Die Rampe am Museumseingang
AFB IDer Seiteneingang eines Museums liegt 45 cm über dem Gehweg. Eine gerade Rampe führt auf einer waagerechten Länge von 6 m vom Gehweg bis zur Türschwelle. In der Bauzeichnung ist die Rampe als Gerade in ein Koordinatensystem eingetragen: waagerecht die Länge in Metern, senkrecht die Höhe in Zentimetern. Zwischen den Punkten A und B ist ein Steigungsdreieck eingezeichnet (Material M1).
Die Bauvorschrift des Museums erlaubt für Rampen eine Steigung von höchstens 6 %.
Die beiden Achsen tragen verschiedene Einheiten: waagerecht Meter, senkrecht Zentimeter.
- Geben Sie \(\Delta x\) und \(\Delta y\) des eingezeichneten Steigungsdreiecks mit Einheiten an.
- Berechnen Sie die Steigung der Rampe zunächst in Zentimetern je Meter und geben Sie sie anschließend in Prozent an.
- Prüfen Sie, ob die Rampe die Vorschrift einhält, und berechnen Sie, welche waagerechte Länge eine Rampe bei genau 6 % Steigung bräuchte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Dreieck reicht waagerecht von \(x=2\) bis \(x=4\) und senkrecht von \(y=15\) bis \(y=30\).
\(\Delta x = 2\ \text{m}\) und \(\Delta y = 15\ \text{cm}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{15\ \text{cm}}{2\ \text{m}}=7{,}5\ \frac{\text{cm}}{\text{m}}\)
In gleichen Einheiten: \(m=\frac{15\ \text{cm}}{200\ \text{cm}}=0{,}075=7{,}5\,\%\).
Die Rampe steigt je Meter waagerechter Länge um 7,5 cm an, das entspricht einer Steigung von 7,5 %. Die Kontrolle über die ganze Rampe bestätigt den Wert: \(\frac{45\ \text{cm}}{6\ \text{m}}=7{,}5\ \frac{\text{cm}}{\text{m}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wegen \(7{,}5\,\% > 6\,\%\) hält die Rampe die Vorschrift nicht ein.
Bei 6 % gilt \(m=0{,}06\), also \(\Delta x=\frac{\Delta y}{m}=\frac{45\ \text{cm}}{0{,}06}=750\ \text{cm}=7{,}5\ \text{m}\).
Die Rampe müsste bei gleicher Höhe waagerecht 7,5 m lang sein, also um 1,5 m verlängert werden.
Der Druck in der Pressluftflasche
AFB IIBei einem Tauchgang in gleichbleibender Tiefe wird alle fünf Minuten der Druck in der Pressluftflasche abgelesen. Die Taucherin startet mit einer vollen Flasche und atmet währenddessen gleichmäßig (Material M2).
Ein Tauchgang muss beendet werden, sobald der Reservedruck von 50 bar erreicht ist.
| Tauchzeit in min | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Flaschendruck in bar | 200 | 182 | 164 | 146 | 128 |
Die Zeit \(t\) wird in Minuten ab dem Start gemessen, der Druck \(p\) in bar.
- Berechnen Sie mit zwei der Messwerte die Steigung des Zusammenhangs und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Zeigen Sie, dass alle fünf Messwerte auf einer Geraden liegen, und stellen Sie die zugehörige Funktionsgleichung auf.
- Bestimmen Sie den Flaschendruck nach 30 Minuten sowie den Zeitpunkt, zu dem der Reservedruck erreicht ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mit \(P_1(0\,|\,200)\) und \(P_2(10\,|\,164)\):
\(m=\frac{164-200}{10-0}=\frac{-36}{10}=-3{,}6\)
Der Druck nimmt je Minute um 3,6 bar ab. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die zugehörige Gerade fällt; die Einheit der Steigung ist \(\frac{\text{bar}}{\text{min}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\frac{182-200}{5-0}=-3{,}6\); \(\frac{164-182}{10-5}=-3{,}6\); \(\frac{146-164}{15-10}=-3{,}6\); \(\frac{128-146}{20-15}=-3{,}6\)
Zwischen je zwei benachbarten Messwerten ergibt sich derselbe Quotient \(-3{,}6\). Da die Steigung überall gleich ist, liegen alle Punkte auf einer Geraden.
Bei \(t=0\) beträgt der Druck 200 bar, also ist \(b=200\). Damit gilt \(p(t)=-3{,}6\,t+200\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(p(30)=-3{,}6\cdot 30+200=-108+200=92\)
\(50=-3{,}6\,t+200 \;\Rightarrow\; 3{,}6\,t=150 \;\Rightarrow\; t=\frac{150}{3{,}6}\approx 41{,}7\)
Nach 30 Minuten stehen noch 92 bar in der Flasche. Der Reservedruck von 50 bar ist nach rund 41,7 Minuten, also nach etwa 41 Minuten und 40 Sekunden erreicht; bis dahin muss der Aufstieg begonnen sein.
Die Rechnungen der Fahrradwerkstatt
AFB IIEine Fahrradwerkstatt berechnet für jede Reparatur eine feste Grundpauschale und zusätzlich einen Betrag, der proportional zur Arbeitszeit ist. Materialkosten werden getrennt abgerechnet und bleiben hier unberücksichtigt. Drei Rechnungen aus der vergangenen Woche liegen vor (Material M3).
| Rechnung | berechnete Arbeitszeit | Rechnungsbetrag |
|---|---|---|
| R1 | 1,5 h | 187,50 € |
| R2 | 3,0 h | 300,00 € |
| R3 | 4,5 h | 412,50 € |
Die Arbeitszeit \(x\) wird in Stunden angegeben, der Rechnungsbetrag \(K(x)\) in Euro.
- Berechnen Sie aus den Rechnungen R1 und R2 die Steigung und erläutern Sie, welche Größe der Werkstatt sie beschreibt.
- Stellen Sie die Funktionsgleichung des Rechnungsbetrags auf und erläutern Sie die Bedeutung von \(b\).
- Überprüfen Sie die Aussage eines Kunden: „Wenn die Werkstatt doppelt so lange arbeitet, wird die Rechnung auch doppelt so hoch.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m=\frac{300{,}00-187{,}50}{3{,}0-1{,}5}=\frac{112{,}50}{1{,}5}=75\)
Die Steigung beträgt 75 Euro je Stunde. Sie beschreibt den Stundensatz der Werkstatt, also den Betrag, um den die Rechnung wächst, wenn eine weitere Arbeitsstunde anfällt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Einsetzen von R1 in \(K(x)=75x+b\): \(187{,}50=75\cdot 1{,}5+b=112{,}50+b\), also \(b=75\).
\(K(x)=75x+75\)
Probe mit R3: \(K(4{,}5)=75\cdot 4{,}5+75=337{,}50+75=412{,}50\) — das stimmt mit der Rechnung überein.
Der y-Achsenabschnitt \(b=75\) ist die feste Grundpauschale: Sie fällt schon bei \(x=0\) an, also unabhängig von der Arbeitszeit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gegenbeispiel mit 2 h und 4 h: \(K(2)=75\cdot 2+75=225\) und \(K(4)=75\cdot 4+75=375\).
Das Doppelte von 225 € wären 450 €, tatsächlich sind es aber nur 375 €. Die Aussage ist damit falsch.
Grund: Beim Verdoppeln der Arbeitszeit verdoppelt sich nur der zeitabhängige Anteil \(75x\), die Grundpauschale von 75 € wird jedoch weiterhin genau einmal berechnet. Nur wenn \(b=0\) wäre, würde die doppelte Arbeitszeit auch den doppelten Betrag ergeben.
Zwei Förderbänder im Kieswerk
AFB IIIIn einem Kieswerk transportieren zwei gerade Förderbänder Kies auf Halden. Material M4 zeigt beide Bänder von der Seite: waagerecht ist die überbrückte Länge in Metern aufgetragen, senkrecht die Höhe über dem Boden.
Ein Praktikant notiert im Protokoll: „Band A ist steiler als Band B, denn Band A überwindet 6 m Höhe, Band B nur 4 m.“
Die Bänder beginnen in unterschiedlicher Höhe, weil sie auf verschieden hohen Sockeln stehen.
- Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Steigung von Band A und von Band B.
- Widerlegen Sie die Aussage des Praktikanten.
- Berechnen Sie die waagerechte Mindestlänge eines neuen Bandes C, das von 1 m auf 7 m Höhe führen soll und dabei eine Steigung von 0,4 nicht überschreiten darf.
- Begründen Sie allgemein, unter welcher Bedingung zwei Bänder allein anhand der überwundenen Höhe nach ihrer Steilheit geordnet werden dürfen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Band A verläuft von \((0\,|\,1)\) nach \((12\,|\,7)\): \(m_A=\frac{7-1}{12-0}=\frac{6}{12}=0{,}5\).
Band B verläuft von \((0\,|\,2)\) nach \((8\,|\,6)\): \(m_B=\frac{6-2}{8-0}=\frac{4}{8}=0{,}5\).
Beide Bänder haben die Steigung 0,5, steigen also je Meter waagerechter Länge um 50 cm an.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Aussage ist falsch: Wegen \(m_A=m_B=0{,}5\) sind beide Bänder gleich steil; ihre Geraden verlaufen parallel zueinander.
Der Praktikant vergleicht nur die Höhenunterschiede \(\Delta y\) und lässt außer Acht, dass Band A diese Höhe auf 12 m verteilt, Band B seine geringere Höhe aber schon auf 8 m. Die Steilheit ist kein Höhenunterschied, sondern das Verhältnis \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) — und \(\frac{6}{12}\) und \(\frac{4}{8}\) sind derselbe Bruch.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Höhenunterschied: \(\Delta y=7\ \text{m}-1\ \text{m}=6\ \text{m}\).
Aus \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) folgt \(\Delta x=\frac{\Delta y}{m}=\frac{6\ \text{m}}{0{,}4}=15\ \text{m}\).
Band C muss waagerecht mindestens 15 m überbrücken. Eine kürzere Strecke würde die Steigung über 0,4 treiben, eine längere ist zulässig, weil die Steigung dann kleiner ausfällt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Es gilt \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Der Quotient wächst mit dem Zähler nur dann zwingend, wenn der Nenner unverändert bleibt. Ein Vergleich allein über \(\Delta y\) ist deshalb genau dann zulässig, wenn beide Bänder dieselbe waagerechte Länge \(\Delta x\) überbrücken.
Sind die waagerechten Längen verschieden, so kann ein Band mit kleinerem Höhenunterschied durchaus steiler sein — etwa ein Band mit \(\Delta y=3\ \text{m}\) auf \(\Delta x=3\ \text{m}\), das mit \(m=1\) doppelt so steil ist wie Band A.
Zwei Angebote für den Umzugstransporter
AFB IIIFür einen Umzug wird ein Kleintransporter für einen Tag gemietet. Der Anbieter Flott verlangt 39 € Grundgebühr und zusätzlich 0,29 € je gefahrenem Kilometer. Der Anbieter Rollo verlangt 75 € Grundgebühr und 0,17 € je Kilometer. Material M5 zeigt beide Kostenverläufe.
Ein Mitarbeiter des Anbieters Rollo wirbt mit dem Satz: „Der Tarif mit der kleineren Steigung ist immer der günstigere.“
Die Strecke \(x\) wird in Kilometern gemessen; beide Geraden gelten für einen Miettag.
- Stellen Sie für beide Anbieter die Funktionsgleichung der Kosten auf und geben Sie an, welche Gerade in Material M5 zu welchem Anbieter gehört.
- Erläutern Sie die Bedeutung von \(m\) und \(b\) im Sachzusammenhang und berechnen Sie für beide Anbieter die Kosten einer Fahrt über 250 km.
- Bestimmen Sie die Strecke, ab der das Angebot von Rollo günstiger ist.
- Nehmen Sie Stellung zu dem Werbesatz des Mitarbeiters.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Flott: \(f(x)=0{,}29x+39\). Rollo: \(g(x)=0{,}17x+75\).
Die Gerade, die die senkrechte Achse bei 39 € schneidet und steiler verläuft, gehört zu Flott; die flachere Gerade mit dem Achsenabschnitt 75 € gehört zu Rollo.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Steigung \(m\) ist der Preis je gefahrenem Kilometer: Bei Flott wachsen die Kosten je Kilometer um 0,29 €, bei Rollo nur um 0,17 €. Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist die Grundgebühr, die auch dann anfällt, wenn kein Kilometer gefahren wird.
\(f(250)=0{,}29\cdot 250+39=72{,}50+39=111{,}50\)
\(g(250)=0{,}17\cdot 250+75=42{,}50+75=117{,}50\)
Für 250 km kostet Flott 111,50 €, Rollo 117,50 €; hier ist Flott um 6,00 € günstiger.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(0{,}29x+39=0{,}17x+75\)
\(0{,}12x=36 \;\Rightarrow\; x=\frac{36}{0{,}12}=300\)
Bei genau 300 km kosten beide Angebote dasselbe, nämlich \(f(300)=g(300)=126{,}00\) €. Da Rollos Kosten langsamer wachsen, ist Rollo für alle Strecken über 300 km günstiger, Flott dagegen für alle Strecken darunter.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Werbesatz ist in dieser Form nicht haltbar. Zwar wächst der Tarif von Rollo wegen der kleineren Steigung langsamer, doch er startet 36 € höher. Für kurze Strecken ist deshalb Flott günstiger: Bei 100 km zahlt man dort 68,00 €, bei Rollo 92,00 €.
Die Steigung beschreibt nur, wie schnell die Kosten zunehmen, nicht, auf welchem Niveau sie beginnen. Über den Preis entscheidet stets die Kombination aus \(m\) und \(b\).
Richtig wäre der Satz nur unter einer Zusatzbedingung: Bei gleicher Grundgebühr \(b\) ist tatsächlich der Tarif mit der kleineren Steigung für jede Strecke günstiger. Andernfalls gilt die Aussage lediglich für hinreichend lange Strecken — hier ab 300 km.