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Interaktive ÜbungNullstellen

Zwanzig Aufgaben zu Nullstellen quadratischer Funktionen: p und q ablesen, den Wert unter der Wurzel bestimmen, die pq-Formel rechnen und die drei Fälle unterscheiden.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungNullstellen — zwei, eine oder keine; die pq-Formel und der Weg mit dem GTR.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben, die meisten zum Rechnen: Normalform herstellen, \(p\) und \(q\) ablesen, den Wert unter der Wurzel bestimmen und die pq-Formel bis zum Ergebnis durchziehen. Dazwischen Fehlersuche, Zuordnungen und ein Klick durch den GTR-Ablauf. Ein leeres Feld nimmt Kommazahlen mit Komma oder Punkt, Brüche als 1/2 und das Minus als Bindestrich. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken.

1Die Begriffe zur NullstelleAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Wörtern aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Funktionswert ist — dort trifft der Graph die . Bei einer Parabel sind Fälle möglich: zwei, eine oder keine Nullstelle. Bei genau einer Nullstelle liegt der genau auf der x-Achse. Die pq-Formel setzt die voraus; steht vor x² eine Zahl, wird die Gleichung zuerst durch diese Zahl . Ist der Wert unter der Wurzel , gibt es keine Nullstelle.

Übrig bleiben „y-Achse“ und „zwei“: Die y-Achse wird von jeder Parabel genau einmal geschnitten, bei \(f(0)=c\) — das hat mit Nullstellen nichts zu tun. Und die Anzahl der möglichen Fälle ist drei, nicht zwei.
2p und q ablesenAFB I

Drei Gleichungen in Normalform: \(x^2-6x+8=0\), \(x^2+x=0\) und \(x^2-9=0\).

Lesen Sie jeweils \(p\) und \(q\) mit Vorzeichen ab. Fehlt ein Summand, ist die zugehörige Zahl null.

Vergleiche mit \(x^2+px+q\): \(p\) ist die Zahl vor \(x\), \(q\) die Zahl ohne \(x\) — jeweils mit dem Vorzeichen, das davorsteht.
Bei \(x^2+x\) steht vor \(x\) eine unsichtbare 1, also \(p=1\), und es gibt keine Zahl ohne \(x\), also \(q=0\). Bei \(x^2-9\) fehlt der \(x\)-Summand, also \(p=0\) und \(q=-9\). Wer hier \(p=-9\) einträgt, verwechselt die Rollen der beiden Zahlen.
3Zwei, eine oder keine — im BildAFB I

Vier Parabeln A bis D sind eingezeichnet.

Klicken Sie jeweils die Parabel an, auf die die Beschreibung zutrifft. Nur wer beim ersten Klick richtig liegt, schließt die Aufgabe ab.

Lies die Frage, schaue auf die Schnittpunkte mit der x-Achse und klicke dann die passende Parabel oder ihr Buchstaben-Kästchen an. Mit der Tastatur: Tab zum Wandern, Enter zum Auswählen.

−6−5−4−3−2−112345−6−5−4−3−2−112345xyABCD
C berührt die x-Achse nur im Scheitelpunkt \((2\,|\,0)\), das ist der Fall „eine Nullstelle“. B liegt vollständig unter der x-Achse, D vollständig darüber — beide haben keine Nullstelle, unabhängig von der Öffnungsrichtung. A schneidet die x-Achse zweimal, bei \(-1\) und bei \(3\); ihr Scheitelpunkt \((1\,|\,-4)\) liegt genau in der Mitte.
4Die pq-Formel Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(x^2+2x-15=0\).

Rechnen Sie die pq-Formel \(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\) in sechs Schritten durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie lautet \(-\frac{p}{2}\)?
  2. Wie lautet \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)?
  3. Welcher Wert steht unter der Wurzel, also \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)?
  4. Wie groß ist die Wurzel daraus?
  5. \(x_1\) mit dem Pluszeichen:
  6. \(x_2\) mit dem Minuszeichen:
Mit \(p=2\) und \(q=-15\) ist \(-\frac{p}{2}=-1\) und \(\left(\frac{p}{2}\right)^2=1\). Unter der Wurzel steht \(1-(-15)=16\) — das doppelte Minus wird zum Plus. Die Wurzel ist 4, also \(x_1=-1+4=3\) und \(x_2=-1-4=-5\). Probe: \(9+6-15=0\) ✓ und \(25-10-15=0\) ✓.
5Nullstellen berechnenAFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^2-x-12\) und \(g(x)=x^2-10x+25\).

Berechnen Sie die Nullstellen beider Funktionen mit der pq-Formel. Bei \(g\) gibt es nur eine.

Bei \(f\) dürfen die beiden Nullstellen in beliebiger Reihenfolge stehen. Achte bei \(p=-1\) darauf, dass \(-\frac{p}{2}\) positiv wird.
Nullstellen von \(f\):
Nullstelle von \(g\):
Für \(f\): \(p=-1\), \(q=-12\), also \(x_{1/2}=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+12}=0{,}5\pm 3{,}5\), das ergibt 4 und \(-3\). Für \(g\): \(p=-10\), \(q=25\), also \(x_{1/2}=5\pm\sqrt{25-25}=5\pm 0\). Unter der Wurzel steht null — beide Ergebnisse fallen zusammen, die Parabel berührt die x-Achse bei 5.
6Zwei, eine oder keine Nullstelle?AFB II

Acht Funktionen liegen im Vorrat.

Ordnen Sie jede Funktion dem richtigen Fall zu. Entscheiden Sie mit dem Wert unter der Wurzel — bei den Funktionen mit \(a\neq 1\) zuerst durch \(a\) teilen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück). Rechne den Wert unter der Wurzel wirklich aus.
1zwei Nullstellen
2eine Nullstelle
3keine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel entscheidet: \(x^2+4x+4\) ergibt \(4-4=0\) (eine), \(x^2+2x+5\) ergibt \(1-5=-4\) (keine), \(x^2-5x+6\) ergibt \(6{,}25-6=0{,}25\) (zwei). Bei \(-x^2+6x-9\) wird zuerst durch \(-1\) geteilt: \(x^2-6x+9\) liefert \(9-9=0\) (eine). \(2x^2-8\) wird zu \(x^2-4\) mit \(0+4=4\) (zwei), und \(x^2+3x+3\) hat \(2{,}25-3\lt 0\) (keine).
7Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 7

Die beiden falschen Rechenaussagen sind die häufigsten Fehler: Die pq-Formel auf eine Gleichung mit \(a\neq 1\) loslassen und \(p\) mit \(q\) verwechseln, wenn ein Summand fehlt. Der Rest sind die drei Fälle in verschiedenen Formulierungen.
8Der Lösungsweg mit LückenAFB II

Gesucht sind die Nullstellen von \(f(x)=3x^2-6x-24\).

Vervollständigen Sie den Lösungsweg: Normalform herstellen, \(p\) und \(q\) notieren, Wert unter der Wurzel berechnen, beide Nullstellen angeben.

Fülle die Lücken der Reihe nach. \(x_1\) ist das Ergebnis mit dem Pluszeichen, \(x_2\) das mit dem Minuszeichen. Enter prüft alle Felder.
\(3x^2-6x-24=0\;\big|\,:3\) ergibt \(x^2+px+q=0\) mit
Vor der Wurzel steht \(-\frac{p}{2}=\)
Unter der Wurzel steht \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=\)
Nullstellen:
Nach der Division durch 3 lautet die Normalform \(x^2-2x-8=0\), also \(p=-2\) und \(q=-8\). Vor der Wurzel steht \(-\frac{-2}{2}=1\), unter der Wurzel \(1-(-8)=9\). Damit ist \(x_{1/2}=1\pm 3\), also \(x_1=4\) und \(x_2=-2\). Probe an der Originalfunktion: \(f(4)=48-24-24=0\) ✓.
9Fehlersuche in der pq-RechnungAFB II

Ein Schüler löst \(x^2+4x-5=0\) und notiert acht Zeilen.

Finden Sie die drei fehlerhaften Zeilen. Die richtigen Zeilen müssen stehen bleiben.

Klicke genau die falschen Zeilen an — nach der Prüfung erscheint unter jeder falschen Zeile die Korrektur. Achtung: Manche Zeilen sind richtig, obwohl davor ein Fehler steht.
Zeile 1 ist der Vorzeichenfehler beim Ablesen, Zeile 4 vergisst das Minus vor \(\frac{p}{2}\), Zeile 8 verwechselt die Fälle. Zeile 5 ist richtig, obwohl Zeile 4 falsch ist — der Schüler hat offenbar mit dem richtigen Wert weitergerechnet. Deshalb lohnt sich bei einer Fehlersuche immer die Probe: Zeile 6 zeigt, dass die Ergebnisse stimmen.
10Nullstellen im Koordinatensystem markierenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^2-2x-3\).

Berechnen Sie die beiden Nullstellen und markieren Sie die zugehörigen Punkte im Koordinatensystem. Nach der Prüfung erscheint die Parabel.

Klicke auf einen Gitterpunkt, um ihn zu setzen; ein zweiter Klick entfernt ihn wieder. Mit der Tastatur: Tab auf das Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen die Markierung, Enter setzt den Punkt. Nullstellen liegen immer auf der x-Achse.
Mit \(p=-2\) und \(q=-3\) ist \(x_{1/2}=1\pm\sqrt{1+3}=1\pm 2\), also \(x_1=3\) und \(x_2=-1\). Die zugehörigen Punkte sind \((3\,|\,0)\) und \((-1\,|\,0)\) — die y-Koordinate einer Nullstelle ist immer null. Der Scheitelpunkt \((1\,|\,-4)\) liegt genau in der Mitte dazwischen.
11Der Wert unter der WurzelAFB II

Vier Gleichungen in Normalform.

Berechnen Sie für jede Gleichung den Wert \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\) und kreuzen Sie ihn in der Tabelle an. In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.

In jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.
Gleichung\(-2\)\(0\)\(4\)\(16\)
\(x^2+6x+5=0\)
\(x^2-4x+4=0\)
\(x^2+2x+3=0\)
\(x^2-8x=0\)
\(x^2+6x+5\): \(9-5=4\). \(x^2-4x+4\): \(4-4=0\), eine Nullstelle. \(x^2+2x+3\): \(1-3=-2\), keine Nullstelle. \(x^2-8x\): \(16-0=16\), Nullstellen 0 und 8. Der Wert unter der Wurzel verrät die Anzahl, noch bevor die Wurzel gezogen wird.
12q so wählen, dass es genau eine Nullstelle gibtAFB II

Gegeben ist \(x^2+6x+q=0\).

Bestimmen Sie die Zahl \(q\) so, dass die Gleichung genau eine Lösung hat.

Genau eine Lösung heißt: Unter der Wurzel steht null. Stelle die Bedingung auf und löse nach \(q\) auf.
Unter der Wurzel steht \(\left(\frac{6}{2}\right)^2-q=9-q\). Genau eine Lösung gibt es für \(9-q=0\), also \(q=9\). Die Gleichung \(x^2+6x+9=0\) hat dann die einzige Lösung \(x=-3\); der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \((-3\,|\,0)\).
13Bedingungen an p und qAFB III

Zwei Fragen zu den drei Fällen.

Bestimmen Sie (1) die kleinste ganze Zahl \(c\), für die \(f(x)=x^2+2x+c\) keine Nullstelle hat, und (2) die positive Zahl \(p\), für die \(x^2+px+16=0\) genau eine Lösung hat.

Schreibe jeweils den Wert unter der Wurzel auf und überlege, wann er negativ bzw. null wird.
(1) Unter der Wurzel steht \(1-c\). Keine Nullstelle bedeutet \(1-c\lt 0\), also \(c>1\); die kleinste ganze Zahl ist \(c=2\). (2) Unter der Wurzel steht \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-16\). Null wird das für \(\left(\frac{p}{2}\right)^2=16\), also \(\frac{p}{2}=4\) und \(p=8\). Dann ist \(x^2+8x+16=(x+4)^2\) mit der einzigen Nullstelle \(-4\).
14Der Lösungsweg in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Die Nullstellen von \(f(x)=2x^2+4x-6\) sollen ohne GTR berechnet werden.

Bringen Sie die sechs Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Ansatz notieren: f(x) = 0, also 2x² + 4x − 6 = 0.
2Durch 2 teilen: x² + 2x − 3 = 0.
3p = 2 und q = −3 notieren.
4In die pq-Formel einsetzen: x₁/₂ = −1 ± √(1 + 3).
5Wurzel ziehen: x₁/₂ = −1 ± 2.
6Lösung notieren: x₁ = 1 und x₂ = −3.
Die Reihenfolge ist immer dieselbe: Ansatz, Normalform, \(p\) und \(q\), einsetzen, Wurzel ziehen, Lösung. Der zweite Schritt ist hier zwingend, weil vor \(x^2\) eine 2 steht — wer ihn überspringt, setzt \(p=4\) und \(q=-6\) ein und erhält falsche Nullstellen.
15Gleichung und Lösungen verbindenAFB II

Sechs Gleichungen und sechs Lösungsmengen.

Verbinden Sie jede Gleichung mit ihren Lösungen. Rechnen Sie nach — mehrere Lösungsmengen sehen sich ähnlich.

Wähle links eine Gleichung aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passenden Lösungen an.
\(x^2-9=0\) hat \(p=0\), also \(x=\pm 3\). \(x^2-9x=0\) hat \(q=0\): \(4{,}5\pm 4{,}5\), also 0 und 9. \(x^2-6x+9\) ergibt unter der Wurzel \(9-9=0\), nur die 3. \(x^2+x-6\): \(-0{,}5\pm 2{,}5\), also 2 und \(-3\). \(x^2+5x+6\): \(-2{,}5\pm 0{,}5\), also \(-2\) und \(-3\). Und \(x^2+9=0\) hat unter der Wurzel \(-9\): keine Lösung.
16Der Weg mit dem GTRAFB I

Die Nullstellen von \(f(x)=2x^2-8x-10\) sollen mit dem GTR bestimmt werden.

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Entscheidung. Ein Fehlklick wird gezählt, führt aber nicht zurück.

Lies die Situation und klicke die passende Fortsetzung an. Der bisherige Ablauf sammelt sich darunter.

    Der GTR-Weg spart die Normalform, nicht aber den Ansatz und die Interpretation. Das Ergebnis ist dasselbe wie mit der pq-Formel: \(x_1=5\) und \(x_2=-1\). Wer statt „Zero“ den Befehl „Maximum“ wählt, bekommt einen Scheitelpunkt, keine Nullstelle.
    17Mit negativem aAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=-2x^2+12x-10\).

    Berechnen Sie die Nullstellen mit der pq-Formel. Beachten Sie: Vor \(x^2\) steht eine negative Zahl.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. Durch welche Zahl wird die Gleichung \(f(x)=0\) geteilt?
    2. Wie lautet \(p\) in der Normalform?
    3. Wie lautet \(q\)?
    4. Welcher Wert steht unter der Wurzel?
    5. \(x_1\) mit dem Pluszeichen:
    6. \(x_2\) mit dem Minuszeichen:
    Geteilt wird durch \(-2\), dann drehen sich alle Vorzeichen: \(x^2-6x+5=0\), also \(p=-6\) und \(q=5\). Vor der Wurzel steht 3, unter der Wurzel \(9-5=4\), also \(x_{1/2}=3\pm 2\): \(x_1=5\), \(x_2=1\). Wer nur durch 2 teilt, bekommt \(-x^2+6x-5\) und kann die pq-Formel nicht anwenden.
    18Nullstellen, die keine ganzen Zahlen sindAFB II

    Gegeben sind \(f(x)=x^2+3x-1{,}75\) und \(g(x)=4x^2-1\).

    Berechnen Sie alle Nullstellen. Geben Sie die Ergebnisse als Dezimalzahlen an.

    Die Reihenfolge innerhalb einer Zeile ist egal. Bei \(g\) zuerst durch 4 teilen — dann ist \(q\) ein Bruch.
    Nullstellen von \(f\):
    Nullstellen von \(g\):
    Für \(f\): \(-1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+1{,}75}=-1{,}5\pm 2\), also \(0{,}5\) und \(-3{,}5\). Für \(g\): Division durch 4 ergibt \(x^2-0{,}25=0\) mit \(p=0\) und \(q=-0{,}25\), also \(x=\pm\sqrt{0{,}25}=\pm 0{,}5\). Der Wert \(0{,}5\) ist Nullstelle beider Funktionen — die Parabeln schneiden sich dort auf der x-Achse.
    19Von den Nullstellen zur GleichungAFB III

    Eine Parabel in Normalform \(f(x)=x^2+px+q\) hat die Nullstellen \(x_1=2\) und \(x_2=7\).

    Bestimmen Sie \(p\) und \(q\). Tipp: In der pq-Formel liegt \(-\frac{p}{2}\) genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

    Erst \(p\) aus der Mitte der Nullstellen, dann \(q\) durch Einsetzen einer Nullstelle in \(x^2+px+q=0\).
    Die Mitte zwischen 2 und 7 ist \(4{,}5\), also \(-\frac{p}{2}=4{,}5\) und \(p=-9\). Einsetzen von \(x=2\): \(4-18+q=0\), also \(q=14\). Kontrolle mit der pq-Formel: \(4{,}5\pm\sqrt{20{,}25-14}=4{,}5\pm 2{,}5\), das ergibt tatsächlich 7 und 2.
    20Wo landet der Ball?AFB III

    Ein Ball wird geworfen. Seine Flugbahn wird durch \(h(x)=-0{,}5x^2+2x+6\) beschrieben; \(x\) ist die waagerechte Entfernung vom Werfer in Metern, \(h(x)\) die Höhe in Metern.

    Berechnen Sie, in welcher Entfernung der Ball auf dem Boden aufkommt. Der Boden liegt bei \(h(x)=0\).

    Setze \(h(x)=0\), teile durch \(-0{,}5\) und wende die pq-Formel an. Von den zwei Ergebnissen passt nur eines zur Situation.
    m
    Aus \(-0{,}5x^2+2x+6=0\) wird nach Division durch \(-0{,}5\) die Gleichung \(x^2-4x-12=0\). Die pq-Formel liefert \(2\pm\sqrt{4+12}=2\pm 4\), also 6 und \(-2\). Eine negative Entfernung gibt es nicht — der Ball landet 6 m vom Werfer entfernt. Die zweite Nullstelle liegt hinter dem Werfer und gehört nicht zur Flugbahn.
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