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Lösen mit CAS

Ein Computer-Algebra-System rechnet exakt: Es gibt Brüche statt Dezimalzahlen aus und löst Gleichungssysteme sogar dann, wenn ein Parameter darin steht.

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Was ein CAS anders macht als der GTR

Der GTR rechnet numerisch mit Dezimalzahlen. Ein CAS (Computer-Algebra-System) rechnet zusätzlich symbolisch – exakt, mit Brüchen, Wurzeln und Buchstaben.

  • Exakt:\(\tfrac{55}{47}\) bleibt ein Bruch und wird nicht zu \(1{,}170212766\).
  • Wurzeln:\(\sqrt{8}\) wird zu \(2\sqrt{2}\) vereinfacht.
  • Parameter:das CAS löst auch Systeme mit einem weiteren Buchstaben, der im Ergebnis stehen bleibt.
  • Termumformung:expand((x+3)^2) multipliziert aus – der GTR kann das nicht.
  • Dezimalnäherung:auf Wunsch mit ctrl + enter.
Dieselbe Rechnung, zwei Ausgaben
GTR — numerischCAS — exaktx =1,170212766x =5547ctrl + enterder Rückweg gelingt nicht immer

Aus dem exakten Bruch lässt sich die Dezimalzahl jederzeit gewinnen. Umgekehrt geht es nicht zuverlässig: Aus \(1{,}170212766\) ist \(\tfrac{55}{47}\) nicht mehr abzulesen.

Merke

Exakt zuerst: das CAS gibt Brüche und Wurzeln aus, gerundet wird erst am Ende

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Ein \(2\times2\)-System mit dem CAS

Gelöst wird in der Applikation Rechner mit dem Befehl solve(...). Er braucht die Gleichungen und die Liste der gesuchten Variablen.

  • Verbinden:zwischen die Gleichungen kommt and, kein Komma.
  • Variablenliste:am Ende {x,y} angeben.
  • Malzeichen:a*y statt ay.
  • Beispiel:solve(5x+3y=7 and 4x-7y=2,{x,y}) liefert \(x=\tfrac{55}{47}\) und \(y=\tfrac{18}{47}\).
  • Andere Wege:linSolve, rref und simult liefern dasselbe Ergebnis.
  • Dokumentation:MaGGI wie beim GTR – im zweiten G steht die Eingabezeile statt der Matrix.
Merke

CAS-Befehl: solve(I and II,{x,y})

Wie die Ausgabe des CAS mit der Lage der beiden Geraden zusammenhängt, lässt sich am schnellsten ausprobieren. Stelle die sechs Koeffizienten ein und beobachte, wann aus zwei Brüchen ein false wird.

CAS-Konsole

Das System lautet \(\text{I: } a\,x + b\,y = c\) und \(\text{II: } d\,x + e\,y = f\). Die Regler verändern die sechs Zahlen; die Konsole zeigt die passende Eingabezeile in TI-Nspire-Syntax, die exakte Ausgabe und rechts die beiden Geraden. Mit den Schaltflächen springst du direkt zu den beiden Sonderfällen.

Eingabezeile solve(2x+3y=4 and 4x-y=1, {x,y}) Ausgabe des CAS x=1/2 and y=1 exakt, als Bruch Deutung Die beiden Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Determinante a·e − b·d = −14 Dezimalnäherung: x ≈ 0,5 · y ≈ 1 ctrl + enter liefert die Dezimalnäherung. x y Gerade I Gerade II Schnittpunkt
Determinante
−14
Lösungstyp
genau eine
Ausgabe
x=1/2, y=1
Die Determinante ist −14 und damit nicht null: Das CAS gibt genau ein Zahlenpaar aus.

Die Determinante \(a\,e - b\,d\) entscheidet über den Fall. Ist sie nicht null, gibt es genau eine Lösung. Ist sie null, liegen die Geraden parallel oder aufeinander — dann antwortet das CAS mit false oder mit einer Gleichung, in der eine Variable frei bleibt.

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Parameter und Sonderfälle

Steht ein weiterer Buchstabe im System, kann der GTR nichts ausrichten. Das CAS gibt die Lösung als Term in diesem Parameter an.

  • Beispiel:solve(2x+a*y=4 and 3x-y=1,{x,y}).
  • Ausgabe:\(x=\dfrac{a+4}{3a+2}\) und \(y=\dfrac{10}{3a+2}\).
  • Ausnahme:für \(a=-\tfrac{2}{3}\) wird der Nenner null; diesen Wert prüfst du gesondert.
  • Genau eine Lösung:das CAS gibt ein Zahlenpaar aus.
  • Keine Lösung:die Ausgabe lautet false.
  • Unendlich viele:eine Variable bleibt frei, z. B. x=(-3*y+4)/2.
Merke

false bedeutet: keine Lösung, also \(L=\{\ \}\)

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Wann CAS, wann von Hand

Im hilfsmittelfreien Teil der Klausur löst du kleine Systeme von Hand. Erst im zweiten Teil ist das CAS erlaubt.

  • Von Hand:\(2\times2\)-Systeme mit Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren.
  • Mit CAS:große Systeme, Brüche und Parameter.
  • Immer selbst:Variablen festlegen, Gleichungen aufstellen, Ergebnis deuten.
  • Immer notieren:die Eingabezeile, so wie sie getippt wurde.
  • Beispiel:\(x\): Preis einer Tageskarte, \(y\): Preis einer Wochenkarte; aus \(4x+y=37\) und \(2x+3y=61\) folgt \(x=5\) und \(y=17\).
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Allgemeine Hinweise

Malzeichen setzen

ay liest das CAS als eine eigene Variable. Schreibe zwischen zwei Buchstaben immer a*y.

Alte Belegungen

Ein früher gespeicherter Wert wird ohne Warnung eingesetzt. Führe vorher DelVar x,y,a aus.

Vorlagen-Taste

Mit der Vorlage für Gleichungssysteme schreibst du die Gleichungen untereinander. Klammer und and setzt der Rechner selbst.

Zum Weiterschauen

Videos

Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.

Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.