Der Bogen der Bahnunterführung
AFB IDie Zufahrt zu einem Gewerbegebiet führt durch eine Bahnunterführung. Im Bauplan wird der Querschnitt des Bogens durch die Funktion \(t(x)=-x^2+6x-5\) beschrieben. Dabei ist \(x\) der waagerechte Abstand von der Grundstücksgrenze in Metern und \(t(x)\) die Höhe des Bogens über der Fahrbahn in Metern.
Nur dort, wo der Bogen oberhalb der Fahrbahn verläuft, ist die Unterführung offen. Material M1 zeigt den Bogen.
Die Fahrbahn liegt auf der Höhe null; die Nullstellen von \(t\) sind die Ränder der Öffnung.
- Geben Sie die beiden Nullstellen aus Material M1 an und geben Sie an, wie breit die Öffnung der Unterführung ist.
- Zeigen Sie mit der pq-Formel, dass die abgelesenen Werte tatsächlich die Nullstellen von \(t\) sind.
- Berechnen Sie, an welchen Stellen der Bogen genau 3 m hoch ist, und geben Sie an, wie breit der Streifen ist, in dem ein 3 m hoher Lastwagen die Unterführung passieren kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Bogen trifft die Fahrbahn bei \(x_1=1\) und \(x_2=5\). Die Öffnung ist damit \(5\ \text{m}-1\ \text{m}=4\ \text{m}\) breit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(t(x)=0\)
\(-x^2+6x-5=0 \qquad \big\vert\, :(-1)\)
\(x^2-6x+5=0\), also \(p=-6\) und \(q=5\).
\(x_{1/2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-5}=3\pm\sqrt{9-5}=3\pm 2\)
\(x_1=5\), \(x_2=1\). Die abgelesenen Werte sind also genau die Nullstellen; die Unterführung ist zwischen 1 m und 5 m Abstand von der Grundstücksgrenze offen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-x^2+6x-5=3\)
\(-x^2+6x-8=0 \qquad \big\vert\, :(-1)\)
\(x^2-6x+8=0\), also \(p=-6\) und \(q=8\).
\(x_{1/2}=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm 1\), also \(x_1=4\) und \(x_2=2\).
In 2 m und in 4 m Abstand ist der Bogen genau 3 m hoch, dazwischen höher. Ein 3 m hoher Lastwagen kann die Unterführung also nur in einem \(4\ \text{m}-2\ \text{m}=2\ \text{m}\) breiten Streifen passieren.
Der Rasensprenger im Sportpark
AFB IIDer Platzwart eines Sportparks stellt einen Rasensprenger auf. Die Höhe des Wasserstrahls über dem Boden wird durch \(w(x)=-0{,}2x^2+1{,}6x\) beschrieben; \(x\) ist der waagerechte Abstand vom Sprenger in Metern, \(w(x)\) die Höhe in Metern (Material M2).
Quer zur Strahlrichtung verläuft eine 3 m hohe Hecke, die vom Wasser übersprungen werden soll.
Im Term \(-0{,}2x^2+1{,}6x\) steht kein Summand ohne \(x\) — er lässt sich ausklammern.
- Bestimmen Sie mit dem Satz vom Nullprodukt die Nullstellen von \(w\) und geben Sie an, wie weit der Strahl reicht.
- Berechnen Sie, in welchem Abstandsbereich vom Sprenger der Strahl höher als 3 m verläuft, und interpretieren Sie das Ergebnis für die Lage der Hecke.
- Der Platzwart möchte zusätzlich ein 4 m hohes Ballfangnetz überspritzen. Überprüfen Sie mithilfe des Werts unter der Wurzel, ob das mit dieser Einstellung möglich ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(w(x)=0\)
\(-0{,}2x^2+1{,}6x=0\)
\(x\cdot(-0{,}2x+1{,}6)=0\)
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: \(x_1=0\) oder \(-0{,}2x+1{,}6=0\), also \(x_2=\frac{1{,}6}{0{,}2}=8\).
Der Strahl verlässt den Sprenger bei \(x=0\) und trifft nach 8 m wieder auf den Boden. Die Reichweite beträgt also 8 m.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(-0{,}2x^2+1{,}6x=3\)
\(-0{,}2x^2+1{,}6x-3=0 \qquad \big\vert\, :(-0{,}2)\)
\(x^2-8x+15=0\), also \(p=-8\) und \(q=15\).
\(x_{1/2}=4\pm\sqrt{16-15}=4\pm 1\), also \(x_1=5\) und \(x_2=3\).
Zwischen 3 m und 5 m Abstand vom Sprenger ist der Strahl höher als 3 m. Die Hecke muss also in diesem 2 m breiten Streifen stehen, damit das Wasser über sie hinweggeht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-0{,}2x^2+1{,}6x=4\)
\(-0{,}2x^2+1{,}6x-4=0 \qquad \big\vert\, :(-0{,}2)\)
\(x^2-8x+20=0\), also \(p=-8\) und \(q=20\).
\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=16-20=-4\)
Der Wert unter der Wurzel ist negativ, die Gleichung hat also keine Lösung. Der Strahl erreicht die Höhe 4 m an keiner Stelle. Aus der Symmetrie der Parabel folgt, dass er in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei \(x=4\), am höchsten ist: \(w(4)=-0{,}2\cdot 16+1{,}6\cdot 4=3{,}2\). Mehr als 3,2 m sind mit dieser Einstellung nicht möglich; das 4 m hohe Netz kann nicht überspritzt werden.
Sitzbänke aus der Holzwerkstatt
AFB IIEine kleine Holzwerkstatt fertigt Sitzbänke auf Bestellung. Je mehr Bänke im Monat abgesetzt werden sollen, desto stärker muss der Preis gesenkt werden: Bei \(x\) Bänken beträgt der Preis \(p(x)=500-10x\) Euro pro Bank. Der Erlös ist damit \(E(x)=x\cdot p(x)=500x-10x^2\).
Die Kosten setzen sich aus 100 € Material je Bank und 3000 € festen Kosten für Werkstatt und Maschinen zusammen, also \(K(x)=100x+3000\). Material M3 zeigt beide Graphen. An einer Gewinnschwelle decken sich Erlös und Kosten genau.
Der Graph von \(K\) ist eine Gerade; gesucht sind ihre Schnittstellen mit der Erlösparabel.
- Stellen Sie die Gleichung für die Gewinnschwellen auf, bringen Sie sie in die Normalform und berechnen Sie beide Schnittstellen.
- Ermitteln Sie, bei welchen Stückzahlen die Werkstatt genau 750 € Gewinn erzielt.
- Die festen Kosten steigen auf 4000 €. Zeigen Sie, dass es dann nur noch eine Gewinnschwelle gibt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis für die Werkstatt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(x)=K(x)\)
\(500x-10x^2=100x+3000\)
\(-10x^2+400x-3000=0 \qquad \big\vert\, :(-10)\)
\(x^2-40x+300=0\), also \(p=-40\) und \(q=300\).
\(x_{1/2}=20\pm\sqrt{400-300}=20\pm 10\), also \(x_1=30\) und \(x_2=10\).
Bei 10 und bei 30 Bänken im Monat decken sich Erlös und Kosten. Dazwischen liegt die Gewinnzone.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gewinn: \(G(x)=E(x)-K(x)=500x-10x^2-(100x+3000)=-10x^2+400x-3000\)
\(-10x^2+400x-3000=750\)
\(-10x^2+400x-3750=0 \qquad \big\vert\, :(-10)\)
\(x^2-40x+375=0\), also \(p=-40\) und \(q=375\).
\(x_{1/2}=20\pm\sqrt{400-375}=20\pm 5\), also \(x_1=25\) und \(x_2=15\).
Sowohl bei 15 als auch bei 25 Bänken im Monat beträgt der Gewinn genau 750 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit \(K(x)=100x+4000\) gilt:
\(500x-10x^2=100x+4000\)
\(-10x^2+400x-4000=0 \qquad \big\vert\, :(-10)\)
\(x^2-40x+400=0\), also \(p=-40\) und \(q=400\).
\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=400-400=0\)
Der Wert unter der Wurzel ist null, beide Lösungen fallen zusammen: \(x=20\). Es gibt also nur noch eine Gewinnschwelle.
Für die Werkstatt bedeutet das: Bei 20 Bänken im Monat werden die Kosten gerade eben gedeckt, ein Gewinn entsteht bei keiner Stückzahl mehr. Die Erlösparabel berührt die Kostengerade nur noch, statt sie zu schneiden. Steigen die festen Kosten weiter, wird der Wert unter der Wurzel negativ und die Werkstatt arbeitet bei jeder Stückzahl mit Verlust.
Zwei Rechenwege beim Wurf vom Hallendach
AFB IIIIn einem Physikkurs wird ein Ball vom 25 m hohen Dach einer Sporthalle senkrecht nach oben geworfen. Für die Höhe über dem Boden gilt \(h(t)=-5t^2+20t+25\), wobei \(t\) die Zeit seit dem Wurf in Sekunden und \(h(t)\) die Höhe in Metern ist. Gesucht ist der Zeitpunkt des Aufpralls.
Nele und Timo lösen dieselbe Gleichung \(h(t)=0\), kommen aber zu unterschiedlichen Ergebnissen (Material M4).
| Schritt | Rechenweg von Nele | Rechenweg von Timo |
|---|---|---|
| Ansatz | \(-5t^2+20t+25=0\) | \(-5t^2+20t+25=0\) |
| Umformung | \(\big\vert :(-5)\ \Rightarrow\ t^2-4t-5=0\) | keine Umformung |
| p und q | \(p=-4\), \(q=-5\) | \(p=20\), \(q=25\) |
| Einsetzen | \(t_{1/2}=2\pm\sqrt{4+5}\) | \(t_{1/2}=-10\pm\sqrt{100-25}\) |
| Ergebnis | \(t_1=5\), \(t_2=-1\) | \(t_1\approx -1{,}34\), \(t_2\approx -18{,}66\) |
Aus der Sekundarstufe I ist zusätzlich die abc-Formel bekannt: für \(at^2+bt+c=0\) gilt \(t_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
- Zeigen Sie, dass Neles Rechenweg zu den Lösungen \(t_1=5\) und \(t_2=-1\) führt, und erklären Sie, warum nur eine der beiden Lösungen im Sachzusammenhang eine Bedeutung hat.
- Überprüfen Sie Timos Rechenweg, nennen Sie seinen Fehler und widerlegen Sie sein Ergebnis durch eine Probe.
- Lösen Sie die Ausgangsgleichung mit der abc-Formel und vergleichen Sie die beiden Verfahren hinsichtlich der nötigen Umformungen.
- Nehmen Sie Stellung zu Timos Fazit: „Dann nehme ich künftig immer die abc-Formel, denn die ist immer besser, weil man nie umformen muss.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(-5t^2+20t+25=0 \qquad \big\vert\, :(-5)\)
\(t^2-4t-5=0\), also \(p=-4\) und \(q=-5\).
\(t_{1/2}=2\pm\sqrt{(-2)^2-(-5)}=2\pm\sqrt{4+5}=2\pm 3\)
\(t_1=5\), \(t_2=-1\).
Nur \(t_1=5\) hat eine Bedeutung: Der Ball trifft 5 Sekunden nach dem Wurf auf dem Boden auf. Der Wert \(t_2=-1\) läge eine Sekunde vor dem Wurf; zu diesem Zeitpunkt war der Ball noch gar nicht in der Luft. Die Funktion beschreibt den Vorgang erst ab \(t=0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Timo setzt \(p=20\) und \(q=25\) ein, obwohl vor \(t^2\) die Zahl \(-5\) steht. Die pq-Formel gilt aber nur für die Normalform \(t^2+pt+q=0\). Timo hätte zuerst durch \(-5\) teilen müssen.
Probe mit \(t\approx -1{,}34\):
\(h(-1{,}34)=-5\cdot(-1{,}34)^2+20\cdot(-1{,}34)+25\approx -8{,}98-26{,}80+25\approx -10{,}8\)
Der Funktionswert ist nicht null, der Wert ist also keine Lösung der Gleichung. Damit ist Timos Ergebnis widerlegt. Auch inhaltlich ist es unbrauchbar: Beide seiner Werte sind negativ, es gäbe also überhaupt keinen Aufprall nach dem Wurf.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit \(a=-5\), \(b=20\) und \(c=25\):
\(t_{1/2}=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-4\cdot(-5)\cdot 25}}{2\cdot(-5)}=\frac{-20\pm\sqrt{400+500}}{-10}=\frac{-20\pm 30}{-10}\)
\(t_1=\frac{10}{-10}=-1\), \(t_2=\frac{-50}{-10}=5\).
Beide Verfahren liefern dieselben Lösungen. Die abc-Formel kommt ohne vorherige Division aus, weil sie die Zahl \(a\) selbst verarbeitet; dafür sind unter der Wurzel und im Nenner mehr Rechenschritte und mehr Vorzeichen zu beachten. Die pq-Formel verlangt einen zusätzlichen Umformungsschritt, ist danach aber kürzer.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Timos Fazit ist in dieser Allgemeinheit nicht haltbar. Richtig ist, dass die abc-Formel das Teilen durch \(a\) überflüssig macht; das ist besonders dann ein Vorteil, wenn beim Teilen unhandliche Brüche entstünden, etwa bei \(3x^2+5x-7=0\).
„Immer besser“ ist sie aber nicht: Steht vor \(x^2\) bereits eine 1, ist gar nichts umzuformen, und die pq-Formel führt mit weniger Schritten und weniger Vorzeichenfehlern zum Ziel. Außerdem war Timos eigentlicher Fehler nicht die Wahl der Formel, sondern das Missachten ihrer Voraussetzung — dieser Fehler lässt sich mit der abc-Formel genauso machen, etwa wenn man \(c\) ohne Vorzeichen einsetzt.
Sinnvoll ist deshalb: die Form der Gleichung ansehen und danach entscheiden. Bei \(a=1\) die pq-Formel, bei \(a\neq 1\) je nach Zahlenwerten die abc-Formel oder das Teilen durch \(a\).
Radweg und Bach im Naturschutzgebiet
AFB IIIDurch ein Naturschutzgebiet soll ein geradliniger Radweg gebaut werden. In der Draufsicht wird das Gebiet als Koordinatensystem beschrieben, eine Einheit entspricht 100 m. Der Bach verläuft entlang des Graphen von \(b(x)=0{,}5x^2-3x+8\), die geplante Trasse entlang der Geraden \(r(x)=x+t\). Die Zahl \(t\) legt fest, wie weit nördlich die Trasse verschoben wird (Material M5).
An jeder Stelle, an der die Trasse den Bach kreuzt, muss eine Brücke gebaut werden. Jede Brücke kostet die Gemeinde zusätzlich Geld und benötigt eine eigene Genehmigung.
Beide Graphen liegen im selben Koordinatensystem; gemeinsame Punkte sind die Kreuzungsstellen.
- Berechnen Sie für \(t=2\) die gemeinsamen Punkte von Trasse und Bach und geben Sie an, wie viele Brücken dann nötig sind.
- Bestimmen Sie den Wert von \(t\), für den Trasse und Bach genau einen gemeinsamen Punkt haben, und berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.
- Untersuchen Sie allgemein, für welche Werte von \(t\) die Trasse den Bach zweimal, einmal oder gar nicht trifft.
- Widerlegen Sie die Behauptung eines Gemeinderats: „Eine Gerade trifft eine Parabel immer in zwei Punkten, denn eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(b(x)=r(x)\)
\(0{,}5x^2-3x+8=x+2\)
\(0{,}5x^2-4x+6=0 \qquad \big\vert\, :0{,}5\)
\(x^2-8x+12=0\), also \(p=-8\) und \(q=12\).
\(x_{1/2}=4\pm\sqrt{16-12}=4\pm 2\), also \(x_1=6\) und \(x_2=2\).
\(r(2)=4\) und \(r(6)=8\); die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(2\,|\,4)\) und \(P_2(6\,|\,8)\). Die Trasse kreuzt den Bach zweimal, es sind also zwei Brücken nötig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Allgemein: \(0{,}5x^2-3x+8=x+t\)
\(0{,}5x^2-4x+8-t=0 \qquad \big\vert\, :0{,}5\)
\(x^2-8x+16-2t=0\), also \(p=-8\) und \(q=16-2t\).
Wert unter der Wurzel: \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=16-(16-2t)=2t\).
Genau eine Lösung gibt es für \(2t=0\), also \(t=0\). Dann ist \(x=4\) und \(r(4)=4\); der gemeinsame Punkt ist \(B(4\,|\,4)\). Probe: \(b(4)=0{,}5\cdot 16-12+8=4\). Die Trasse berührt den Bach bei \(B(4\,|\,4)\), ohne ihn zu kreuzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Wert unter der Wurzel beträgt nach Teilaufgabe b) genau \(2t\). Daraus ergeben sich drei Fälle:
Für \(t>0\) ist \(2t>0\): zwei gemeinsame Punkte, die Trasse kreuzt den Bach zweimal (zwei Brücken).
Für \(t=0\) ist \(2t=0\): genau ein gemeinsamer Punkt, die Trasse berührt den Bach in \(B(4\,|\,4)\).
Für \(t<0\) ist \(2t<0\): kein gemeinsamer Punkt, die Trasse verläuft vollständig südlich des Bachs und benötigt keine Brücke.
Je weiter die Trasse nach Norden verschoben wird, desto weiter rücken die beiden Kreuzungsstellen auseinander.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist falsch. Ein Gegenbeispiel liefert bereits \(t=-2\): Dann lautet die Gleichung \(x^2-8x+20=0\) mit \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=16-20=-4<0\). Sie hat keine Lösung, Gerade und Parabel haben also keinen einzigen gemeinsamen Punkt. Für \(t=0\) gibt es genau einen — auch das widerspricht der Behauptung.
Falsch ist auch die Begründung: Eine quadratische Gleichung hat nicht immer zwei Lösungen. Entscheidend ist der Wert unter der Wurzel. Ist er positiv, liefert das Plus-Minus-Zeichen zwei verschiedene Lösungen; ist er null, fallen beide zusammen; ist er negativ, lässt sich die Wurzel nicht ziehen und es gibt keine Lösung.
Für die Planung heißt das: Die Gemeinde kann die Zahl der Brücken durch die Wahl von \(t\) steuern und mit \(t<0\) sogar ganz ohne Brücke bauen.