Wenn die Verfahren zu lang werden
Bei mehr Gleichungen und mehr Variablen wird das Rechnen von Hand unübersichtlich. Dann löst der GTR das System über eine Matrix.
Vier Gleichungen, vier Variablen \(x,\ y,\ z\) und \(w\). In Gleichung IV kommt \(z\) nicht vor, ihr \(z\)-Koeffizient ist also 0.
- Beispiel:vier Gleichungen I bis IV mit den Variablen \(x,\ y,\ z\) und \(w\).
- Fehlende Variable:in Gleichung IV kommt \(z\) nicht vor, ihr Koeffizient ist \(0\).
- Weg:Matrix eingeben, rref anwenden, Lösung ablesen.
Mit dem GTR: Matrix eingeben \(\rightarrow\) rref \(\rightarrow\) Lösung in der letzten Spalte ablesen
Matrix aufstellen und rref anwenden
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Jede Zeile steht für eine Gleichung.
- Sortieren:\(x,\ y,\ z,\ w\) stehen in jeder Zeile in derselben Reihenfolge.
- Eintragen:Koeffizienten zeilenweise, fehlende Variablen als \(0\).
- Rechte Seite:als letzte Spalte anhängen.
- rref:bringt die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform: links eine Diagonale aus Einsen.
- Ablesen:die letzte Spalte ist die Lösung.
Vom System zur Matrix
Dieselbe Matrix zweimal: links wie der Rechner sie ausgibt, rechts mit den Variablennamen darüber. Die letzte Spalte ist die Lösung.
Reihenfolge: welcher Wert zu welcher Variablen gehört, entscheidet allein die Spaltenreihenfolge
Was der rref-Befehl im Inneren macht, lässt sich Schritt für Schritt mitverfolgen. Schalte dich hier durch die Umformung des Systems von oben.
rref-Schrittschalter
Bewege den Regler oder nutze die beiden Schaltflächen. Der Rechner erledigt alle Schritte auf einmal, hier laufen sie einzeln ab. Zwischenergebnisse erscheinen als echte Brüche.
Am Ende steht links die Diagonale aus Einsen und rechts die Lösung. Der Taschenrechner zeigt nur dieses Endergebnis — die acht Zwischenschritte laufen unsichtbar ab.
Den Lösungsweg mit MaGGI aufschreiben
Damit die Rechnerlösung nachvollziehbar bleibt, dokumentierst du sie nach einem festen Schema. Die Buchstaben von MaGGI geben die Reihenfolge vor.
- Ma:Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aufstellen.
- G:GTR-Lösungsweg: die Matrix notieren und rref anwenden.
- G:GTR-Lösung: die ausgegebenen Werte notieren.
- I:Interpretieren: die Lösung auf die Aufgabe zurückbeziehen.
- Beispiel:für das Ausgangssystem liefert rref \(x=3,\ y=4,\ z=3,\ w=0\).
- Probe:in Gleichung I: \(3\cdot3+4+3\cdot3+0=22\).
MaGGI: Ansatz \(\rightarrow\) GTR-Lösungsweg \(\rightarrow\) GTR-Lösung \(\rightarrow\) Interpretieren
Ob eine abgelesene Lösung wirklich stimmt, zeigt erst die Probe. Zwei große Systeme mit vier Variablen sind hier hinterlegt — setze ihre gerundeten Lösungen in eine Gleichung deiner Wahl ein und sieh nach, wie genau beide Seiten zusammenpassen.
Probe-Rechner
System 1: \(\text{I: } 3x-2y+z+w=17\), \(\text{II: } 2x+y-3z+4w=5\), \(\text{III: } -x+4y+2z-w=12\), \(\text{IV: } 5x+y+z-2w=21\) mit \(x \approx 3{,}931\), \(y \approx 1{,}875\), \(z \approx 5{,}796\), \(w \approx 3{,}163\).
System 2: \(\text{I: } 7x-3y+5z-2w=19\), \(\text{II: } -4x+6y-z+3w=-7\), \(\text{III: } 2x+5y-4z+w=11\), \(\text{IV: } 3x-y+2z+7w=23\) mit \(x \approx 3{,}527\), \(y \approx 0{,}201\), \(z \approx -0{,}266\), \(w \approx 1{,}879\).
Wähle mit den Reglern ein System und eine Gleichung; die gerundete Lösung wird in die linke Seite eingesetzt und mit der rechten Seite verglichen.
Alle vier Gleichungen eines Systems müssen aufgehen. Bleibt eine deutliche Abweichung, stimmt entweder die Matrix oder die abgelesene Lösung nicht — genau daran erkennt man einen Eingabefehler. Bei den Systemen mit Brüchen aus den Textaufgaben läuft die Probe genauso ab.
Allgemeine Hinweise
Nullen eintragen
Fehlt eine Variable in einer Gleichung, trägst du eine \(0\) ein. Sonst verrutschen alle folgenden Spalten.
Nicht nur Zahlen
Der Rechner liefert nur Werte. Ohne Ansatz, Matrix und Deutung ist die Lösung nicht vollständig.
Probe machen
Setze die Lösung in eine Gleichung ein. Bleibt eine deutliche Abweichung, war die Matrix falsch eingegeben.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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