Papierformate in der Schuldruckerei
AFB IDie Schuldruckerei arbeitet mit den DIN-A-Formaten. Ein Bogen A0 hat genau einen Quadratmeter Fläche; jedes weitere Format entsteht durch Halbieren des vorherigen. Deshalb lässt sich jede Formatfläche als Zweierpotenz schreiben (Material M1). Für die Materialbestellung des Schuljahres rechnet die Leiterin der Druckerei ausschließlich mit diesen Potenzen.
| Format | Fläche in \(\text{m}^2\) als Zweierpotenz | Blätter aus einem A0-Bogen |
|---|---|---|
| A0 | \(2^{0}\) | \(2^{0}=1\) |
| A1 | \(2^{-1}\) | \(2^{1}=2\) |
| A2 | \(2^{-2}\) | \(2^{2}=4\) |
| A3 | \(2^{-3}\) | \(2^{3}=8\) |
| A4 | \(2^{-4}\) | \(2^{4}=16\) |
| A5 | \(2^{-5}\) | \(2^{5}=32\) |
| A6 | \(2^{-6}\) | \(2^{6}=64\) |
Der Exponent zählt, wie oft ein A0-Bogen bereits halbiert wurde.
- Geben Sie die Fläche eines A4-Blattes als Bruch und als Dezimalzahl in Quadratmetern an und erläutern Sie, was das Minuszeichen im Exponenten bedeutet.
- Berechnen Sie mit dem Gesetz für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis, wie viele A6-Blätter zusammen so viel Fläche haben wie ein A2-Blatt.
- Bestimmen Sie, wie viele A4-Blätter aus einer Lieferung von \(2^{5}\) Bögen im Format A0 geschnitten werden können. Geben Sie das Ergebnis als Zweierpotenz und als gewöhnliche Zahl an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ein A4-Blatt hat die Fläche \(2^{-4}\,\text{m}^2\). Nach der Festlegung \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) gilt
\(2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0{,}0625\)
Ein A4-Blatt misst also \(\frac{1}{16}\,\text{m}^2=0{,}0625\,\text{m}^2\), das sind 625 Quadratzentimeter. Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet nicht, dass die Fläche negativ wäre — es steht für den Kehrwert der Potenz \(2^{4}\). Die Fläche wird dadurch kleiner als ein Quadratmeter, aber niemals kleiner als null.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gesucht ist der Quotient der beiden Flächen. Nach (P1)* gilt \(\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}\):
\(\frac{2^{-2}}{2^{-6}}=2^{-2-(-6)}=2^{-2+6}=2^{4}=16\)
Sechzehn A6-Blätter haben zusammen genau die Fläche eines A2-Blattes.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aus jedem A0-Bogen entstehen \(2^{4}=16\) Blätter im Format A4. Bei \(2^{5}\) Bögen ergibt sich nach (P1) \(a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}\):
\(2^{5}\cdot 2^{4}=2^{5+4}=2^{9}=512\)
Die Lieferung reicht für 512 Blätter im Format A4.
Der Sauerteig der Backstube-AG
AFB IIDie Backstube-AG setzt am Nachmittag 600 ml Sauerteig an. In der warmen Küche verdoppelt sich das Volumen zuverlässig alle drei Stunden, solange genügend Platz im Gefäß ist. Für das Volumen nach \(t\) Stunden verwendet die AG deshalb den Term
\(V(t)=600\cdot 2^{\frac{t}{3}}\) (Volumen in Millilitern, \(t\) in Stunden).
Die Markierungen liegen bei 3, 6 und 9 Stunden; zwischen ihnen wächst der Teig ununterbrochen.
- Berechnen Sie das Volumen nach 6 und nach 9 Stunden und zeigen Sie mit einem Potenzgesetz, dass sich der Ansatz in neun Stunden verachtfacht.
- Berechnen Sie das Volumen nach 4 Stunden. Erläutern Sie dabei, welche Bedeutung der gebrochene Exponent \(\frac{4}{3}\) hat.
- Zeigen Sie, dass der Teig in jeder einzelnen Stunde mit demselben Faktor wächst, und begründen Sie mit einem Potenzgesetz, warum drei solche Stundenschritte gerade eine Verdopplung ergeben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(V(6)=600\cdot 2^{\frac{6}{3}}=600\cdot 2^{2}=600\cdot 4=2\,400\)
\(V(9)=600\cdot 2^{\frac{9}{3}}=600\cdot 2^{3}=600\cdot 8=4\,800\)
Nach sechs Stunden sind es 2400 ml, nach neun Stunden 4800 ml. Für den Wachstumsfaktor der neun Stunden gilt nach (P1)* \(\frac{V(9)}{V(0)}=\frac{600\cdot 2^{3}}{600\cdot 2^{0}}=2^{3-0}=2^{3}=8\). Der Ansatz verachtfacht sich also, weil in neun Stunden genau drei Verdopplungen liegen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(4)=600\cdot 2^{\frac{4}{3}}=600\cdot 2^{1+\frac{1}{3}}=600\cdot 2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=1\,200\cdot\sqrt[3]{2}\approx 1\,200\cdot 1{,}2599\approx 1\,512\)
Nach vier Stunden hat der Teig rund 1512 ml. Der gebrochene Exponent \(\frac{4}{3}\) bedeutet: Der Nenner 3 steht für die dritte Wurzel, der Zähler 4 für die vierte Potenz. Der Teig hat also vier von drei Stunden eines Verdopplungsschrittes hinter sich — eine volle Verdopplung und ein Drittel des nächsten Schrittes.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für beliebiges \(t\) gilt nach (P1)*
\(\frac{V(t+1)}{V(t)}=\frac{600\cdot 2^{\frac{t+1}{3}}}{600\cdot 2^{\frac{t}{3}}}=2^{\frac{t+1}{3}-\frac{t}{3}}=2^{\frac{1}{3}}\approx 1{,}2599\)
Der Quotient hängt nicht mehr von \(t\) ab: In jeder Stunde wächst der Teig um denselben Faktor \(\sqrt[3]{2}\), also um rund 26 %. Drei solche Schritte ergeben nach (P3)
\(\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=2^{\frac{1}{3}\cdot 3}=2^{1}=2\)
Damit ist genau die Verdopplung nach drei Stunden erreicht.
Bundabstände auf dem Griffbrett
AFB IIIm Gitarrenbau wird das Griffbrett nach der gleichstufigen Stimmung eingeteilt: Jeder Bund erhöht die Frequenz des gegriffenen Tons um denselben Faktor \(2^{\frac{1}{12}}\). Wird die leere Saite auf den Kammerton \(a\) mit 440 Hz gestimmt, so klingt der Ton am \(n\)-ten Bund mit \(f(n)=440\cdot 2^{\frac{n}{12}}\) Hertz (Material M3).
Für die Bauwerkstatt ist außerdem wichtig: Zu einem Frequenzfaktor \(2^{\frac{n}{12}}\) gehört der Längenfaktor \(2^{-\frac{n}{12}}\) — je kürzer die schwingende Saite, desto höher der Ton. Die Saite der Werkstattgitarre ist vom Sattel bis zum Steg 650 mm lang.
| Bünde \(n\) | Frequenzfaktor als Potenz | gerundeter Wert |
|---|---|---|
| 0 | \(2^{0}\) | \(1\) |
| 1 | \(2^{\frac{1}{12}}\) | \(1{,}0595\) |
| 3 | \(2^{\frac{3}{12}}\) | \(1{,}1892\) |
| 5 | \(2^{\frac{5}{12}}\) | \(1{,}3348\) |
| 7 | \(2^{\frac{7}{12}}\) | \(1{,}4983\) |
| 12 | \(2^{\frac{12}{12}}\) | \(2\) |
Die Werte der dritten Spalte sind auf vier Nachkommastellen gerundet; exakt ist nur die Potenzschreibweise.
- Berechnen Sie die Frequenz des Tons, der sieben Bünde über der leeren Saite gegriffen wird.
- Zeigen Sie mit einem Potenzgesetz, dass zwölf Bünde die Frequenz genau verdoppeln, und geben Sie den Faktor für 24 Bünde an.
- Bestimmen Sie, in welchem Abstand vom Sattel der fünfte Bund eingesetzt werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(7)=440\cdot 2^{\frac{7}{12}}\approx 440\cdot 1{,}4983\approx 659{,}3\)
Der Ton am siebten Bund klingt mit rund 659,3 Hz.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zwölf Bünde bedeuten zwölf gleiche Faktoren. Nach (P3) gilt
\(\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^{12}=2^{\frac{1}{12}\cdot 12}=2^{1}=2\)
Die Frequenz verdoppelt sich also exakt; musikalisch ist das die Oktave. Für 24 Bünde ergibt sich entsprechend \(\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^{24}=2^{2}=4\), also der vierfache Wert — zwei Oktaven.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beim fünften Bund gehört zum Frequenzfaktor \(2^{\frac{5}{12}}\) der Längenfaktor \(2^{-\frac{5}{12}}\). Mit \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) folgt für die schwingende Länge
\(650\,\text{mm}\cdot 2^{-\frac{5}{12}}=\frac{650\,\text{mm}}{2^{\frac{5}{12}}}\approx\frac{650\,\text{mm}}{1{,}3348}\approx 487{,}0\,\text{mm}\)
\(650\,\text{mm}-487{,}0\,\text{mm}=163{,}0\,\text{mm}\)
Der fünfte Bund liegt rund 163 mm vom Sattel entfernt. Zur Kontrolle: Für \(n=12\) ergäbe dieselbe Rechnung \(650\cdot 2^{-1}=325\,\text{mm}\) Restlänge, der zwölfte Bund liegt also genau in der Saitenmitte.
Die Bronzeskulptur und ihr Modell
AFB IIIFür den Schulhof wird eine Bronzeskulptur gegossen. Sie ist 1,60 m hoch, wiegt 320 kg und hat eine Oberfläche von 5,2 Quadratmetern. Für die Ausstellung im Foyer fertigt die Gießerei ein maßstabsgetreues Modell im Maßstab 1 : 4 aus demselben massiven Material an: Alle Längen werden mit dem Faktor \(4^{-1}\) verkleinert (Material M4).
Ein Schüler der Kunst-AG behauptet beim Aufbau: „Im Maßstab 1 : 4 wiegt das Modell ein Viertel des Originals, also 80 kg.“
Beide Körper sind geometrisch ähnlich: Jede Länge des Modells ist ein Viertel der entsprechenden Länge des Originals.
- Geben Sie den Längenfaktor als Potenz mit negativem Exponenten an und berechnen Sie daraus mit einem Potenzgesetz den Faktor für die Oberfläche und den Faktor für das Volumen.
- Berechnen Sie die Masse und die Oberfläche des Modells.
- Widerlegen Sie die Behauptung des Schülers.
- Bestimmen Sie, in welchem Maßstab ein Modell gefertigt werden müsste, das genau 1 kg wiegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Längenfaktor ist \(k=\frac{1}{4}=4^{-1}\). Nach (P3) gilt
Oberfläche: \(\left(4^{-1}\right)^{2}=4^{-1\cdot 2}=4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}\)
Volumen: \(\left(4^{-1}\right)^{3}=4^{-3}=\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{64}\)
Die Oberfläche schrumpft also auf ein Sechzehntel, das Volumen auf ein Vierundsechzigstel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Masse: \(320\,\text{kg}\cdot 4^{-3}=\frac{320\,\text{kg}}{64}=5\,\text{kg}\)
Oberfläche: \(5{,}2\,\text{m}^2\cdot 4^{-2}=\frac{5{,}2\,\text{m}^2}{16}=0{,}325\,\text{m}^2\)
Das Modell wiegt 5 kg und hat eine Oberfläche von 0,325 Quadratmetern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Der Faktor \(4^{-1}\) gilt nur für Längen. Die Masse hängt vom Volumen ab, und ein Volumen entsteht aus drei Längen, wird also mit \(\left(4^{-1}\right)^{3}=4^{-3}=\frac{1}{64}\) verkleinert. Statt 80 kg wiegt das Modell daher nur 5 kg — der Schüler nennt einen sechzehnmal zu großen Wert. Sein Fehler besteht darin, den Exponenten 1 des Längenfaktors auch für die Masse zu verwenden; nach (P3) muss der Exponent aber mit 3 multipliziert werden. Ein Gegenbeispiel macht es anschaulich: Ein Würfel mit 4 cm Kante hat das Volumen \(64\,\text{cm}^3\), ein Würfel mit 1 cm Kante nur \(1\,\text{cm}^3\) — nicht \(16\,\text{cm}^3\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit dem gesuchten Längenfaktor \(k\) gilt \(320\,\text{kg}\cdot k^{3}=1\,\text{kg}\), also \(k^{3}=\frac{1}{320}\). Wurzelziehen liefert
\(k=\left(\frac{1}{320}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{320^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{320}}\approx\frac{1}{6{,}84}\approx 0{,}146\)
Das Modell müsste also etwa im Maßstab 1 : 6,8 gefertigt werden; es wäre dann rund \(1{,}60\,\text{m}\cdot 0{,}146\approx 0{,}23\,\text{m}\) hoch. Probe: \(320\cdot 0{,}146^{3}\approx 1{,}00\).
Zwei Wege zum jährlichen Zinssatz
AFB IIIEin Sparbrief macht aus 4000 € in acht Jahren genau 5000 €; die Zinsen bleiben dabei auf dem Konto und werden mitverzinst. Für die Werbeanzeige soll die „durchschnittliche jährliche Verzinsung“ angegeben werden.
Lena rechnet: „Das sind 25 % Zuwachs in acht Jahren, also \(25\,\%:8=3{,}125\,\%\) pro Jahr.“ Jonas widerspricht: „Der jährliche Faktor ist die achte Wurzel aus dem Gesamtfaktor.“ Material M5 zeigt beide Rechnungen im Vergleich.
| Jahr | Kapital nach Jonas | Kapital nach Lena |
|---|---|---|
| 0 | 4000,00 € | 4000,00 € |
| 2 | 4229,49 € | 4253,91 € |
| 4 | 4472,14 € | 4523,93 € |
| 6 | 4728,71 € | 4811,09 € |
| 8 | 5000,00 € | 5116,48 € |
Beide Verläufe starten bei 4000 €; nur einer trifft nach acht Jahren genau die vereinbarten 5000 €.
- Berechnen Sie den Gesamtwachstumsfaktor der acht Jahre und daraus Jonas’ jährlichen Wachstumsfaktor. Geben Sie den zugehörigen Zinssatz in Prozent an.
- Zeigen Sie mit einem Potenzgesetz, dass Jonas’ Faktor nach acht Jahren exakt auf 5000 € führt.
- Berechnen Sie das Endkapital nach Lenas Zinssatz und vergleichen Sie die beiden Verfahren.
- Nehmen Sie Stellung zu Lenas Behauptung: „Prozente darf man auf die Jahre einfach aufteilen; 25 % in acht Jahren sind 3,125 % pro Jahr.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gesamtfaktor: \(\frac{5000\,\text{€}}{4000\,\text{€}}=1{,}25\)
Für den jährlichen Faktor \(q\) gilt \(q^{8}=1{,}25\), also
\(q=1{,}25^{\frac{1}{8}}=\sqrt[8]{1{,}25}\approx 1{,}0283\)
Das entspricht einem jährlichen Zinssatz von rund 2,83 %.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Acht Jahre bedeuten acht gleiche Faktoren. Nach (P3) gilt
\(\left(1{,}25^{\frac{1}{8}}\right)^{8}=1{,}25^{\frac{1}{8}\cdot 8}=1{,}25^{1}=1{,}25\)
\(4000\,\text{€}\cdot 1{,}25=5000\,\text{€}\)
Jonas’ Faktor führt also exakt auf das vereinbarte Endkapital — unabhängig davon, wie stark man den Wert 1,0283 rundet.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Lenas Zinssatz gehört zum Faktor 1,03125. Nach acht Jahren ergäbe sich
\(4000\,\text{€}\cdot 1{,}03125^{8}\approx 4000\,\text{€}\cdot 1{,}2791\approx 5116{,}48\,\text{€}\)
Das sind rund 116,48 € mehr als die tatsächlich vereinbarten 5000 €. Beide Verfahren stimmen im Ansatz darin überein, dass der jährliche Faktor achtmal wirkt; sie unterscheiden sich in der Umkehrung. Jonas zieht die achte Wurzel und berücksichtigt damit, dass die Zinsen selbst wieder verzinst werden. Lena teilt den Prozentsatz und übersieht genau diesen Zinseszins; ihr Wert ist deshalb systematisch zu hoch. Bereits in der Tabelle M5 liegt ihre Spalte ab dem zweiten Jahr über Jonas’ Werten, und der Abstand wächst mit jedem Jahr.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Lenas Behauptung ist nicht haltbar. Zinsen wirken nicht additiv, sondern multiplikativ: Aus acht Jahren wird das Produkt \(q\cdot q\cdot\ldots\cdot q=q^{8}\), nach (P1) also eine Potenz mit dem Exponenten 8. Die Umkehrung dieser Rechnung ist deshalb das Wurzelziehen und nicht das Teilen: \(q=1{,}25^{\frac{1}{8}}\) statt \(1+\frac{0{,}25}{8}\).
Ein Gegenbeispiel macht den Fehler deutlich: Verdoppelt sich ein Kapital in zwei Jahren, so wären das nach Lenas Regel 50 % pro Jahr. Tatsächlich ergäbe das \(1{,}5^{2}=2{,}25\), also 125 % Zuwachs statt 100 %. Richtig ist \(q=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142\), also rund 41,4 % pro Jahr.
Lenas Regel liefert nur bei sehr kleinen Zinssätzen und kurzen Laufzeiten eine brauchbare Näherung; als Angabe in einer Werbeanzeige wäre sie irreführend, weil sie einen höheren Zinssatz verspricht, als der Sparbrief tatsächlich einbringt. Anzugeben ist der Wert 2,83 % pro Jahr.