Der neue Belag für den Schulhof
AFB IDer Schulhof soll neu gepflastert werden. Die Fläche ist überall 12 m tief und besteht aus zwei aneinandergrenzenden Rechtecken: dem Hauptfeld, dessen Länge \(x\) in Metern die Bauleitung noch festlegt, und einem 7 m langen Streifen vor dem Fahrradständer (Material M1).
Die Maße in Metern; die Länge \(x\) des Hauptfeldes steht noch nicht fest.
- Stellen Sie einen Term für die gesamte Pflasterfläche als Produkt auf und geben Sie die zugehörige Summenform an.
- Berechnen Sie die Pflasterfläche für \(x=8{,}5\ \text{m}\) mit beiden Termformen.
- Der Belag kostet 39 € je Quadratmeter. Stellen Sie einen Term für die Materialkosten auf, geben Sie seine Summenform an und bestimmen Sie die Kosten für \(x=8{,}5\ \text{m}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Gesamtlänge beträgt \((x+7)\ \text{m}\), die Tiefe 12 m. Als Produkt gilt also
\(A = 12\cdot(x+7)\)
Mit dem Distributivgesetz folgt \(A = 12\cdot x + 12\cdot 7 = 12x+84\). Die Fläche beträgt also \((12x+84)\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Produktform: \(12\cdot(8{,}5+7)=12\cdot 15{,}5=186\).
Summenform: \(12\cdot 8{,}5+84=102+84=186\).
Beide Wege ergeben denselben Wert: Bei einer Hauptfeldlänge von 8,5 m sind 186 m² zu pflastern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(K = 39\cdot(12x+84) = 39\cdot 12x + 39\cdot 84 = 468x+3276\)
Für \(x=8{,}5\): \(468\cdot 8{,}5+3276 = 3978+3276 = 7254\).
Die Probe über die Fläche bestätigt das: \(39\cdot 186 = 7254\). Der Belag kostet bei dieser Planung 7254 €.
Das Hochbeet im Schulgarten
AFB IIDer Schulgarten besitzt ein quadratisches Hochbeet mit der Seitenlänge \(a\) (in Metern). Weil eine zweite Garten-AG dazukommt, wird das Beet in beiden Richtungen um jeweils 1,5 m verlängert; es entsteht wieder ein Quadrat (Material M2). Der Hausmeister möchte vorab wissen, wie stark die Fläche dabei wächst.
Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu; die Erweiterung um 1,5 m erfolgt an zwei Seiten.
- Stellen Sie einen Term für die Fläche des vergrößerten Beetes als Produkt auf und geben Sie mit der ersten binomischen Formel die Summenform an.
- Ermitteln Sie einen möglichst einfachen Term für den Flächenzuwachs und erläutern Sie, welchen Teilstücken der Skizze die einzelnen Summanden entsprechen.
- Das alte Beet hat die Seitenlänge \(a=2{,}4\ \text{m}\). Berechnen Sie die alte und die neue Fläche und überprüfen Sie damit Ihren Term aus Teilaufgabe b).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die neue Seitenlänge beträgt \(a+1{,}5\), die neue Fläche also \(A_{\text{neu}} = (a+1{,}5)^2\).
\((a+1{,}5)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot 1{,}5 + 1{,}5^2 = a^2 + 3a + 2{,}25\)
Die neue Beetfläche beträgt \((a^2+3a+2{,}25)\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(A_{\text{neu}} - A_{\text{alt}} = (a^2+3a+2{,}25) - a^2 = 3a+2{,}25\)
Der Summand \(a^2\) entfällt: Er entspricht dem blauen Quadrat, also dem alten Beet. Der Summand \(3a = 2\cdot 1{,}5\cdot a\) steht für die beiden grünen Streifen, die je \(1{,}5\cdot a\) Quadratmeter groß sind. Der Summand \(2{,}25 = 1{,}5\cdot 1{,}5\) ist das orange Eckquadrat.
Der Zuwachs beträgt also \((3a+2{,}25)\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(A_{\text{alt}} = 2{,}4^2 = 5{,}76\) und \(A_{\text{neu}} = (2{,}4+1{,}5)^2 = 3{,}9^2 = 15{,}21\).
Differenz: \(15{,}21-5{,}76 = 9{,}45\).
Der Term aus b) liefert \(3\cdot 2{,}4+2{,}25 = 7{,}2+2{,}25 = 9{,}45\) — derselbe Wert. Die Beetfläche wächst von 5,76 m² auf 15,21 m², also um 9,45 m².
Der Waffelstand auf dem Weihnachtsmarkt
AFB IIDie Jahrgangsstufe 11 betreibt auf dem Weihnachtsmarkt einen Waffelstand, um die Abifahrt mitzufinanzieren. Material M3 zeigt die Kalkulation. Standmiete sowie Gasflasche und Strom fallen unabhängig von der verkauften Menge an; die Zutaten fallen für jede einzelne Waffel an. Verkauft werden \(n\) Waffeln.
| Posten | Betrag |
|---|---|
| Verkaufspreis je Waffel | 3,00 € |
| Zutaten je Waffel | 1,20 € |
| Standmiete für den Tag | 150,00 € |
| Gasflasche und Strom | 30,00 € |
Die beiden letzten Posten fallen einmalig an, die beiden ersten je Waffel.
- Stellen Sie je einen Term für die Einnahmen und für die Gesamtkosten bei \(n\) verkauften Waffeln auf.
- Bestimmen Sie einen zusammengefassten Term für den Gewinn und stellen Sie ihn anschließend als Produkt dar.
- Interpretieren Sie die Produktform im Sachzusammenhang und geben Sie an, ab welcher Waffelzahl der Stand Gewinn abwirft.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Einnahmen: \(E = 3n\).
Die festen Kosten betragen \(150+30 = 180\) Euro, dazu kommen 1,20 € je Waffel:
\(K = 1{,}2n + 180\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(G = 3n - (1{,}2n+180) = 3n - 1{,}2n - 180 = 1{,}8n - 180\)
Der größte gemeinsame Faktor von \(1{,}8n\) und \(180\) ist 1,8, denn \(180 = 1{,}8\cdot 100\):
\(G = 1{,}8\cdot(n-100)\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Faktor 1,8 ist der Betrag, der je verkaufter Waffel nach Abzug der Zutaten übrig bleibt: \(3{,}00\ € - 1{,}20\ € = 1{,}80\ €\). Die Klammer \(n-100\) gibt an, wie viele Waffeln über 100 hinaus verkauft werden.
Für \(n=100\) ist \(G = 1{,}8\cdot 0 = 0\): Die ersten 100 Waffeln decken genau die festen Kosten von 180 €. Für \(n<100\) ist die Klammer negativ, der Stand macht Verlust. Ab der 101. Waffel wird die Klammer positiv — jede weitere Waffel bringt dann 1,80 € Gewinn.
Der geprüfte Kassenbericht
AFB IIIEin Sportverein richtet ein Hallenturnier mit \(x\) gemeldeten Mannschaften aus. Jede Mannschaft zahlt 12 € Startgeld und verursacht 4 € Verpflegungskosten. Die Halle kostet fest 250 €. Ein Sponsor zahlt zusätzlich 3 € für jede Mannschaft, die über die ersten 20 hinaus gemeldet wird. Der Überschuss lässt sich damit durch
\(U = 12x-(4x+250)+3\cdot(x-20)\)
beschreiben. Ein Praktikant formt diesen Term um (Material M4) und meldet dem Vorstand: „Der Verein macht \(11x+230\) Euro Überschuss — bei jeder Teilnehmerzahl ein sattes Plus.“
| Schritt | Rechnung des Praktikanten |
|---|---|
| 1 | 12x − (4x + 250) + 3 · (x − 20) |
| 2 | = 12x − 4x + 250 + 3x − 20 |
| 3 | = 11x + 230 |
Die drei Zeilen sind genau so notiert worden; geprüft wurde die Rechnung bisher nicht.
- Überprüfen Sie die Umformung Schritt für Schritt und nennen Sie die beiden Fehler, die dem Praktikanten unterlaufen sind.
- Bestimmen Sie den korrekt umgeformten Term und fassen Sie ihn so weit wie möglich zusammen.
- Widerlegen Sie mit \(x=40\) die Behauptung des Praktikanten, sein Term sei mit dem Ausgangsterm gleichwertig.
- Nehmen Sie Stellung zu seiner Erklärung: „Ein Minus vor der Klammer ändert nur das Vorzeichen des ersten Summanden in der Klammer.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fehler 1 (Schritt 1 auf 2): Vor der Klammer \((4x+250)\) steht ein Minus, also der Faktor \(-1\). Nach dem Distributivgesetz muss er beide Summanden treffen: \(-(4x+250) = -4x-250\). Der Praktikant hat nur bei \(4x\) das Vorzeichen gedreht und \(+250\) stehen lassen.
Fehler 2 (ebenfalls Schritt 1 auf 2): Der Faktor 3 muss ebenfalls auf beide Summanden treffen: \(3\cdot(x-20) = 3x-60\). Der Praktikant hat die 3 nur mit \(x\) multipliziert und die \(-20\) unverändert abgeschrieben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(U = 12x-(4x+250)+3\cdot(x-20)\)
\(U = 12x-4x-250+3x-60\)
\(U = (12-4+3)x + (-250-60) = 11x-310\)
Der Überschuss beträgt also \((11x-310)\) Euro.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ausgangsterm: \(12\cdot 40 - (4\cdot 40+250) + 3\cdot(40-20) = 480-410+60 = 130\).
Term des Praktikanten: \(11\cdot 40+230 = 440+230 = 670\).
Beide Terme liefern für dieselbe Teilnehmerzahl verschiedene Werte, sie sind also nicht gleichwertig; die Behauptung ist damit widerlegt. Der korrekte Term bestätigt den Ausgangswert: \(11\cdot 40-310 = 130\). Bei 40 Mannschaften bleiben dem Verein 130 € statt der gemeldeten 670 €.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Erklärung ist falsch. Das Minus vor einer Klammer ist der Faktor \(-1\), und nach dem Distributivgesetz gilt \(-1\cdot(a+b) = -a-b\) — der Faktor trifft jeden Summanden, nicht nur den ersten.
Ein Gegenbeispiel mit reinen Zahlen zeigt es sofort: \(-(4+250) = -254\), während die Regel des Praktikanten \(-4+250 = 246\) ergäbe.
Im Sachzusammenhang ist der Fehler besonders folgenschwer: Die Hallenmiete von 250 € wandert bei dieser Rechenweise von den Ausgaben auf die Einnahmenseite. Zusammen mit dem zweiten Fehler meldet der Praktikant dem Vorstand einen um 540 € zu hohen Überschuss — und zwar bei jeder Teilnehmerzahl. Richtig ist: Erst ab 29 Mannschaften trägt sich das Turnier überhaupt, denn für \(x=28\) ist \(11\cdot 28-310 = -2\).
Aufschlag und Rabatt in der Aktionswoche
AFB IIIEin Fahrradhändler wirbt für seine Aktionswoche. Am Montag erhöht er den Listenpreis jedes Modells um einen bestimmten Prozentsatz (den „Messepreis“), am Samstag gewährt er auf diesen erhöhten Preis denselben Prozentsatz als Rabatt. Material M5 zeigt drei Modelle mit den jeweiligen Sätzen.
In der Anzeige heißt es: „Aufschlag und Rabatt sind bei uns gleich groß — am Samstag zahlen Sie also wieder genau den Listenpreis.“
| Modell | Listenpreis | Aufschlag und Rabatt |
|---|---|---|
| Citybike | 850 € | 20 % |
| Trekkingrad | 1240 € | 10 % |
| E-Bike | 2400 € | 25 % |
Der Rabatt wird stets auf den bereits erhöhten Preis gewährt, nicht auf den Listenpreis.
- Berechnen Sie für das Citybike den Messepreis und den Preis am Samstag und geben Sie an, um welchen Betrag dieser vom Listenpreis abweicht.
- Der Listenpreis sei \(p\), der Satz als Dezimalzahl \(r\) (für 20 % also \(r=0{,}2\)). Stellen Sie einen Term für den Preis am Samstag auf und geben Sie mit der dritten binomischen Formel seine Summenform an.
- Bestimmen Sie mit diesem Term die Samstagspreise des Trekkingrads und des E-Bikes.
- Nehmen Sie zu der Aussage der Anzeige Stellung und untersuchen Sie dabei, ob es einen Unterschied macht, ob zuerst der Aufschlag oder zuerst der Rabatt gewährt wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Messepreis: \(850\ € \cdot 1{,}2 = 1020\ €\).
Samstagspreis: \(1020\ € \cdot 0{,}8 = 816\ €\).
\(850\ €-816\ € = 34\ €\): Der Samstagspreis liegt 34 € unter dem Listenpreis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Aufschlag ergibt \(p\cdot(1+r)\), der Rabatt darauf den Faktor \((1-r)\):
\(P = p\cdot(1+r)\cdot(1-r)\)
Die dritte binomische Formel liefert \((1+r)(1-r) = 1^2-r^2 = 1-r^2\), also
\(P = p\cdot(1-r^2) = p - p\cdot r^2\)
Probe mit dem Citybike: \(850\cdot(1-0{,}2^2) = 850\cdot 0{,}96 = 816\) — wie in Teilaufgabe a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Trekkingrad: \(1240\cdot(1-0{,}1^2) = 1240\cdot 0{,}99 = 1227{,}60\). Das sind 12,40 € unter dem Listenpreis.
E-Bike: \(2400\cdot(1-0{,}25^2) = 2400\cdot(1-0{,}0625) = 2400\cdot 0{,}9375 = 2250\). Das sind 150 € unter dem Listenpreis.
Am Samstag kosten die Räder also 1227,60 € beziehungsweise 2250,00 €.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage der Anzeige ist falsch. Nach b) gilt \(P = p-p\cdot r^2\); der Kunde zahlt also stets um \(p\cdot r^2\) weniger als den Listenpreis. Da ein Quadrat nie negativ ist, kann der Endpreis den Listenpreis nie übersteigen, und er ist genau dann gleich dem Listenpreis, wenn \(r=0\) gilt — also wenn es weder Aufschlag noch Rabatt gibt. Für jeden echten Aktionssatz liegt der Samstagspreis darunter.
Der Grund ist, dass sich der Rabatt auf den bereits erhöhten Preis bezieht und damit auf eine größere Grundlage wirkt als der Aufschlag. Die Abweichung wächst mit \(r^2\): Beim E-Bike sind es 150 € (6,25 % des Listenpreises), beim Trekkingrad nur 12,40 € (1 %).
Die Reihenfolge spielt dagegen keine Rolle: Wird zuerst der Rabatt gewährt, so lautet der Term \(p\cdot(1-r)\cdot(1+r)\). Nach dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz der Multiplikation dürfen die Faktoren beliebig vertauscht und zusammengefasst werden, das Ergebnis ist wieder \(p\cdot(1-r^2)\). Beim Citybike etwa: \(850\cdot 0{,}8 = 680\) und \(680\cdot 1{,}2 = 816\) — derselbe Preis.
Ehrlich wäre die Anzeige mit dem Hinweis, dass der Samstagspreis leicht unter dem Listenpreis liegt.