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Potenz- und Wurzelgesetze

Der Exponent zählt Faktoren — und diese Idee trägt bis zu negativen und gebrochenen Exponenten. Wurzeln sind nichts anderes als Potenzen.

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Was eine Potenz ist

Eine Potenz kürzt ein Produkt aus gleichen Faktoren ab: \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^5\).

Basis, Exponent und das ausgeschriebene Produkt
Kurzschreibweise25ExponentBasisgelesen: zwei hoch fünfausgeschriebenes Produkt2 · 2 · 2 · 2 · 25 Faktoren 2= 32

Der Exponent ist keine gewöhnliche Rechenzahl, sondern eine Anzahl. Er zählt die Faktoren, nicht die Summanden.

  • Basis:die Zahl \(a\), die mit sich selbst multipliziert wird.
  • Exponent:zählt die gleichen Faktoren: \(a^n = a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\) mit \(n\) Faktoren.
  • Exponent 1 und 0:festgelegt als \(a^1 = a\) und \(a^0 = 1\).
  • Negativer Exponent:bedeutet Kehrwert, z. B. \(5^{-1} = \tfrac{1}{5}\) und \(3^{-7} = \tfrac{1}{3^7}\).
  • Nicht definiert:\(0^0\) und die Basis \(0\) mit negativem Exponenten, z. B. \(0^{-2}\).
Merke

Festlegungen: \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) \((a\neq 0)\)

Stelle eine Basis ein und wandere über die Exponenten von \(-3\) bis \(3\).

Die Potenzleiter

Wähle mit dem Regler die Basis. Klicke dann eine Karte an oder springe mit der Tabulatortaste in die Leiter und wechsle mit den Pfeiltasten links und rechts; Eingabetaste und Leertaste wählen ebenfalls aus.

Ein Schritt nach rechts bedeutet: mal die BasisEin Schritt nach links bedeutet umgekehrt: geteilt durch die Basis.
Basis a
2
Exponent n
0
Wert der Potenz
1
Der Exponent 0: festgelegt ist a hoch 0 gleich 1 für jede Basis außer der Basis 0.

Bei der Basis \(0\) bricht die Leiter links ab — dort müsstest du durch \(0\) teilen.

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Wurzeln als Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Die \(n\)-te Wurzel fragt rückwärts: Welche nichtnegative Zahl ergibt hoch \(n\) genau \(a\)?

  • Wurzelgrad:die Zahl \(n\) vor dem Wurzelzeichen — sie wird zum Nenner des Exponenten.
  • Radikand:die Zahl unter der Wurzel — sie wird zur Basis.
  • Quadratwurzel:Sonderfall \(n = 2\): \(\sqrt{a} = a^{\frac12}\).
  • Zähler:gibt die Potenz unter der Wurzel an: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
  • Bedingung:für gebrochene Exponenten muss \(a > 0\) sein.
  • Beispiel:\(343^{\frac43} = \left(\sqrt[3]{343}\right)^4 = 7^4 = 2\,401\).
Merke

Wurzel als Potenz: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)

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Die fünf Potenzgesetze

Die Gesetze gelten für alle Exponenten, auch negative und gebrochene. Sie fassen nur Produkte und Quotienten zusammen.

Warum die Exponenten addiert werden
2³ · 2²2 · 2 · 2·2 · 23 Faktoren2 Faktoren2 · 2 · 2 · 2 · 2= 2⁵weil 3 + 2 = 5

Die Faktoren beider Potenzen werden nebeneinandergestellt und einfach weitergezählt. Deshalb addiert man bei gleicher Basis die Exponenten.

  • (P1):gleiche Basis multiplizieren: \(a^r\cdot a^s = a^{r+s}\).
  • (P1)*:gleiche Basis dividieren: \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\).
  • (P2):gleiche Exponenten multiplizieren: \(a^r\cdot b^r = (a\cdot b)^r\).
  • (P2)*:gleiche Exponenten dividieren: \(\frac{a^r}{b^r} = \left(\frac{a}{b}\right)^r\).
  • (P3):Potenz potenzieren: \(\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}\).
  • Beispiel:\(2^4\cdot 2^{-7} = 2^{-3} = \tfrac18\).

Wurzeln fasst du zusammen, indem du sie zuerst in Potenzen übersetzt.

  • Herleitung:\(\sqrt[3]{5^2}\cdot\sqrt[4]{5^{-2}}\)
  • Wurzeln umschreiben:\(= 5^{\frac23}\cdot 5^{-\frac12}\)
  • (P1) anwenden:\(= 5^{\frac23-\frac12} = 5^{\frac{4-3}{6}}\)
  • Ergebnis:\(= 5^{\frac16} = \sqrt[6]{5}\)
Merke

Potenzgesetze: \(a^r\cdot a^s = a^{r+s}\), \(a^r\cdot b^r = (ab)^r\), \(\left(a^r\right)^s = a^{rs}\)

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Allgemeine Hinweise

Keine Summen

\(a^r + a^s\) ist nicht \(a^{r+s}\). Ebenso ist \(\sqrt{16+9} = 5\), aber \(\sqrt{16}+\sqrt{9} = 7\).

Minus im Exponenten

Ein negativer Exponent macht die Potenz nicht negativ. Er bildet den Kehrwert: \(2^{-3} = \tfrac18\).

Erst umschreiben

Schreibe jede Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten. Dann kannst du die Gesetze direkt anwenden.

Zum Weiterschauen

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