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Steigung der Normalen

Die Normale verläuft senkrecht zur Geraden f. Ihre Steigung entsteht aus der Steigung von f, indem man den Kehrwert bildet und das Vorzeichen umdreht.

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Was die Normale ist

Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Ihre Steigung hängt direkt von der Steigung der ersten Geraden ab.

  • Normale:Gerade, die im rechten Winkel auf der Geraden \(f\) steht.
  • \(m_f\):Steigung der gegebenen Funktion \(f\).
  • \(m_{\text{Normale}}\):Steigung der Normalen.
  • Richtung:steigt \(f\), fällt die Normale — und umgekehrt.
Gerade und Normale im Koordinatensystem
−3−2−11221−1−2−3xyf(x)Normale zurGeraden f(x)mNormale=−1mf

Die rote Gerade \(f\) steigt, die grüne Normale fällt und ist deutlich steiler. Am Schnittpunkt bilden beide einen rechten Winkel.

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Die Formel für die Normalensteigung

Du bildest den Kehrwert von \(m_f\) und drehst das Vorzeichen um.

  • Ablesen:\(m_f\) ist die Zahl vor dem \(x\).
  • Kehrwert:Zähler und Nenner tauschen.
  • Vorzeichen:umdrehen — das Ergebnis ist \(m_{\text{Normale}}\).
  • Anschaulich:das Steigungsdreieck um 90° kippen: \(\Delta x\) und \(\Delta y\) tauschen, eines wechselt das Vorzeichen.
Das gekippte Steigungsdreieck
−224−3−2−1123xyΔx = 3Δy = 2Δx = 2Δy = −3mf=23mNormale=−32

Bei \(f\) gehören \(\Delta x = 3\) und \(\Delta y = 2\) zusammen, bei der Normalen \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = -3\). Die Katheten tauschen die Rollen, und eine wechselt das Vorzeichen.

  • Beispiel:\(f(x)=\frac{2}{3}x+0{,}5\): \(m_{\text{Normale}}=-\frac{3}{2}\) — \(b\) spielt keine Rolle.
Merke

Normalensteigung: \(m_{\text{Normale}}=-\dfrac{1}{m_f}\quad(m_f\neq 0)\)

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Die Formel prüfen

Das Produkt der beiden Steigungen ist immer \(-1\). Damit kontrollierst du jedes Ergebnis.

Drehe die rote Gerade und beobachte, wie die grüne Normale mitwandert — der rechte Winkel bleibt dabei immer erhalten.

Rechter-Winkel-Dreher

Ziehe den roten Griff mit der Maus im Kreis herum oder wähle ihn mit der Tabulatortaste aus und verstelle die Steigung mit den Pfeiltasten; Enter oder die Leertaste setzt \(m_f=1\). Der Regler tut dasselbe.

−6−4−2246−4−224xyf(x)Normale
Steigung mf
0,7
Steigung mNormale
−1,43
Produkt der Steigungen
−1
Die beiden Geraden stehen senkrecht aufeinander.

Das Produkt der beiden Steigungen bleibt bei jeder Drehung gleich \(-1\). Achte auch darauf, was passiert, wenn \(m_f\) sehr klein wird: Die Normale wird dann sehr steil.

  • Probe:\(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\) — die Geraden stehen senkrecht.
  • Steil und flach:ist \(f\) steil, ist die Normale flach — und umgekehrt.
  • Sonderfall \(m_f=0\):die Normale ist senkrecht und hat keine Steigung.
Merke

Senkrecht: \(m_f\cdot m_{\text{Normale}}=-1\)

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Allgemeine Hinweise

Kehrwert und Minus

Nur den Kehrwert zu bilden reicht nicht. Auch das Vorzeichen muss sich umdrehen.

Waagerechte Gerade

Bei \(m_f=0\) stünde eine Null im Nenner. Die Normale ist dann senkrecht und hat keine Steigung.

Brüche kippen

Aus \(m_f=\frac{a}{b}\) wird direkt \(-\frac{b}{a}\). Ganze Zahlen schreibst du vorher als Bruch, z. B. \(4=\frac{4}{1}\).

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