Die Stützstrebe am Vordach
AFB IEin Metallbaubetrieb fertigt das Vordach für einen Fahrradunterstand. In der Seitenansicht (Aufriss) verläuft die Kante des Vordachs geradlinig; Material M1 zeigt sie mit einem eingezeichneten Steigungsdreieck. Eine Stützstrebe soll im rechten Winkel auf dieser Dachkante stehen, damit sie die Last möglichst günstig aufnimmt.
Eine Einheit entspricht auf beiden Achsen einem Meter; die gestrichelten Linien bilden das Steigungsdreieck.
- Geben Sie die Steigung \(m_f\) der Dachkante als Bruch und als Dezimalzahl an.
- Berechnen Sie die Steigung der Stützstrebe, die senkrecht auf der Dachkante steht.
- Geben Sie an, ob die Stützstrebe im Aufriss steigt oder fällt, und erläutern Sie, woran Sie das schon vor dem Rechnen erkennen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Steigungsdreieck führt vom Punkt \((0\,|\,1{,}2)\) aus 5 m nach rechts und dabei 2 m nach oben.
\(m_f=\frac{2\ \text{m}}{5\ \text{m}}=\frac{2}{5}=0{,}4\)
Die Dachkante steigt also je Meter waagerechter Entfernung um 0,4 m.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m_{\text{Normale}}=-\frac{1}{m_f}=-\frac{1}{\frac{2}{5}}=-\frac{5}{2}=-2{,}5\)
Die Stützstrebe verläuft im Aufriss mit der Steigung \(-2{,}5\): Auf einen Meter nach rechts fällt sie um 2,5 m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Stützstrebe fällt. Die Dachkante steigt, es ist also \(m_f>0\); das Minuszeichen in \(m_{\text{Normale}}=-\frac{1}{m_f}\) macht daraus zwangsläufig einen negativen Wert.
Steigung und Normalensteigung liegen immer im Wechsel: Steigt die eine Gerade, so fällt die andere. Zwei steigende Geraden können daher niemals senkrecht aufeinander stehen.
Die Zufahrt zum Recyclinghof
AFB IIEine Gemeinde plant eine gerade Zufahrt zu ihrem neuen Recyclinghof. Im Lageplan (Material M2) entspricht eine Einheit 100 m. Die Landstraße verläuft als Gerade \(g\) mit \(g(x)=0{,}5x+2\). Aus Gründen der Verkehrssicherheit muss die Zufahrt rechtwinklig von der Landstraße abzweigen, und zwar im Punkt \(A(6\,|\,5)\).
Die Einfahrt zum Betriebsgelände liegt im Punkt \(H(8\,|\,1)\).
Die Zeichnung ist maßstäblich, die gesuchten Werte sind aber rechnerisch zu bestimmen.
- Zeigen Sie, dass der Abzweigpunkt A auf der Landstraße liegt, und bestimmen Sie die Steigung der Zufahrt.
- Stellen Sie die Funktionsgleichung der Zufahrt auf und prüfen Sie, ob die Einfahrt H tatsächlich auf dieser Geraden liegt.
- Berechnen Sie die Länge der Zufahrt von A bis H in Metern, gerundet auf ganze Meter.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Einsetzen von \(x=6\): \(g(6)=0{,}5\cdot 6+2=5\). Das stimmt mit der y-Koordinate von A überein, A liegt also auf \(g\).
Aus \(g(x)=0{,}5x+2\) folgt \(m_g=0{,}5=\frac{1}{2}\). Für die rechtwinklig abzweigende Zufahrt gilt
\(m_Z=-\frac{1}{m_g}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(y=-2x+b\). Einsetzen von \(A(6\,|\,5)\):
\(5=-2\cdot 6+b \;\Rightarrow\; 5=-12+b \;\Rightarrow\; b=17\)
Die Zufahrt wird also durch \(z(x)=-2x+17\) beschrieben.
Probe für H: \(z(8)=-2\cdot 8+17=1\). Das ist genau die y-Koordinate von H, die Einfahrt liegt somit auf der Zufahrt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\Delta x=8-6=2\), \(\Delta y=1-5=-4\) (jeweils in Einheiten des Plans).
\(d=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}\approx 4{,}472\)
Eine Einheit entspricht 100 m, also \(4{,}472\cdot 100\ \text{m}\approx 447\ \text{m}\).
Die Zufahrt zum Recyclinghof ist rund 447 m lang.
Stäbe im Fachwerk der Fußgängerbrücke
AFB IIEin Konstruktionsbüro plant das Fachwerk einer Fußgängerbrücke. Im Aufriss lässt sich jeder Stahlstab durch eine lineare Funktion beschreiben; die Werte in Material M3 sind in Metern angegeben. Für die Statik ist entscheidend, welche Stäbe im rechten Winkel aufeinandertreffen.
| Stab | Gleichung im Aufriss |
|---|---|
| S1 | \(y=2{,}5x+0{,}5\) |
| S2 | \(y=-0{,}4x+3{,}8\) |
| S3 | \(y=-2{,}5x+6{,}0\) |
| S4 | \(y=0{,}4x+1{,}1\) |
Die Stäbe können sich auch dann rechtwinklig kreuzen, wenn sie im Bauwerk nicht denselben Knotenpunkt teilen.
- Ermitteln Sie die Steigungen der vier Stäbe und untersuchen Sie, welche Paare senkrecht aufeinander stehen.
- Stellen Sie die Gleichung eines fünften Stabes S5 auf, der senkrecht auf S1 steht und durch den Knotenpunkt \(P(2\,|\,4)\) verläuft.
- Zeigen Sie, dass ein Stab, der senkrecht auf S2 steht, dieselbe Steigung wie S1 besitzt, und erklären Sie diesen Zusammenhang allgemein.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Steigungen: \(m_1=2{,}5\), \(m_2=-0{,}4\), \(m_3=-2{,}5\), \(m_4=0{,}4\).
\(m_1\cdot m_2=2{,}5\cdot(-0{,}4)=-1\) — S1 und S2 stehen senkrecht aufeinander.
\(m_3\cdot m_4=-2{,}5\cdot 0{,}4=-1\) — S3 und S4 stehen senkrecht aufeinander.
Die übrigen Paare erfüllen die Bedingung nicht: \(m_1\cdot m_3=-6{,}25\), \(m_1\cdot m_4=1\), \(m_2\cdot m_3=1\), \(m_2\cdot m_4=-0{,}16\). Insbesondere stehen S1 und S3 nicht senkrecht aufeinander, obwohl ihre Steigungen verschiedene Vorzeichen haben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m_{S5}=-\frac{1}{2{,}5}=-0{,}4\)
Ansatz \(y=-0{,}4x+b\), Einsetzen von \(P(2\,|\,4)\): \(4=-0{,}4\cdot 2+b=-0{,}8+b\), also \(b=4{,}8\).
Der fünfte Stab wird durch \(y=-0{,}4x+4{,}8\) beschrieben. Er hat dieselbe Steigung wie S2 und verläuft daher parallel zu diesem Stab — beide stehen ja senkrecht auf derselben Geraden S1.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-\frac{1}{m_2}=-\frac{1}{-0{,}4}=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5=m_1\)
Allgemein: Ist \(m_2=-\frac{1}{m_1}\), so folgt daraus durch Umstellen \(m_1=-\frac{1}{m_2}\). Die Beziehung gilt also in beide Richtungen. Anschaulich ist das klar, denn „senkrecht aufeinander stehen“ ist eine Eigenschaft des Winkels zwischen beiden Geraden und hängt nicht davon ab, welche der beiden man zuerst betrachtet.
Jans Regel für die Querstrebe
AFB IIIIn einer Tischlerei entsteht der Rahmen für ein Pultdach-Gewächshaus. Eine Dachsprosse verläuft im Aufriss geradlinig mit der Steigung \(m_f=0{,}8\). Der Auszubildende Jan soll die Steigung einer Querstrebe bestimmen, die senkrecht auf dieser Sprosse steht, und notiert in sein Heft: „Senkrecht heißt einfach: Vorzeichen umdrehen. Aus 0,8 wird also −0,8.“
Material M4 zeigt beide Geraden durch den gemeinsamen Punkt \(P(2\,|\,2)\) sowie zusätzlich die tatsächlich senkrechte Gerade.
Alle drei Geraden gehen durch denselben Punkt P; eine Einheit entspricht einem Meter.
- Widerlegen Sie Jans Regel am vorliegenden Beispiel und geben Sie die richtige Steigung der Querstrebe an.
- Ermitteln Sie, für welche Steigungen \(m_f\) Jans Regel zufällig doch das richtige Ergebnis liefert.
- Nehmen Sie zu der Aussage einer Mitauszubildenden Stellung: „Je steiler die Sprosse verläuft, desto steiler wird auch die Querstrebe.“
- Erklären Sie, was Jans Formel für eine waagerechte Sprosse liefert, und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen \(-1\) ist. Für Jans Wert gilt aber
\(0{,}8\cdot(-0{,}8)=-0{,}64\neq -1\).
Seine Strebe steht also nicht senkrecht auf der Sprosse; im Bild ist der Winkel bei P erkennbar größer als ein rechter Winkel. Richtig ist
\(m_{\text{Normale}}=-\frac{1}{0{,}8}=-1{,}25\).
Jan hat nur das Vorzeichen gedreht und den Kehrwert vergessen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: Jans Regel und die Formel sollen dasselbe liefern.
\(-m_f=-\frac{1}{m_f}\;\Big|\;\cdot(-m_f)\quad\Rightarrow\quad m_f^2=1\quad\Rightarrow\quad m_f=1 \ \text{oder}\ m_f=-1\)
Nur für \(m_f=1\) und \(m_f=-1\) stimmt Jans Ergebnis, denn genau diese Zahlen sind ihr eigener Kehrwert. Eine Sprosse mit \(m_f=1\) hat die Normalensteigung \(-1\) — hier fällt Jans Fehler nicht auf. In allen anderen Fällen liefert seine Regel einen falschen Wert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch; es verhält sich genau umgekehrt. Wegen \(m_{\text{Normale}}=-\frac{1}{m_f}\) steht \(m_f\) im Nenner: Je größer der Betrag von \(m_f\), desto kleiner der Betrag der Normalensteigung.
Beispiele: Zu \(m_f=0{,}8\) gehört \(-1{,}25\) (steile Strebe), zu \(m_f=4\) dagegen nur \(-0{,}25\) (flache Strebe).
Für den Rahmenbau bedeutet das: Bei einem sehr flachen Pultdach steht die Querstrebe fast lotrecht, bei einem sehr steilen Dach verläuft sie fast waagerecht. Ich halte die Aussage deshalb für nicht haltbar — richtig wäre: Je steiler die Sprosse, desto flacher die Querstrebe.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für eine waagerechte Sprosse ist \(m_f=0\). Dann stünde in \(-\frac{1}{m_f}\) im Nenner eine Null, und die Division durch null ist nicht definiert. Die Formel liefert in diesem Fall also kein Ergebnis.
Das ist kein Widerspruch, sondern der Sonderfall: Eine Strebe im rechten Winkel zu einer waagerechten Sprosse steht lotrecht. Eine solche senkrechte Gerade lässt sich aber gar nicht als \(y=mx+b\) schreiben, weil ihr keine Steigung zugeordnet werden kann. In der Werkstatt ist der Fall der einfachste von allen: Die Strebe wird mit dem Lot ausgerichtet, gerechnet werden muss nichts.
Zwei Vorschläge für den Steg am Bootshaus
AFB IIIEin Ruderverein will vom Bootshaus aus einen geraden Steg bis zum Ufer bauen. Im Lageplan (Material M5) entspricht eine Einheit 10 m; die Uferlinie verläuft als Gerade \(u\) mit \(u(x)=0{,}75x+1\), das Bootshaus liegt im Punkt \(B(3\,|\,9)\).
Vorschlag 1 führt den Steg senkrecht zur Uferlinie bis zum Auftreffpunkt F. Vorschlag 2 führt ihn parallel zur y-Achse geradewegs nach Süden bis zum Punkt \(G(3\,|\,3{,}25)\) am Ufer. Der Bau kostet nach Angabe der Firma 340 € je Meter Steg.
Das kleine Winkelzeichen bei F markiert den rechten Winkel zwischen Steg und Uferlinie.
- Bestimmen Sie die Steigung des Stegs nach Vorschlag 1 und stellen Sie seine Funktionsgleichung auf.
- Berechnen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes F und die Länge dieses Stegs in Metern.
- Vergleichen Sie die beiden Vorschläge hinsichtlich Baulänge und Baukosten.
- Nehmen Sie zu der Aussage des Vorsitzenden Stellung: „Der Steg wird genau dann am kürzesten, wenn er senkrecht auf der Uferlinie steht — das gilt hier aber nur, weil die Uferlinie so flach verläuft.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus \(u(x)=0{,}75x+1\) folgt \(m_u=0{,}75=\frac{3}{4}\). Für den senkrecht verlaufenden Steg gilt
\(m_S=-\frac{1}{m_u}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\).
Ansatz \(y=-\frac{4}{3}x+b\), Einsetzen von \(B(3\,|\,9)\): \(9=-\frac{4}{3}\cdot 3+b=-4+b\), also \(b=13\).
Der Steg nach Vorschlag 1 wird durch \(s(x)=-\frac{4}{3}x+13\) beschrieben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichsetzen: \(-\frac{4}{3}x+13=\frac{3}{4}x+1\;\Big|\;\cdot 12\)
\(-16x+156=9x+12 \;\Rightarrow\; 144=25x \;\Rightarrow\; x=5{,}76\)
\(y=0{,}75\cdot 5{,}76+1=5{,}32\), also \(F(5{,}76\,|\,5{,}32)\).
\(\Delta x=5{,}76-3=2{,}76\), \(\Delta y=5{,}32-9=-3{,}68\)
\(d=\sqrt{2{,}76^2+3{,}68^2}=\sqrt{7{,}6176+13{,}5424}=\sqrt{21{,}16}=4{,}6\)
Mit dem Maßstab 1 Einheit \(=10\ \text{m}\) ist der Steg nach Vorschlag 1 genau 46 m lang.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vorschlag 2 verläuft senkrecht, seine Länge ist die reine Differenz der y-Koordinaten: \(9-3{,}25=5{,}75\) Einheiten, also 57,5 m.
Kosten: Vorschlag 1: \(46\cdot 340\ €=15\,640\ €\); Vorschlag 2: \(57{,}5\cdot 340\ €=19\,550\ €\).
Vorschlag 1 ist 11,5 m kürzer, das sind rund 20 % der Länge von Vorschlag 2, und spart 3910 €. Der senkrechte Steg ist damit sowohl der kürzeste als auch der günstigste; für Vorschlag 2 spräche allenfalls, dass er in Nord-Süd-Richtung leichter abzustecken ist.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der erste Teil der Aussage ist richtig, der zweite falsch.
Richtig ist: Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden ist stets das Lot, also die Strecke, die senkrecht auf der Geraden steht. Jede andere Verbindung von B zum Ufer bildet mit diesem Lot und einem Stück der Uferlinie ein rechtwinkliges Dreieck, in dem sie die Hypotenuse ist — und die Hypotenuse ist immer länger als jede Kathete. Genau das zeigt der Vergleich: 46 m gegenüber 57,5 m.
Falsch ist die Begründung: Dieses Argument gilt für jede Uferlinie, unabhängig von ihrer Steigung. Von der Steigung hängt nur ab, wie der Steg gelegt werden muss, nicht ob das Lot der kürzeste Weg ist. Verliefe das Ufer etwa mit \(m_u=3\), so hätte der Steg die Steigung \(-\frac{1}{3}\) und wäre immer noch die kürzeste Verbindung. Ich stimme dem Vorsitzenden also im Ergebnis zu, widerspreche aber seiner Begründung.