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Nullstellen

Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Berechnet werden sie mit der pq-Formel oder mit dem Zero-Befehl des GTR.

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Zwei, eine oder keine Nullstelle

An einer Nullstelle trifft der Graph die \(x\)-Achse. Eine Parabel kann sie zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht erreichen.

Die drei Fälle im Koordinatensystem
−6−5−4−3−2−112345−3−2−11234xyzwei Nullstelleneine Nullstelle bei (1 | 0)keine Nullstelle

Die orange Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal, die rote berührt sie bei \((1\,|\,0)\), die grüne erreicht sie nicht. Mehr als diese drei Fälle gibt es nicht.

  • Zwei Nullstellen:die Parabel schneidet die \(x\)-Achse an zwei Stellen.
  • Eine Nullstelle:die Parabel berührt die \(x\)-Achse, der Scheitelpunkt liegt auf ihr.
  • Keine Nullstelle:die Parabel liegt ganz oberhalb oder ganz unterhalb der \(x\)-Achse.
Merke

Anzahl der Nullstellen: Eine quadratische Funktion hat zwei, eine oder keine Nullstelle.

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Nullstellen mit der pq-Formel

Du setzt \(f(x)=0\) und wendest die pq-Formel an. Sie gilt nur für die Normalform \(x^2+px+q=0\).

  • Normalform:vor \(x^2\) steht keine Zahl — sonst zuerst durch \(a\) teilen.
  • \(p\) und \(q\):mit ihrem Vorzeichen ablesen.
  • \(\pm\):einmal mit Plus, einmal mit Minus rechnen.
  • Wert unter der Wurzel:positiv: zwei, null: eine, negativ: keine Nullstelle.
Merke

pq-Formel: \(x_{1/2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)

Was entscheidet nun darüber, welcher der drei Fälle eintritt? Stelle \(p\) und \(q\) ein und beobachte den Wert unter der Wurzel.

Der Wert unter der Wurzel

Die beiden Regler verändern \(p\) und \(q\) in der Normalform \(f(x)=x^2+px+q\). Rechts siehst du, was die pq-Formel unter der Wurzel stehen hat. Mit den Schaltflächen springst du direkt in einen der drei Fälle.

−6−4−2246−6−4−2246xyf(x) = x² + 2x − 3
p
2
q
−3
unter der Wurzel
4
Nullstellen
1 und −3
Der Wert unter der Wurzel ist positiv. Das Plus-Minus-Zeichen liefert zwei verschiedene Ergebnisse: zwei Nullstellen.

Achte darauf, wann die Farbe umschlägt: Solange unter der Wurzel eine positive Zahl steht, gibt es zwei Nullstellen. Wird der Wert genau null, fallen beide zusammen — es bleibt eine. Wird er negativ, lässt sich die Wurzel nicht ziehen, und es gibt keine Nullstelle.

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Das Beispiel in vier Schritten

Bei \(f(x)=2x^2-8x-10\) steht vor \(x^2\) eine 2. Du stellst also zuerst die Normalform her.

  • 1. Normalform:\(2x^2-8x-10=0\;\;\vert:2\;\;\Rightarrow\; x^2-4x-5=0\).
  • 2. \(p\) und \(q\):\(p=-4\), \(q=-5\).
  • 3. Einsetzen:\(x_{1/2}=2\pm\sqrt{4+5}=2\pm 3\).
  • 4. Lösung:\(x_1=5\), \(x_2=-1\) — unter der Wurzel steht \(9>0\), also zwei Nullstellen.
Der Graph zu \(f(x)=2x^2-8x-10\)
−2−1123456−20−15−10−551015xyx₁ = 5x₂ = −1f(x) = 2x² − 8x − 10

Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse an zwei Stellen. Es sind genau die berechneten Nullstellen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\).

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Derselbe Weg mit dem GTR

Mit dem GTR löst du \(f(x)=0\) ohne Umformen. Du gibst den Term ein, wie er dasteht.

  • Eingabe:\(Y_1=2x^2-8x-10\) — der Originalterm.
  • Befehl:Nullstellen-Befehl (Zero) anwenden.
  • Ausgabe:\(x_1=5\), \(x_2=-1\).
  • Vergleich:pq-Formel und GTR liefern dieselben Nullstellen.
Merke

GTR: Originalterm eingeben — keine Normalform nötig.

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Allgemeine Hinweise

Erst die Normalform

Die pq-Formel gilt nur, wenn vor \(x^2\) keine Zahl steht. Teile sonst zuerst die ganze Gleichung durch \(a\).

Vorzeichen von p und q

Übernimm \(p\) und \(q\) mit ihrem Vorzeichen. Negative Zahlen setzt du in Klammern ein.

Wurzel zuerst

Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel. Er verrät dir sofort, wie viele Nullstellen es gibt.

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