Potenz- und Wurzelgesetze: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungPotenz- und Wurzelgesetze — Festlegungen, Wurzeln als Potenzen, die fünf Gesetze.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Rechnen, Verbinden und Entscheiden. Der erste Teil sichert die Festlegungen (Exponent 0, negative und gebrochene Exponenten), der zweite wendet die Potenzgesetze auf Zahlen und Terme an. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Begriffe gehören in den Text, einer bleibt übrig. Vervollständigen Sie den Text.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren wird als geschrieben: Die Zahl unten heißt , die kleine Zahl oben heißt und zählt die Faktoren. Ein negativer Exponent bedeutet, dass der der Potenz gebildet wird. Bei einer Wurzel heißt die Zahl unter dem Wurzelzeichen ; der landet beim Umschreiben in den Nenner des Exponenten.

Übrig bleibt „Summe“: Der Exponent zählt Faktoren, nicht Summanden. \(2^5\) ist \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\), nicht \(2+2+2+2+2\).

2Die Potenzleiter ausfüllenAFB I

Sechs Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Berechnen Sie die Werte (Dezimalzahlen erlaubt).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(2^{-3}\)	\(2^{0}\)	\(5^{-1}\)	\(3^{4}\)	\(10^{-2}\)	\((-2)^{3}\)

\(2^{-3}=\tfrac18=0{,}125\), \(2^0=1\), \(5^{-1}=0{,}2\), \(3^4=81\), \(10^{-2}=0{,}01\), \((-2)^3=-8\). Ein negativer Exponent macht die Potenz nicht negativ, sondern zum Kehrwert.

3Definiert oder nicht definiert?AFB I

Acht Ausdrücke. Sortieren Sie sie danach, ob sie nach den Festlegungen des Unterkapitels einen Wert haben.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1definiert

2nicht definiert

\(0^0\) und \(0^{-2}\) (Division durch null) sind nicht definiert. Wurzeln werden nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen, und für gebrochene Exponenten muss die Basis positiv sein — deshalb fällt auch \((-8)^{\frac13}\) heraus.

4Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zu Potenzen und Wurzeln. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Addiert werden Exponenten nur beim Multiplizieren gleicher Basen. Beim Potenzieren einer Potenz wird multipliziert.

5Wurzel und Potenz verbindenAFB I

Fünf Wurzelausdrücke, fünf Potenzschreibweisen. Verbinden Sie, was dasselbe bedeutet.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Der Wurzelgrad steht im Nenner des Exponenten, die Potenz unter der Wurzel im Zähler; ein Minus im Exponenten bedeutet Kehrwert.

6Wurzel schätzenAFB I

Gesucht ist \(\sqrt[5]{100}=100^{\frac15}\).

Schätzen Sie den Wert ohne Taschenrechner.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

\(2^5=32\) und \(3^5=243\), also liegt \(\sqrt[5]{100}\) zwischen 2 und 3, näher an 2,5: Der Wert ist etwa 2,51.

7Die Potenzgesetze anwendenAFB I

Sechs Terme sollen zu einer einzigen Potenz zusammengefasst werden. Tragen Sie die fehlende Basis oder den fehlenden Exponenten ein.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(2^3\cdot 2^4=2^{\,?}\): \(5^7:5^2=5^{\,?}\): \(\left(3^2\right)^5=3^{\,?}\):

\(2^3\cdot 5^3=\,?^{\,3}\): \(6^4:3^4=\,?^{\,4}\): \(a^n\cdot a^{-n}=a^{\,?}\):

Gleiche Basis: Exponenten addieren (7) bzw. subtrahieren (5). Potenz einer Potenz: multiplizieren (10). Gleicher Exponent: Basen multiplizieren (10) bzw. dividieren (2). Und \(a^n\cdot a^{-n}=a^0=1\).

8Gebrochener Exponent IAFB II

Gegeben ist \(8^{\frac53}\).

Berechnen Sie den Wert ohne Taschenrechner.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Erst die dritte Wurzel: \(\sqrt[3]{8}=2\). Dann hoch 5: \(2^5=32\).

9Term und WertAFB II

Zwölf Karten: sechs Potenzterme und sechs Werte. Berechnen Sie jeden aufgedeckten Term und suchen Sie das Gegenstück.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Versuche: 0 von 16

\(\left(\tfrac12\right)^{-3}\) ist der Kehrwert von \(\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac18\), also 8. Und \(9^{\frac32}=\left(\sqrt9\right)^3=27\).

10Gebrochener Exponent II — mit MinusAFB II

Gegeben ist \(16^{-\frac34}\).

Berechnen Sie den Wert als Dezimalzahl.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\sqrt[4]{16}=2\), \(2^3=8\), und das Minus im Exponenten bildet den Kehrwert: \(\tfrac18=0{,}125\).

11Welche Terme sind gleich \(4^{\frac32}\)?AFB II

Sechs Terme. Wählen Sie alle aus, die denselben Wert haben wie \(4^{\frac32}\).

Mehrere Antworten können richtig sein. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(4^{\frac32}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8=\sqrt{64}\). Der Nenner 2 ist der Wurzelgrad, der Zähler 3 die Potenz — nicht umgekehrt, und schon gar nicht „mal \(\tfrac32\)“.

12Potenzen mit gleicher BasisAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{x^3\cdot x^4}{x^2}\) mit \(x\neq 0\).

Vereinfachen Sie zu einer einzigen Potenz.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(x^{3+4-2}=x^5\).

13Kreuztabelle: Minus und KehrwertAFB II

Fünf Terme, drei mögliche Werte. Bestimmen Sie jeden Wert und setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.

Term	Wert 0,5	Wert −0,5	Wert 1
\(2^{-1}\)
\((-2)^{-1}\)
\(-2^{-1}\)
\((-2)^2\cdot 2^{-2}\)
\(\left(\tfrac12\right)^{2}\cdot 2^{2}\)

\(2^{-1}=\tfrac12\). Bei \((-2)^{-1}\) gehört das Minus zur Basis: \(\tfrac{1}{-2}=-\tfrac12\). Bei \(-2^{-1}\) steht es davor: \(-\tfrac12\). Die beiden letzten Zeilen sind Produkte aus Zahl und Kehrwert — also 1.

14Potenz eines ProduktsAFB II

Gegeben ist \(\left(2x^2\right)^3\).

Vereinfachen Sie den Term.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Beide Faktoren werden potenziert: \(2^3\cdot\left(x^2\right)^3=8x^6\). Ein häufiger Fehler ist \(2x^6\) — die 2 muss mit hoch 3 genommen werden.

15Fehlersuche im Potenz-MerkzettelAFB II

Acht Gleichungen, vier davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen Zeilen (alle Basen positiv).

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die Potenzgesetze gelten für Produkte und Quotienten — nie für Summen. Und ein negativer Exponent ist ein Kehrwert, kein Vorzeichen.

16Rechenkette mit PotenzgesetzenAFB II

Gegeben ist \(\left(2^3\cdot 2^{-5}\right)\cdot 4^2\).

Berechnen Sie die Teilschritte nacheinander.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Exponent von \(2^3\cdot 2^{-5}\) als Potenz von 2
Wert von \(2^{-2}\) als Dezimalzahl
Wert von \(4^2\)
Wert des gesamten Terms

\(2^{3-5}=2^{-2}=\tfrac14\), und \(\tfrac14\cdot 16=4\). Alternativ: \(4^2=2^4\), also \(2^{-2}\cdot 2^4=2^2=4\).

17Negativer ExponentAFB II

Gegeben ist \(x^5:x^8\) mit \(x\neq 0\).

Vereinfachen Sie den Term. Beide Schreibweisen sind erlaubt: als Potenz mit negativem Exponenten oder als Bruch.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(x^{5-8}=x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\).

18So wird \(32^{-\frac25}\) berechnetAFB II

Der Wert von \(32^{-\frac25}\) soll ohne Taschenrechner bestimmt werden.

Ordnen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Den Exponenten lesen: Nenner 5 heißt fünfte Wurzel, Zähler 2 heißt Quadrat, Minus heißt Kehrwert

2Fünfte Wurzel ziehen: \(\sqrt[5]{32}=2\), weil \(2^5=32\)

3Quadrieren: \(2^2=4\)

4Kehrwert bilden: \(\tfrac14\)

5Ergebnis: \(32^{-\frac25}=0{,}25\)

Wurzel zuerst, dann Potenz, dann Kehrwert — in dieser Reihenfolge bleiben die Zahlen klein. Wer erst \(32^2=1024\) rechnet, muss anschließend die fünfte Wurzel aus 1024 ziehen.

19Zwei Potenzen, eine SummeAFB III

Gegeben ist \(0{,}5^{-2}+8^{\frac23}\).

Berechnen Sie den Wert.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(0{,}5^{-2}=\left(\tfrac12\right)^{-2}=2^2=4\) und \(8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4\). Summe: 8.

20Wurzeln als eine Potenz schreibenAFB III

Gegeben ist \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\) mit \(x>0\).

Schreiben Sie den Term als einzige Potenz von \(x\).

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}=x^{\frac12+\frac13}=x^{\frac56}\). Die Exponenten werden über den Hauptnenner 6 addiert.

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