TextaufgabenLösen mit CAS

Mit \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) als Massen der Vorlegierungen A bis D in Kilogramm:

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg:

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = 25\), \(y = 30\), \(z = 20\), \(w = 25\).

I · Interpretieren: Die Gießerei schmilzt 25 kg von A, 30 kg von B, 20 kg von C und 25 kg von D zusammen. Zusammen sind das die geforderten 100 kg.

Probe in der Zinn-Gleichung:

Die geforderten 17 kg Zinn werden also genau erreicht.

Für ein CAS spricht der Umfang: Vier Gleichungen mit vier Unbekannten und Dezimalkoeffizienten bedeuten von Hand rund ein Dutzend Umformungsschritte, bei denen jeder Vorzeichenfehler die gesamte Rechnung verdirbt. Das CAS liefert die Lösung in einer Zeile und rechnet dabei exakt, sodass auch krumme Zwischenwerte keine Rundungsfehler erzeugen.

Mit \(x = I_1\), \(y = I_2\), \(z = I_3\) in Ampere:

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg:

Ausgabe:

Mit ctrl + enter:

G · CAS-Lösung: \(x = \frac{6}{11} \approx 0{,}545\), \(y = \frac{18}{55} \approx 0{,}327\), \(z = \frac{12}{55} \approx 0{,}218\).

I · Interpretieren: Durch die Zuleitung fließen rund 0,545 A. Davon entfallen rund 0,327 A auf den Zweig mit 20 Ω und rund 0,218 A auf den Zweig mit 30 Ω. Der kleinere Widerstand führt den größeren Strom — das passt zur Erwartung.

Probe in der Knotenregel: \(\tfrac{18}{55} + \tfrac{12}{55} = \tfrac{30}{55} = \tfrac{6}{11}\) ✓

Die Aussage trifft nur zum Teil zu. Der GTR liefert dieselben Zahlenwerte, aber ausschließlich als gerundete Dezimalzahlen: \(0{,}5454545455\) statt \(\tfrac{6}{11}\).

Solange man die Werte nur abliest, spielt das kaum eine Rolle. Sobald aber weitergerechnet wird — etwa zur Leistung \(P = R \cdot I^2\) oder in einer Kontrollrechnung mit mehreren Schritten — summieren sich die Rundungsfehler. Am Bruch \(\tfrac{6}{11}\) erkennt man außerdem sofort den Zusammenhang zwischen den Widerständen, an \(0{,}5454545455\) nicht.

Die Aussage ist damit für das reine Ergebnis richtig, für den weiteren Rechenweg jedoch nicht haltbar: Die exakte Ausgabe des CAS ist die belastbarere Grundlage.

Mit \(x\), \(y\), \(z\) als Stückzahlen der Bauteile A, B und C:

Eingabezeile:

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg: die Eingabezeile aus a).

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = 40\), \(y = 25\), \(z = 60\).

I · Interpretieren: Der Zulieferer fertigt 40 Stück von A, 25 Stück von B und 60 Stück von C. Probe an Maschine 2: \(40 + 2 \cdot 25 + 3 \cdot 60 = 40 + 50 + 180 = 270\) ✓. Alle drei Maschinen sind damit vollständig ausgelastet.

Neue Eingabezeile:

Ausgabe:

Also \(x = \tfrac{395}{9} \approx 43{,}89\), \(y = \tfrac{200}{9} \approx 22{,}22\) und \(z = \tfrac{545}{9} \approx 60{,}56\).

Rechnerisch gibt es weiterhin genau eine Lösung, umsetzen lässt sie sich jedoch nicht: Bauteile werden in ganzen Stücken gefertigt, und keiner der drei Werte ist ganzzahlig. Der Betrieb müsste die Stückzahlen runden und damit eine Maschine unter- oder überlasten, die Zeitvorgaben anpassen oder die Restzeit für Rüstarbeiten einplanen.

Hier zeigt sich der Nutzen der exakten Ausgabe: Am Bruch \(\tfrac{395}{9}\) ist sofort zu erkennen, dass keine ganze Zahl herauskommt. Die Dezimalanzeige \(43{,}88888889\) eines GTR könnte man dagegen für einen Rundungseffekt halten.

Mit \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) als Mengen in Einheiten zu 100 g:

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg:

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 1\), \(w = 4\).

I · Interpretieren: Die Mahlzeit besteht aus 200 g Haferflocken, 300 g Banane, 100 g gegartem Reis und 400 g Nussmischung.

Probe in der Fett-Gleichung:

Die geforderten 85 g Fett werden erreicht.

Die Nussmischung ist mit 400 g die größte Einzelmenge und liefert allein \(4 \cdot 250\ \text{kcal} = 1000\ \text{kcal}\), also fast die Hälfte der Gesamtenergie, sowie \(4 \cdot 18\ \text{g} = 72\ \text{g}\) der 85 g Fett. Der Plan ist rechnerisch korrekt, im Sachzusammenhang aber sehr einseitig: 400 g Nüsse sind als eine Mahlzeit kaum realistisch. Die Vorgaben müssten also ergänzt werden, etwa durch eine Obergrenze für \(w\).

Mit \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) als Durchflüsse in Litern pro Minute:

Eingabezeile:

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg: die Eingabezeile aus a).

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = 15\), \(y = 15\), \(z = 10\), \(w = 10\).

I · Interpretieren: In den beiden ersten Abschnitten fließen je 15 l/min, in den beiden anderen je 10 l/min. Probe an K3: \(10 + 10 = 20\) ✓. Alle Werte sind positiv, die Flüsse laufen also in der eingezeichneten Richtung.

Neue Eingabezeile:

Ausgabe:

Also \(x = 14{,}5\), \(y = 15{,}5\), \(z = 9{,}5\) und \(w = 10{,}5\).

Eine Änderung um 1 l/min an einem einzigen Knoten verschiebt alle vier Durchflüsse um je 0,5 l/min — zwei nach oben, zwei nach unten. Das Netz ist also nicht auf einen Abschnitt beschränkt empfindlich: Jede Messabweichung verteilt sich auf das gesamte System.

Für die Praxis heißt das: Die vier Messwerte müssen zueinander passen. Schon eine kleine Ungenauigkeit liefert eine Lösung, die überall etwas falsch ist, ohne dass man ihr das ansieht — die Rechnung selbst bleibt ja fehlerfrei.

Mit \(x\) und \(y\) als Stückzahlen der Sorten 1 und 2:

Eingabezeile:

Das Malzeichen ist hier entscheidend: ax wäre für den Rechner eine einzige neue Variable, und das System hätte eine ganz andere Bedeutung.

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg: die Eingabezeile aus a).

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = \dfrac{120}{a-12}\) und \(y = 90 - \dfrac{120}{a-12} = \dfrac{90a-1200}{a-12}\), gültig für \(a \ne 12\).

I · Interpretieren: Für \(a = 20\) ergibt sich \(x = \tfrac{120}{8} = 15\) und \(y = 90 - 15 = 75\). Probe: \(20 \cdot 15 + 12 \cdot 75 = 300 + 900 = 1200\) ✓. Bei einem Preis von 20 Cent wurden also 15 Becher der Sorte 1 und 75 Becher der Sorte 2 verkauft.

Für \(a = 12\) wird der Nenner \(a - 12\) null. Inhaltlich heißt das: Beide Sorten kosten dann gleich viel, und 90 Becher bringen zwangsläufig \(90 \cdot 12\ \text{Cent} = 1080\ \text{Cent}\) ein — die geforderten 1200 Cent sind nicht erreichbar. Das CAS gibt für

folgerichtig

aus. Das ist keine Fehlermeldung, sondern das Ergebnis: Das System hat keine Lösung.

Damit \(x = \tfrac{120}{a-12}\) ganzzahlig wird, muss \(a - 12\) ein Teiler von 120 sein. Der kleinste ganzzahlige Preis über 12 Cent ist \(a = 13\): Dann ist \(a - 12 = 1\), also \(x = 120\) — das sind aber mehr als die 90 verkauften Becher, und \(y\) wäre negativ. Sinnvoll wird es erst ab \(a - 12 \ge 2\), also \(a = 14\) mit \(x = 60\) und \(y = 30\). Rein rechnerisch lautet die Antwort \(a = 13\), im Sachzusammenhang \(a = 14\) — beides muss unterschieden werden.

Mit \(x\), \(y\), \(z\) als Volumina der drei Lösungen in Litern:

Die rechte Seite von II ergibt sich aus \(0{,}35 \cdot 20 = 7\).

Ma · Mathematischer Ansatz: das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a).

G · CAS-Lösungsweg:

Ausgabe:

G · CAS-Lösung: \(x = \tfrac{5}{2} = 2{,}5\), \(y = \tfrac{25}{2} = 12{,}5\), \(z = 5\).

I · Interpretieren: Gemischt werden 2,5 l der 10-prozentigen, 12,5 l der 30-prozentigen und 5 l der 60-prozentigen Lösung. Die Vorgabe ist erfüllt, denn \(5 = 2 \cdot 2{,}5\), und zusammen ergeben sich die geforderten 20 l.

Probe in der Säuregleichung:

Die Mischung enthält also genau 7 l reine Säure, das entspricht \(\tfrac{7}{20} = 35\ \%\) von 20 l.

Die exakte Ausgabe \(\tfrac{5}{2}\) und \(\tfrac{25}{2}\) zeigt sofort, dass die Volumina genau auf halbe Liter fallen und sich mit einem Messzylinder abmessen lassen. Eine reine Dezimalanzeige würde zwar \(2{,}5\) und \(12{,}5\) liefern, bei anderen Zahlenwerten aber Ergebnisse wie \(2{,}666666667\) — dort bliebe offen, ob es sich um \(\tfrac{8}{3}\) oder um einen Rundungseffekt handelt. Beim Ansetzen von Lösungen ist dieser Unterschied wichtig, weil die Konzentration sonst nicht exakt getroffen wird.

Mit \(x\), \(y\), \(z\) als Anzahl der Kisten von P1, P2 und P3:

Eingabezeile und Ausgabe:

Die Ausgabe false bedeutet: Es gibt kein Zahlentripel, das alle drei Gleichungen zugleich erfüllt. Mit den drei Kistensorten lässt sich der Bedarf von 20 kg Reis, 25 kg Linsen und 30 kg Gemüse also nicht exakt decken — unabhängig davon, ob man ganze Kisten fordert oder nicht.

Die Besonderheit liegt bei P1 und P2: Eine Kiste P2 enthält von jeder Zutat genau doppelt so viel wie eine Kiste P1. P2 bringt damit keine neue Möglichkeit ins Spiel — zwei Kisten P1 sind dasselbe wie eine Kiste P2. Statt drei unabhängiger Sorten stehen in Wahrheit nur zwei zur Verfügung, und mit zwei Sorten lassen sich drei voneinander unabhängige Vorgaben im Allgemeinen nicht erfüllen.

Rechnerisch zeigt sich das daran, dass die ersten beiden Spalten der Koeffizientenmatrix proportional sind.

Neue Eingabezeile und Ausgabe:

Jetzt passen die drei Vorgaben zueinander: Es gibt unendlich viele Lösungen mit \(x = 7 - 2y\) und \(z = 6\), wobei \(y\) frei wählbar ist.

Im Sachzusammenhang kommen nur ganze Zahlen \(\ge 0\) in Frage. Aus \(7 - 2y \ge 0\) folgt \(y \le 3{,}5\), also \(y \in \{0;\,1;\,2;\,3\}\). Möglich sind damit genau vier Bestellungen:

\((x\,|\,y\,|\,z) = (7\,|\,0\,|\,6)\), \((5\,|\,1\,|\,6)\), \((3\,|\,2\,|\,6)\), \((1\,|\,3\,|\,6)\).

Probe für \((3\,|\,2\,|\,6)\) in der Linsen-Gleichung: \(3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 3 + 4 + 18 = 25\) ✓.

Die Mensa kann also frei entscheiden, wie sie die sieben „P1-Einheiten“ auf P1- und P2-Kisten verteilt — die Zahl der P3-Kisten liegt dagegen mit 6 fest. Genau diese Struktur macht die Ausgabe des CAS sichtbar: Sie nennt \(z\) als feste Zahl und \(x\) nur in Abhängigkeit von \(y\).