TextaufgabenLösen mit GTR

In Gleichung III fehlt \(z\); der zugehörige Koeffizient ist also 0.

Die ersten drei Spalten enthalten die Koeffizienten von \(x\), \(y\) und \(z\), die letzte Spalte die rechten Seiten.

Die letzte Spalte der Ausgabe ist die Lösung: \(x = 10\), \(y = 9\), \(z = 5\).

Die Werkstatt hat also 10 City-Räder, 9 Trekking-Räder und 5 Lastenräder montiert. Zusammen sind das \(10 + 9 + 5 = 24\) Räder, wie im Text angegeben.

\(3\cdot 10 + 4\cdot 9 + 6\cdot 5 = 30 + 36 + 30 = 96\)

Die Probe bestätigt die gebuchten 96 Montagestunden; auch die 19 Nabenschaltungen stimmen wegen \(10 + 9 = 19\).

Der GTR rechnet zwar fehlerfrei, aber er rechnet genau mit den Zahlen, die eingegeben wurden. Ein Zahlendreher beim Eintippen oder eine vertauschte Spalte liefert eine völlig korrekt gerechnete, aber falsche Lösung. Erst die Probe im ursprünglichen Sachzusammenhang deckt so etwas auf.

Stickstoff: \(40x + 10y + 20z = 650\)

Phosphat: \(10x + 30y + 20z = 650\)

Kalium: \(20x + 20y + 60z = 800\)

Dabei sind \(x\), \(y\) und \(z\) die Mengen der Konzentrate A, B und C in Litern.

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · GTR-Lösungsweg: Matrix aufstellen, dann rref anwenden.

G · GTR-Lösung: \(x = 10\), \(y = 15\), \(z = 5\).

I · Interpretieren: Die Gärtnerin mischt 10 Liter des Konzentrats A, 15 Liter von B und 5 Liter von C. Diese Mischung enthält genau die geforderten Nährstoffmengen.

Probe in der Kalium-Gleichung: \(20\cdot 10 + 20\cdot 15 + 60\cdot 5 = 200 + 300 + 300 = 800\). Die geforderten 800 g Kalium werden also erreicht.

Das Gesamtvolumen beträgt \(10\ \text{l} + 15\ \text{l} + 5\ \text{l} = 30\ \text{l}\).

Die Mischung passt damit nicht in den Behälter, denn 30 Liter übersteigen die 25 Liter Fassungsvermögen. Die Gärtnerin muss entweder einen größeren Behälter verwenden oder den Ansatz in zwei Portionen mischen. Rechnerisch ist die Lösung richtig, im Sachzusammenhang ist sie so aber nicht unmittelbar umsetzbar.

\(\text{I: } x + y + z = 60\) (Anzahl der Karten)

\(\text{II: } 4x + 7y + 10z = 405\) (Einnahmen in Euro)

\(\text{III: } z = x - 5\), umgestellt \(x - z = 5\)

Die erste Zeile bedeutet \(x - z = 5\), die zweite \(y + 2z = 55\). Die dritte Zeile lautet ausgeschrieben \(0 = 0\); sie ist für jede beliebige Belegung von \(x\), \(y\) und \(z\) erfüllt und schränkt daher nichts ein.

Das System hat also keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele: Zu jedem Wert von \(z\) gehören \(x = z + 5\) und \(y = 55 - 2z\).

Im Sachzusammenhang heißt das: Die dritte Angabe des Kassenberichts liefert keine neue Information. Sie folgt bereits aus der Kartenzahl und den Einnahmen und führt deshalb im rref-Ergebnis auf eine Nullzeile.

Kartenzahlen sind ganze Zahlen und nicht negativ. Aus \(y = 55 - 2z \geq 0\) folgt \(z \leq 27{,}5\), also \(z \leq 27\); aus \(x = z + 5\) ergibt sich keine weitere Einschränkung, da \(z \geq 0\) ohnehin gilt.

Möglich sind damit die 28 Fälle \(z = 0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ 27\) mit \(x = z + 5\) und \(y = 55 - 2z\), zum Beispiel \(z = 15\) mit \(x = 20\) und \(y = 25\) oder \(z = 27\) mit \(x = 32\) und \(y = 1\).

Eindeutig würden die Zahlen, sobald der Bericht eine der drei Anzahlen selbst nennt — etwa die Zahl der Erwachsenenkarten. Damit läge \(z\) fest, und \(x\) sowie \(y\) ergäben sich unmittelbar aus den beiden Zeilen.

\(\text{I: } x + y + z = 500\) (Stückzahl)

\(\text{II: } 4x + 6y + 10z = 3200\) (Masse der Schrauben in Gramm)

Mit Unterlegscheibe wiegt jede Schraube 2 g mehr, also \(\text{III: } 6x + 8y + 12z = 4300\).

Die dritte Zeile der Ausgabe lautet ausgeschrieben \(0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1\), also \(0 = 1\). Das ist für keine Wahl von \(x\), \(y\) und \(z\) erfüllbar.

Das Gleichungssystem hat daher keine Lösung. Für den Lieferschein bedeutet das: Die drei Angaben passen nicht zusammen, sie widersprechen sich. Mindestens eine der Zahlen — Stückzahl, Nettomasse oder Masse mit Unterlegscheiben — ist falsch.

Lenas Deutung ist falsch. Erstens verstößt sie gegen den Lieferschein selbst: Mit \(x = 0\), \(y = 0\) und \(z = 1\) wäre \(x + y + z = 1\) und nicht 500, und die Masse betrüge \(10\ \text{g}\) statt 3200 g.

Zweitens darf die letzte Spalte überhaupt nur dann als Lösung gelesen werden, wenn links in jeder Zeile genau eine 1 steht und alle übrigen Einträge 0 sind. Hier lauten die ersten beiden Zeilen \(x - 2z = 0\) und \(y + 3z = 0\); die dritte Zeile enthält links gar keine 1, sondern nur Nullen. Die Ausgabe zeigt also kein Zahlentripel an, sondern den Widerspruch \(0 = 1\).

500 Unterlegscheiben wiegen \(500\cdot 2\ \text{g} = 1000\ \text{g}\). Passend wäre also \(3200\ \text{g} + 1000\ \text{g} = 4200\ \text{g}\) statt der angegebenen 4300 g.

Mit 4200 g liefert der rref-Befehl \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -100\\ 0 & 1 & 3 & 600\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\), also \(x = 2z - 100\) und \(y = 600 - 3z\).

Eindeutig ist damit nichts: Für jede ganze Zahl \(z\) zwischen 50 und 200 ergeben sich nichtnegative Stückzahlen, zum Beispiel \(z = 100\) mit \(x = 100\) und \(y = 300\). Die dritte Angabe des Lieferscheins ist nach der Korrektur nur noch eine Wiederholung der ersten beiden und erzeugt deshalb eine Nullzeile. Der Lieferschein müsste zusätzlich eine der Stückzahlen selbst nennen, um die Sendung eindeutig zu beschreiben.

Mit \(t\), \(h\) und \(s\) für die Preise von Trikot, Hose und Paar Stutzen in Euro gilt:

\(\text{R1: } 12t + 12h + 15s = 675\)

\(\text{R2: } 10t + 8h + 6s = 470\)

\(\text{R3: } 5t + 4h + 20s = 388\) (Positionen umsortiert)

Die Spalten der Matrix tragen keine Beschriftung. Welcher Wert am Ende zu welchem Artikel gehört, entscheidet allein die Reihenfolge, in der die Koeffizienten eingetragen werden. Steht in einer Zeile die Stückzahl der Stutzen in der Trikot-Spalte, so rechnet der GTR mit einer anderen Gleichung als der, die auf der Rechnung steht.

Der rref-Befehl liefert

Ein Trikot kostet 28,00 €, eine Hose 17,00 € und ein Paar Stutzen 9,00 €.

Probe an R3: \(5\cdot 28 + 4\cdot 17 + 20\cdot 9 = 140 + 68 + 180 = 388\). Der Gesamtbetrag stimmt.

Jule hat die Zahlen von R3 in der gedruckten Reihenfolge eingetragen, also 20 in die Trikot-Spalte, 5 in die Hosen-Spalte und 4 in die Stutzen-Spalte. Ihre dritte Zeile lautet damit \(20t + 5h + 4s = 388\) — das ist eine Gleichung, die zu keiner der drei Rechnungen gehört. Der GTR löst dieses veränderte System völlig korrekt und liefert dafür die drei krummen Werte.

Ihre Deutung ist zu widerlegen: Ein negativer Preis würde bedeuten, dass der Verein für jedes gelieferte Paar Stutzen 1,56 € ausgezahlt bekommt; bei 20 Paar auf R3 wären das 31,17 € Gutschrift, obwohl die Rechnung einen positiven Betrag ausweist. Die Probe zeigt es unmittelbar: \(5\cdot 6{,}88 + 4\cdot 51{,}32 + 20\cdot (-1{,}56) \approx 208{,}50 \neq 388\). Ihre Werte erfüllen Rechnung R3 also gar nicht. Ein Rabatt liegt nicht vor, sondern ein Eingabefehler in der Spaltenreihenfolge.

Der Aussage ist zu widersprechen. Der GTR prüft nicht, ob das eingegebene Zahlenschema zur Sachsituation passt; er formt genau die Matrix um, die eingetippt wurde. Vertauschte Spalten, ein Zahlendreher oder eine vergessene 0 für eine fehlende Variable führen zu einer Ausgabe, die rechnerisch einwandfrei und sachlich falsch ist — Jules Ergebnis ist genau dafür ein Beispiel.

Hinzu kommt, dass die Ausgabe selbst gedeutet werden muss: Eine Zeile aus lauter Nullen bedeutet unendlich viele Lösungen, eine Zeile der Form \(0 = 1\) bedeutet gar keine. In beiden Fällen wäre „die Lösung ablesen“ schlicht falsch.

Wer richtig arbeitet, schließt deshalb mit dem Schritt I der MaGGI-Methode ab: Die Werte werden in den Sachzusammenhang zurückübersetzt und auf Plausibilität geprüft — sind sie nicht negativ, haben sie eine sinnvolle Größenordnung, und erfüllen sie die ursprünglichen Angaben? Erst diese Probe macht aus einer Rechnerausgabe eine Antwort.

Die Koeffizienten werden zeilenweise eingetragen, die Messwerte bilden die letzte Spalte.

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus dem Aufgabentext mit \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) als Kanalfaktoren.

G · GTR-Lösungsweg: Matrix aufstellen, dann rref anwenden.

G · GTR-Lösung: \(x = \frac{1136}{289} \approx 3{,}931\), \(y = \frac{542}{289} \approx 1{,}875\), \(z = \frac{1675}{289} \approx 5{,}796\), \(w = \frac{914}{289} \approx 3{,}163\).

I · Interpretieren: Das System hat genau eine Lösung. Die vier Kanäle haben die Faktoren \(3{,}931\), \(1{,}875\), \(5{,}796\) und \(3{,}163\). Kanal 3 verstärkt am stärksten, Kanal 2 am schwächsten.

Mit den gerundeten Werten ergibt sich

Die Abweichung von \(0{,}002\) stammt allein vom Runden und ist kein Rechenfehler. Mit den exakten Brüchen geht die Gleichung dagegen genau auf:

Eine Probe sollte deshalb mit den exakten Werten geführt werden. Rundet man vorher, muss man eine kleine Abweichung zulassen und darf sie nicht als Fehler deuten — umgekehrt fällt ein echter Eingabefehler dann nur auf, wenn die Abweichung deutlich größer ist als die Rundungsungenauigkeit.

Vier Zeilen für die vier Belastungsproben, fünf Spalten für die vier Stäbe und die äußere Last.

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem der vier Gleichgewichtsbedingungen mit den Stabkräften \(x\), \(y\), \(z\), \(w\).

G · GTR-Lösungsweg: Matrix eingeben, rref anwenden.

G · GTR-Lösung: \(x = \frac{3273}{928} \approx 3{,}527\), \(y = \frac{373}{1856} \approx 0{,}201\), \(z = -\frac{17}{64} \approx -0{,}266\), \(w = \frac{3487}{1856} \approx 1{,}879\).

I · Interpretieren: Stab 1 trägt rund \(3{,}527\ \text{kN}\), Stab 2 rund \(0{,}201\ \text{kN}\), Stab 4 rund \(1{,}879\ \text{kN}\) Zugkraft; Stab 3 wird mit rund \(0{,}266\ \text{kN}\) gedrückt.

Der Wert \(z \approx -0{,}266\) ist negativ. Nach der Festlegung im Aufgabentext bedeutet das: Stab 3 steht nicht unter Zug, sondern unter Druck. Der Betrag \(0{,}266\ \text{kN}\) gibt die Größe dieser Druckkraft an.

Die Aussage ist damit falsch. Ein negatives Vorzeichen ist zunächst nur ein Rechenergebnis; ob es sinnvoll ist, entscheidet der Sachzusammenhang. Bei einer Stabkraft ist ein negativer Wert physikalisch sinnvoll, bei einer Stückzahl oder einer Masse wäre er es nicht.

Dass die Lösung stimmt, zeigt die Probe in Gleichung I mit den exakten Werten:

Ein Eingabefehler würde sich hier sofort zeigen — das Vorzeichen allein ist kein Anzeichen dafür.

Jeder Bruch wird an seiner Stelle eingetragen; die Sollmengen bilden die letzte Spalte.

Man dürfte jede Zeile mit ihrem Hauptnenner durchmultiplizieren, muss es aber nicht: Der Rechner arbeitet mit Brüchen genauso wie mit ganzen Zahlen. Wer die Brüche direkt einträgt, spart einen Umformungsschritt und damit eine Fehlerquelle.

Ma · Mathematischer Ansatz: die vier Bilanzgleichungen mit den Massen \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) in Tonnen.

G · GTR-Lösungsweg: Matrix mit den Bruchkoeffizienten eingeben, rref anwenden.

G · GTR-Lösung: \(x = \frac{1660}{327} \approx 5{,}0765\), \(y = \frac{1274}{109} \approx 11{,}6881\), \(z = \frac{439}{327} \approx 1{,}3425\), \(w = -\frac{635}{327} \approx -1{,}9419\).

I · Interpretieren: Rechnerisch hat das System genau eine Lösung. Sie verlangt rund \(5{,}0765\ \text{t}\) von Strom 1, \(11{,}6881\ \text{t}\) von Strom 2 und \(1{,}3425\ \text{t}\) von Strom 3 — für Strom 4 ergibt sich jedoch ein negativer Wert.

Probe in Gleichung I mit den exakten Werten:

Der Wert \(w \approx -1{,}9419\) müsste eine Masse in Tonnen sein. Eine negative Masse gibt es nicht, also lässt sich der Ansatz in dieser Form nicht fahren.

Die Rechnung ist trotzdem richtig: Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, sie liegt nur außerhalb des im Sachzusammenhang sinnvollen Bereichs \(x, y, z, w \ge 0\).

Für die Planung heißt das: Mindestens eine der vier Sollmengen muss geändert werden, oder Strom 4 wird als eigene Größe aus der Bilanz genommen. Erst danach lohnt eine erneute Rechnung. Genau dafür steht das I in MaGGI — ohne diesen Schritt hätte man vier Zahlen und eine unbrauchbare Rezeptur.

Alle Variablen nach links, alle reinen Zahlen nach rechts:

Daraus entsteht die Matrix

Ma · Mathematischer Ansatz: das sortierte Gleichungssystem aus Teilaufgabe a) mit \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) als Verbrauch der Hallen A bis D in Megawattstunden.

G · GTR-Lösungsweg: Matrix eingeben, rref anwenden.

G · GTR-Lösung: \(x = \frac{24414}{3061} \approx 7{,}9758\), \(y = \frac{6893}{3061} \approx 2{,}2519\), \(z = \frac{16402}{3061} \approx 5{,}3584\), \(w = \frac{7760}{3061} \approx 2{,}5351\).

I · Interpretieren: Halle A verbraucht in einer Schicht rund \(7{,}98\ \text{MWh}\), Halle B rund \(2{,}25\ \text{MWh}\), Halle C rund \(5{,}36\ \text{MWh}\) und Halle D rund \(2{,}54\ \text{MWh}\). Alle vier Werte sind positiv und damit im Sachzusammenhang sinnvoll.

Der Rechner übernimmt nur den Teil ab der fertigen Matrix. Das Sortieren geschieht von Hand, und genau dort passieren die Fehler: Bei jedem Seitenwechsel muss das Vorzeichen gedreht werden, und die Reihenfolge \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) muss in allen vier Zeilen dieselbe sein. Ein vergessenes Vorzeichen liefert eine völlig korrekt gerechnete, aber falsche Lösung — der GTR kann das nicht bemerken, weil er die ursprüngliche Schreibweise nie gesehen hat.

Als Kontrolle bietet sich die Probe in einer der ursprünglich notierten Gleichungen an. Zum Beispiel in Gleichung I mit den exakten Werten:

Zusätzlich lohnt ein Blick auf die Zeilenlängen: Nach dem Sortieren muss jede Zeile genau vier Koeffizienten und eine Zahl haben — fehlt einer, wurde ein Term beim Umstellen übersehen.