MINT lernen

Interaktive Übung

Zwanzig Aufgaben zum Rechnerweg: Matrix aufstellen, rref anwenden, die Ausgabe richtig lesen und den Weg nach MaGGI dokumentieren. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungLösen mit GTR — Matrix, rref-Befehl und die MaGGI-Methode.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Lösen mit dem Taschenrechner. Im Mittelpunkt steht die Matrix: aufstellen, sortieren, fehlende Variablen als 0 eintragen — und die Ausgabe des Rechners in eine Lösung zurückübersetzen.

1Der Rechnerweg in fünf SchrittenAFB I

Fünf Arbeitsschritte, durcheinander. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Gleichungen sortieren, sodass die Variablen in jeder Zeile in derselben Reihenfolge stehen.
2Die Lösung aus der letzten Spalte ablesen und den Variablen zuordnen.
3Die Zahlen der rechten Seite als letzte Spalte anhängen.
4Den Befehl rref auf die Matrix anwenden.
5Koeffizienten zeilenweise in die Matrix eintragen, fehlende Variablen als 0.
Sortieren kommt vor dem Eintragen: Die Spalten der Matrix tragen keine Namen, nur die Reihenfolge sagt, welche Zahl zu welcher Variablen gehört.
2Matrix aufstellenAFB I

Zum System \(\text{I: } 2x-y+3z=14\), \(\text{II: } x+4y-z=-5\), \(\text{III: } -3x+2z=0\) soll die Matrix für den Rechner aufgestellt werden. Tragen Sie alle zwölf Zahlen ein.

Reihenfolge der Spalten: x, y, z, rechte Seite. Fehlende Variablen bekommen eine 0. Enter prüft alle Felder, Pfeiltasten springen zwischen ihnen.
xyzrechte Seite
In III fehlt \(y\) — dort steht eine 0. Das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten: \(-y\) wird zu \(-1\), \(-3x\) zu \(-3\). Der Strich vor der letzten Spalte trennt die rechte Seite ab.
3Vokabeln des RechnerwegsAFB I

Sechs Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter ein. Ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Ein rechteckiges Zahlenschema heißt . Jede steht darin für eine Gleichung, jede für eine Variable — bis auf die letzte, die die rechte Seite enthält. Der Befehl bringt das Schema in die reduzierte Zeilenstufenform: Links steht dann eine Diagonale aus , rechts die Lösung. Dokumentiert wird der Weg nach dem Schema : Ansatz, Rechnerweg, Rechnerlösung, Interpretation.

Zeile = Gleichung, Spalte = Variable: Wer diese beiden Zuordnungen im Kopf hat, kann jede Matrix zurück in ein Gleichungssystem übersetzen.
4Die Ausgabe lesenAFB I

Der Rechner zeigt nach rref: \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&4\\ 0&1&0&-2\\ 0&0&1&0{,}5\end{array}\right]\). Die Spalten stehen für \(x\), \(y\), \(z\). Lesen Sie die Lösung ab.

Jede Zeile ist eine Gleichung: 1·x + 0·y + 0·z = 4 und so weiter. Enter prüft.
Die erste Zeile heißt \(x=4\), die zweite \(y=-2\), die dritte \(z=0{,}5\). \(L=\{(4\,|\,-2\,|\,0{,}5)\}\).
5MaGGI entschlüsselnAFB I

Vier Buchstaben und ein Befehl. Verbinden Sie jede Abkürzung mit ihrer Bedeutung.

Wähle links eine Abkürzung aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die Bedeutung an.
MaGGI gibt die Reihenfolge auf dem Blatt vor. Wer nur die Zahlen des Rechners abschreibt, lässt drei der vier Schritte weg — und den nachvollziehbaren Weg gleich mit.
6Erst sortieren, dann eintragenAFB II

\(\text{I: } 3x+2y=z+5\), \(\text{II: } y-4=2x-z\), \(\text{III: } x+y+z=10\). Variablen stehen auf beiden Seiten. Sortieren Sie und tragen Sie die Matrix ein.

Alle Variablen nach links in der Reihenfolge x, y, z, alle Zahlen nach rechts. Beim Seitenwechsel dreht sich das Vorzeichen.
xyzrechte Seite
I: \(3x+2y-z=5\). II: \(y-4=2x-z\) wird zu \(-2x+y+z=4\) — \(2x\) und \(-z\) wechseln die Seite und die \(-4\) ebenfalls. III ist schon sortiert.
7Fehler bei der EingabeAFB II

\(\text{I: } x+2y-z=3\), \(\text{II: } 2y+3z=1\), \(\text{III: } 4x-y=-2\). Die Beschreibung der Eingabe enthält drei Fehler. Markieren Sie sie.

In dieser Beschreibung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Fehlende Variablen sind die häufigste Fehlerquelle: Ohne die 0 hat die Zeile zu wenige Einträge, und der Rechner ordnet die Zahlen den falschen Variablen zu.
8Stimmt das über Matrizen?AFB II

Sechs Aussagen. Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6

Zwei Regeln reichen für fast alles: Die Reihenfolge der Spalten ist heilig, und jede fehlende Variable wird zur 0.
9Schon in Zeilenstufenform?AFB II

Sechs Matrizen. Markieren Sie alle, die bereits die Form haben, die der rref-Befehl ausgibt.

Links Einsen auf der Diagonale, sonst nur Nullen. Markiere alle Treffer.
Die zweite Matrix hat noch eine \(2\) über der Diagonale, die dritte hat die Einsen an der falschen Stelle, die fünfte eine \(2\) statt einer \(1\). Auch \(x=0\), \(y=0\) ist eine gültige Lösung.
10Rechnerlösung prüfenAFB II

Zum System \(\text{I: } 4x+2y=8\), \(\text{II: } x-3y=5{,}5\) gibt der Rechner \(x=2{,}5\) und \(y=-1\) aus. Berechnen Sie die linken Seiten beider Gleichungen mit diesen Werten.

Einsetzen und ausrechnen — stimmen beide Werte mit den rechten Seiten überein, ist die Lösung bestätigt.
I: \(4\cdot 2{,}5+2\cdot(-1)=10-2=8\) ✓. II: \(2{,}5-3\cdot(-1)=2{,}5+3=5{,}5\) ✓. Die Probe gehört zur Interpretation — sie entlarvt jeden Eingabefehler.
11rref von Hand nachvollziehenAFB II

Die Matrix \(\left[\begin{array}{cc|c} 2&4&10\\ 1&3&7\end{array}\right]\) wird in drei Schritten umgeformt. Rechnen Sie mit.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Zeile 1 durch 2 teilen. Welche Zahl steht danach rechts in Zeile 1?
  2. Zeile 2 minus neue Zeile 1: In Zeile 2 bleibt 0, 1 und welche Zahl rechts?
  3. Zeile 1 minus 2·Zeile 2: Welche Zahl steht jetzt rechts in Zeile 1?
  4. Probe mit der Lösung: 2x + 4y =
Nach den drei Schritten steht \(\left[\begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2\end{array}\right]\), also \(x=1\), \(y=2\). Der Rechner macht genau diese Zeilenumformungen — nur unsichtbar.
12Was gehört wohin?AFB II

Sechs Arbeitsschritte einer Textaufgabe. Ordnen Sie jeden dem passenden MaGGI-Schritt zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Ma: Ansatz
2G: Rechnerweg
3G: Rechnerlösung
4I: Interpretation
Das Festlegen der Variablen gehört schon zum Ansatz — ohne diese Zeile weiß später niemand, was x = 3 bedeutet.
13Vier Gleichungen, vier VariablenAFB II

\(\text{I: } 2x+y-w=3\), \(\text{II: } y+3z+2w=1\), \(\text{III: } x-z=4\), \(\text{IV: } 5w=2x+y+z\). Tragen Sie die Matrix ein (Reihenfolge \(x,y,z,w\)).

Zwanzig Felder. Fehlende Variablen sind 0, in IV müssen die Variablen erst nach links. Pfeiltasten springen zwischen den Feldern.
xyzwrechte Seite
IV wird zu \(-2x-y-z+5w=0\): Die rechte Seite ist \(0\), weil dort keine Zahl übrig bleibt. In I fehlt \(z\), in II fehlt \(x\), in III fehlen \(y\) und \(w\).
14Vertauschte SpaltenAFB III

Eine Schülerin hat die Spalten in der Reihenfolge \(z,\ x,\ y\) eingegeben. Die letzte Spalte nach rref lautet von oben nach unten \(2\), \(-1\), \(5\). Bestimmen Sie \(x\), \(y\) und \(z\).

Die Zeilen folgen der Eingabereihenfolge der Spalten. Enter prüft.
Erste Spalte war \(z\), also \(z=2\); zweite Spalte \(x\), also \(x=-1\); dritte Spalte \(y\), also \(y=5\). Eine ungewöhnliche Reihenfolge ist erlaubt — sie muss nur beim Ablesen beachtet werden.
15Wie groß wird die Matrix?AFB II

Ein System besteht aus fünf Gleichungen mit vier Variablen. Berechnen Sie, wie viele Zahlen in die Matrix eingetragen werden müssen (inklusive rechter Seite).

Zeilen mal Spalten. Enter prüft.
Fünf Zeilen (Gleichungen) mal fünf Spalten (vier Variablen plus rechte Seite) ergibt \(25\) Einträge — auch die Nullen für fehlende Variablen zählen mit.
16MaGGI am Rechner durchspielenAFB II

Drei Freunde kaufen Getränke: 2 Cola, 1 Wasser und 1 Saft kosten 7,50 €; 1 Cola, 3 Wasser und 2 Saft kosten 8,50 €; 3 Cola und 2 Saft kosten 10,50 €. Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Auch die zweite Gleichung geht auf: \(2{,}50+3\cdot 1{,}00+2\cdot 1{,}50=8{,}50\) ✓. Vier Schritte, und der Weg ist für jeden nachvollziehbar — auch ohne den Rechner daneben.
    17Von der Ausgabe zur LösungsmengeAFB II

    Der Rechner zeigt \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&3\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&2\end{array}\right]\) für ein System in \(x,y,z\). Setzen Sie den Weg zur Lösungsmenge zusammen — zwei Bausteine sind falsch.

    Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
    Die Reihenfolge im Lösungstripel folgt der Reihenfolge der Spalten. Alle drei Werte gehören zur Lösung — keiner ist ein Zwischenergebnis.
    18Mit dem Rechner lösenAFB II

    Das System aus Aufgabe 2: \(\text{I: } 2x-y+3z=14\), \(\text{II: } x+4y-z=-5\), \(\text{III: } -3x+2z=0\). Lösen Sie es mit dem GTR und tragen Sie die Lösung ein.

    Matrix eingeben, rref anwenden, letzte Spalte ablesen. Enter prüft.
    Der Rechner liefert \(x=2\), \(y=-1\), \(z=3\). Probe in I: \(4+1+9=14\) ✓, in III: \(-6+6=0\) ✓. \(L=\{(2\,|\,-1\,|\,3)\}\).
    19System und MatrixAFB II

    Vier Systeme, vier Matrizen. Verbinden Sie, was zusammengehört — achten Sie auf Nullen und Vorzeichen.

    Wähle links ein System aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Matrix an.
    Dieselben Zahlen, andere Plätze: Ein Minuszeichen an anderer Stelle oder eine 0 in einer anderen Spalte ergibt ein völlig anderes System.
    20Woran scheitert eine Rechnerlösung?AFB III

    Sieben mögliche Ursachen. Markieren Sie alle, die tatsächlich zu einer falschen oder unbrauchbaren Lösung führen.

    Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
    Brüche und viele Nachkommastellen sind kein Problem — der Rechner rechnet exakt. Alle anderen Punkte greifen an derselben Stelle an: Die Matrix und die Ausgabe müssen in beide Richtungen korrekt übersetzt werden.
    WeiterZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel von Grundlagen der Mathematik auf einen Blick.