Klammern.
Allgemeine Hinweise
Keinen Summanden vergessen
Der Faktor vor der Klammer trifft jeden Summanden. Zähle am Ende nach, ob alle Produkte dastehen.
Minus vor der Klammer
Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich alle Vorzeichen darin. Aus \(-(x-3)\) wird \(-x+3\).
Probe durch Ausmultiplizieren
Nach dem Ausklammern multiplizierst du zur Kontrolle wieder aus. Dann muss der Ausgangsterm herauskommen.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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