Der Akku des Lastenrads
AFB IEin Kurierdienst liefert mit elektrisch unterstützten Lastenrädern aus. Das Bordgerät zeichnet den Ladestand des Akkus in Prozent auf; bei gleichmäßiger Fahrweise nimmt er linear ab. Material M1 zeigt die Aufzeichnung einer Schicht.
Der Ladestand lässt sich also durch eine lineare Funktion \(f(t)=m\,t+b\) beschreiben, wobei \(t\) die Fahrzeit in Stunden angibt.
Die Gerade ist über den gesamten dargestellten Bereich gleichmäßig fallend.
- Geben Sie den y-Achsenabschnitt \(b\) und die Steigung \(m\) der Geraden an und erläutern Sie, was die beiden Zahlen im Sachzusammenhang bedeuten.
- Berechnen Sie mit der Formel \(x=-\frac{b}{m}\) die Nullstelle der Funktion.
- Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe und geben Sie an, was die Nullstelle für den Kurier bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Gerade beginnt bei \(b=96\). Zwischen den beiden eingezeichneten Punkten \((0\,|\,96)\) und \((4\,|\,48)\) gilt
\(m=\frac{48-96}{4-0}=\frac{-48}{4}=-12\).
Zu Schichtbeginn ist der Akku zu 96 % geladen. Je Stunde Fahrzeit sinkt der Ladestand um 12 Prozentpunkte. Die Funktionsgleichung lautet \(f(t)=-12\,t+96\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(x=-\dfrac{b}{m}=-\dfrac{96}{-12}=8\)
Die Nullstelle liegt bei \(t=8\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe: \(f(8)=-12\cdot 8+96=-96+96=0\). Der Wert stimmt.
Der Funktionswert null bedeutet einen Ladestand von 0 %. Nach 8 Stunden gleichmäßiger Fahrt ist der Akku also leer; eine längere Schicht ist ohne Nachladen nicht möglich.
Das Forschungs-U-Boot taucht auf
AFB IIEin Forschungs-U-Boot beginnt um 9:48 Uhr den Aufstieg aus 420 Metern Tiefe. Der Bordcomputer speichert alle vier Minuten die aktuelle Tiefe; Tiefen unter dem Meeresspiegel werden dabei negativ angegeben (Material M2). Die Meeresoberfläche entspricht dem Wert null.
Das Begleitschiff hat der Leitstelle gemeldet, das Boot sei spätestens um 10:25 Uhr an der Oberfläche.
| Zeit \(t\) in Minuten seit Beginn des Aufstiegs | Tiefe in Metern |
|---|---|
| 0 | −420 |
| 4 | −380 |
| 8 | −340 |
| 12 | −300 |
Der Aufstieg wird mit gleichbleibender Geschwindigkeit gefahren.
- Zeigen Sie, dass sich die Tiefe durch eine lineare Funktion \(h(t)=m\,t+b\) beschreiben lässt, und berechnen Sie die Steigung \(m\).
- Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und berechnen Sie ihre Nullstelle.
- Prüfen Sie die Meldung des Begleitschiffs.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Zeitschritte betragen jeweils 4 Minuten. Die Tiefenänderungen sind
\(-380-(-420)=40\), \(-340-(-380)=40\), \(-300-(-340)=40\).
Auf jeden Zeitschritt von 4 Minuten entfallen stets 40 Meter, die Änderung ist also gleichmäßig und der Zusammenhang linear. Für die Steigung folgt \(m=\frac{40\,\text{m}}{4\,\text{min}}=10\ \frac{\text{m}}{\text{min}}\): Das Boot steigt je Minute um 10 Meter.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zur Zeit \(t=0\) beträgt die Tiefe \(-420\), also ist \(b=-420\) und
\(h(t)=10\,t-420\).
\(x=-\dfrac{b}{m}=-\dfrac{-420}{10}=42\)
Probe: \(h(42)=10\cdot 42-420=420-420=0\). Nach 42 Minuten erreicht das Boot die Meeresoberfläche.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Aufstieg beginnt um 9:48 Uhr. Mit 42 Minuten Aufstiegszeit ergibt sich \(9\!:\!48+0\!:\!42=10\!:\!30\) Uhr.
Die Meldung ist damit nicht haltbar: Das Boot erreicht die Oberfläche erst um 10:30 Uhr und damit fünf Minuten später als angekündigt. Die Leitstelle sollte über die spätere Ankunft informiert werden.
Drei Kühlprogramme im Prüflabor
AFB IIEine Lebensmittel-Prüfstelle kühlt Proben in einer Klimakammer ab. Die Kammer bietet drei Programme; in jedem ändert sich die Temperatur gleichmäßig, sodass sie sich durch eine lineare Funktion \(T(t)=m\,t+b\) beschreiben lässt (\(t\) in Minuten, \(T\) in Grad Celsius). Material M3 enthält die Kennwerte.
Für die Auswertung ist der Zeitpunkt wichtig, zu dem eine Probe den Gefrierpunkt von 0 °C erreicht.
| Programm | Starttemperatur \(b\) in °C | Änderung \(m\) in °C je Minute |
|---|---|---|
| Schnell | 18 | −1,2 |
| Sanft | 18 | −0,75 |
| Halten | 4,5 | 0 |
Der gesuchte Zeitpunkt ist genau die Nullstelle der jeweiligen Temperaturfunktion.
- Stellen Sie für die Programme „Schnell“ und „Sanft“ je eine Funktionsgleichung auf und berechnen Sie die zugehörigen Nullstellen.
- Erklären Sie, warum sich für das Programm „Halten“ keine Nullstelle berechnen lässt, und erläutern Sie, was das für die Probe in der Kammer bedeutet.
- Ermitteln Sie, welche Änderung je Minute eingestellt werden müsste, damit eine Probe mit 18 °C Starttemperatur den Gefrierpunkt genau nach 20 Minuten erreicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Programm „Schnell“: \(T(t)=-1{,}2\,t+18\), also
\(x=-\dfrac{18}{-1{,}2}=15\).
Programm „Sanft“: \(T(t)=-0{,}75\,t+18\), also
\(x=-\dfrac{18}{-0{,}75}=24\).
Mit „Schnell“ erreicht die Probe den Gefrierpunkt nach 15 Minuten, mit „Sanft“ erst nach 24 Minuten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für „Halten“ ist \(m=0\). In der Formel \(x=-\frac{b}{m}\) stünde dann eine Division durch null, die nicht definiert ist. Die Formel ist deshalb nur für \(m\neq 0\) anwendbar.
Anschaulich: Der Graph von \(T(t)=4{,}5\) ist eine waagerechte Gerade in der Höhe 4,5. Sie schneidet die \(t\)-Achse an keiner Stelle. Die Kammer hält die Probe dauerhaft bei 4,5 °C; der Gefrierpunkt wird nie erreicht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gefordert ist \(x=20\) bei \(b=18\). Aus \(20=-\dfrac{18}{m}\) folgt \(20\,m=-18\) und damit
\(m=-\dfrac{18}{20}=-0{,}9\).
Probe: \(T(20)=-0{,}9\cdot 20+18=-18+18=0\). Die Kammer müsste die Temperatur also um 0,9 °C je Minute senken — ein Wert zwischen den beiden vorhandenen Programmen.
Wie lange bleibt der Gletscher?
AFB IIIEin Forschungsteam vermisst die Länge eines Alpengletschers. Im Jahr 2000 betrug sie 2160 m, im Jahr 2015 noch 1890 m. Für eine erste Abschätzung wird angenommen, dass die Länge gleichmäßig abnimmt; sie wird durch eine lineare Funktion \(L(t)=m\,t+b\) beschrieben, wobei \(t\) die Jahre seit 2000 zählt (Material M4).
In der Projektgruppe behauptet ein Schüler: „Der Gletscher verliert 18 m pro Jahr. In 100 Jahren sind das 1800 m — dann ist er verschwunden. Und nach 50 Jahren ist er nur noch halb so lang wie heute.“
Eingezeichnet sind die beiden Messwerte; der übrige Verlauf ist eine Modellannahme.
- Berechnen Sie die Steigung \(m\) und erläutern Sie ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
- Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, berechnen Sie die Nullstelle und interpretieren Sie das Ergebnis als Kalenderjahr.
- Widerlegen Sie beide Teile der Behauptung des Schülers durch eigene Rechnungen.
- Beurteilen Sie, wie aussagekräftig die berechnete Nullstelle für eine Vorhersage über das Verschwinden des Gletschers ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m=\frac{1890\,\text{m}-2160\,\text{m}}{15-0}=\frac{-270\,\text{m}}{15}=-18\ \frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\)
Im Modell verliert der Gletscher jedes Jahr 18 Meter an Länge.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(t=0\) gilt \(L=2160\), also \(b=2160\) und \(L(t)=-18\,t+2160\).
\(x=-\dfrac{b}{m}=-\dfrac{2160}{-18}=120\)
Probe: \(L(120)=-18\cdot 120+2160=-2160+2160=0\). Die Nullstelle liegt bei \(t=120\), im Modell wäre der Gletscher also im Jahr 2120 verschwunden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Erster Teil: \(L(100)=-18\cdot 100+2160=-1800+2160=360\). Nach 100 Jahren wären im Modell noch 360 m Gletscher vorhanden, er ist also gerade nicht verschwunden. Der Schüler hat den Verlust von 1800 m mit der gesamten Länge verwechselt; diese beträgt aber 2160 m.
Zweiter Teil: \(L(50)=-18\cdot 50+2160=-900+2160=1260\). Die halbe Anfangslänge wären 1080 m, und die wird erst bei
\(-18\,t+2160=1080 \;\Rightarrow\; -18\,t=-1080 \;\Rightarrow\; t=60\)
erreicht, also nach 60 Jahren. Beide Teilaussagen sind damit widerlegt. Der Fehler ist in beiden Fällen derselbe: Der Schüler setzt die Hälfte der Zeit bis 100 Jahre mit der Hälfte der Länge gleich, obwohl 100 Jahre gar nicht die Nullstelle sind.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Nullstelle folgt zwingend aus dem Modell, aber das Modell selbst ist nur eine Annahme. Gestützt wird es durch zwei Messwerte aus 15 Jahren; daraus wird auf 120 Jahre hochgerechnet, also auf das Achtfache des gesicherten Zeitraums. Eine solche Verlängerung weit über die Daten hinaus ist heikel.
Hinzu kommt, dass ein gleichmäßiger Rückgang sachlich unwahrscheinlich ist: Der Rückgang hängt von Temperatur und Niederschlag ab, die sich ändern können, und ein kürzerer Gletscher reicht in andere Höhenlagen hinein, in denen er schneller oder langsamer schmilzt. Die Jahreszahl 2120 ist deshalb keine Vorhersage, sondern nur die Aussage: „Wenn es genau so weitergeht wie zwischen 2000 und 2015, dann …“. Für eine belastbare Prognose bräuchte man mehr Messwerte und ein Modell, das die Schmelzrate nicht als konstant ansetzt.
Zwei Angebote für den Kleintransporter
AFB IIIEine Schreinerei mietet für Auslieferungen tageweise einen Kleintransporter. Zwei Anbieter kommen infrage; beide berechnen eine feste Grundgebühr je Miettag und zusätzlich einen festen Preis je gefahrenem Kilometer (Material M5). Die Kosten für \(x\) Kilometer an einem Miettag lassen sich jeweils durch eine lineare Funktion beschreiben.
Der Werkstattleiter behauptet: „Wenn beide Anbieter ihre Grundgebühr verdoppeln, verdoppelt sich auch die Kilometerzahl, ab der Zügig-Miete günstiger ist.“
| Anbieter | Grundgebühr je Miettag | Preis je gefahrenem Kilometer |
|---|---|---|
| Zügig-Miete | 39,00 € | 0,29 € |
| Kompakt-Cars | 15,00 € | 0,45 € |
Die Grundgebühr fällt je Miettag an, also bei jeder Miete erneut.
- Stellen Sie für beide Anbieter die Kostenfunktion auf und berechnen Sie die Kosten für eine Tagesfahrt über 80 km.
- Stellen Sie die Differenzfunktion \(d(x)=K_Z(x)-K_K(x)\) auf, berechnen Sie ihre Nullstelle und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.
- Entscheiden Sie begründet, welcher Anbieter günstiger ist, wenn 210 km an einem einzigen Miettag gefahren werden — und welcher, wenn dieselbe Strecke auf zwei Miettage mit je 105 km verteilt wird.
- Nehmen Sie zu der Behauptung des Werkstattleiters Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(K_Z(x)=0{,}29\,x+39\) und \(K_K(x)=0{,}45\,x+15\).
\(K_Z(80)=0{,}29\cdot 80+39=23{,}20+39=62{,}20\)
\(K_K(80)=0{,}45\cdot 80+15=36{,}00+15=51{,}00\)
Für 80 km kostet Zügig-Miete 62,20 €, Kompakt-Cars 51,00 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(d(x)=(0{,}29\,x+39)-(0{,}45\,x+15)=-0{,}16\,x+24\)
\(x=-\dfrac{24}{-0{,}16}=150\)
Probe: \(d(150)=-0{,}16\cdot 150+24=-24+24=0\).
Bei 150 km an einem Miettag kosten beide Anbieter gleich viel, nämlich \(0{,}29\cdot 150+39=82{,}50\) €. Da \(d\) fällt, ist \(d(x)>0\) für \(x<150\) — dort ist Zügig-Miete teurer — und \(d(x)<0\) für \(x>150\): Ab 150 gefahrenen Kilometern je Miettag ist Zügig-Miete günstiger.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein Miettag mit 210 km: \(210>150\), also ist Zügig-Miete günstiger. Nachrechnung: \(K_Z(210)=0{,}29\cdot 210+39=99{,}90\) € gegenüber \(K_K(210)=0{,}45\cdot 210+15=109{,}50\) €.
Zwei Miettage mit je 105 km: An jedem einzelnen Tag gilt \(105<150\), also ist dort Kompakt-Cars günstiger. \(2\cdot K_K(105)=2\cdot(47{,}25+15)=124{,}50\) € gegenüber \(2\cdot K_Z(105)=2\cdot(30{,}45+39)=138{,}90\) €.
Die Entscheidung fällt also unterschiedlich aus: bei einer einzigen langen Fahrt Zügig-Miete, bei zwei kürzeren Miettagen Kompakt-Cars. Der Grund ist die zweimal fällige Grundgebühr, die bei Zügig-Miete deutlich stärker ins Gewicht fällt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung trifft zu, und das lässt sich allgemein begründen.
Zahlenprobe: Mit 78 € und 30 € wird \(d(x)=(0{,}29\,x+78)-(0{,}45\,x+30)=-0{,}16\,x+48\) und damit \(x=-\frac{48}{-0{,}16}=300\) — genau das Doppelte von 150.
Allgemein: Mit den Grundgebühren \(b_Z\), \(b_K\) und den Kilometerpreisen \(m_Z\), \(m_K\) ist \(d(x)=(m_Z-m_K)\,x+(b_Z-b_K)\) und
\(x=-\dfrac{b_Z-b_K}{m_Z-m_K}\).
Werden beide Grundgebühren verdoppelt, so wird der Zähler zu \(2b_Z-2b_K=2\,(b_Z-b_K)\), während der Nenner unverändert bleibt. Der ganze Bruch und damit die gesuchte Kilometerzahl verdoppeln sich.
Einschränkend ist festzuhalten: Die Aussage gilt nur, solange die Kilometerpreise unverändert bleiben und solange die Kilometerzahl überhaupt existiert, also \(m_Z\neq m_K\) ist. Erhöhen beide Anbieter zusätzlich ihre Kilometerpreise, ist die Schlussfolgerung nicht mehr zulässig.